Εσωτερική ενέργεια

Όταν ένα αέριο βρίσκεται σε υψηλή πίεση έχει τη δυνατότητα να παράγει έργο. Αυτό σημαίνει ότι το αέριο εμπεριέχει ενέργεια. Την ενέργεια αυτή την ονομάζουμε εσωτερική ενέργεια και τη συμβολίζουμε με $U$ . Ο όρος «εσωτερική» χρησιμοποιείται για να τη διακρίνουμε από οποιαδήποτε εξωτερική ενέργεια μπορεί να έχει το αέριο. Για παράδειγμα, αν το δοχείο μέσα στο οποίο βρίσκεται το αέριο εκτελεί μεταφορική κίνηση, το αέριο έχει επιπλέον και μακροσκοπική κινητική ενέργεια, η οποία όμως δεν αποτελεί μέρος της εσωτερικής του ενέργειας.

Μικροσκοπική προέλευση της εσωτερικής ενέργειας

Από μικροσκοπική άποψη, η ενέργεια που εμπεριέχει ένα σύστημα οφείλεται στην ενέργεια που έχουν τα σωματίδια που το απαρτίζουν.

Τα μόρια, τα άτομα ή τα ιόντα οποιουδήποτε σώματος, σε όποια φάση και αν βρίσκεται το σώμα (στερεή, υγρή ή αέρια), διαρκώς κινούνται. Έχουν επομένως κινητική ενέργεια. Επιπλέον, στα στερεά και στα υγρά τα σωματίδια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, επομένως έχουν και δυναμική ενέργεια λόγω των αλληλεπιδράσεων αυτών.

Ορισμός: Εσωτερική ενέργεια 📘

Κάθε σώμα εμπεριέχει ενέργεια που είναι το άθροισμα των ενεργειών των σωματιδίων που το απαρτίζουν, ως αποτέλεσμα:

: της σχετικής τους κίνησης ως προς το κέντρο μάζας του σώματος (κινητική ενέργεια), και

: των αλληλεπιδράσεων μεταξύ τους (δυναμική ενέργεια).

Αυτή την ενέργεια την ονομάζουμε εσωτερική ενέργεια $U$ .

Προσοχή στη διάκριση ⚠️

Στην εσωτερική ενέργεια συνυπολογίζεται μόνο η ενέργεια που οφείλεται στη σχετική κίνηση των σωματιδίων ως προς το κέντρο μάζας του σώματος και στις μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις. Η κινητική ενέργεια που οφείλεται στη συνολική (μακροσκοπική) κίνηση του σώματος ως σύνολο δεν ανήκει στην εσωτερική ενέργεια.

Η εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου

Στο ιδανικό αέριο ισχύει μια σημαντική απλοποίηση: τα μόρια του ιδανικού αερίου δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Επομένως τα μόρια δεν έχουν δυναμική ενέργεια.

Συνεπώς, η εσωτερική ενέργεια ενός ιδανικού αερίου οφείλεται αποκλειστικά στις κινητικές ενέργειες των μορίων του και είναι ίση με το άθροισμα αυτών των ενεργειών.

Εσωτερική ενέργεια ιδανικού αερίου 🔬

Η εσωτερική ενέργεια ενός ιδανικού αερίου είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των μορίων του (δεν υπάρχει συνεισφορά δυναμικής ενέργειας).

Απόδειξη του τύπου της εσωτερικής ενέργειας

Η μέση κινητική ενέργεια ενός μορίου ιδανικού αερίου έχει υπολογιστεί από την κινητική θεωρία και είναι

\overline{E}_{\kappa} = \frac{3}{2}KT

όπου $K$ η σταθερά Boltzmann και $T$ η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου.

Αν το αέριο περιέχει $N$ μόρια, η εσωτερική του ενέργεια θα είναι ίση με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών όλων των μορίων, δηλαδή $N$ φορές τη μέση κινητική ενέργεια ενός μορίου:

U = N \cdot \overline{E}_{\kappa} = N \cdot \frac{3}{2}KT

Όμως το πλήθος των μορίων συνδέεται με τον αριθμό των mol του αερίου μέσω της σχέσης

N = n N_{A}

όπου $n$ ο αριθμός των mol και $N_{A}$ ο αριθμός Avogadro. Αντικαθιστώντας έχουμε

U = n N_{A} \cdot \frac{3}{2}KT = \frac{3}{2}n (N_{A} K) T

Λαμβάνοντας τέλος υπόψη ότι $N_{A} K = R$ (όπου $R$ η παγκόσμια σταθερά των αερίων), προκύπτει

U = \frac{3}{2}nRT

Τύπος: Εσωτερική ενέργεια ιδανικού (μονοατομικού) αερίου ✏️

Για ορισμένη ποσότητα $n$ mol ιδανικού μονοατομικού αερίου:

U = \frac{3}{2}nRT

όπου $R$ η παγκόσμια σταθερά των αερίων και $T$ η απόλυτη θερμοκρασία (σε kelvin).

Γενίκευση: αέρια με περισσότερους βαθμούς ελευθερίας

Ο παράγοντας $\tfrac{3}{2}$ αντιστοιχεί στο μονοατομικό αέριο, του οποίου τα μόρια έχουν μόνο μεταφορική κίνηση (τρεις βαθμοί ελευθερίας). Γενικότερα, αν συμβολίσουμε με $f$ τους βαθμούς ελευθερίας ενός μορίου, η εσωτερική ενέργεια του ιδανικού αερίου γράφεται

U = \frac{f}{2}nRT

Για το μονοατομικό αέριο είναι $f = 3$ και η σχέση αυτή ανάγεται στον τύπο $U = \dfrac{3}{2}nRT$ .

Γενικός τύπος 📐

U = \frac{f}{2}nRT

: $f$ : βαθμοί ελευθερίας ενός μορίου του αερίου.

: Μονοατομικό αέριο $\Rightarrow f = 3 \Rightarrow U = \dfrac{3}{2}nRT$ .

Εξάρτηση μόνο από τη θερμοκρασία

Παρατηρώντας τον τύπο $U = \dfrac{3}{2}nRT$ (ή γενικότερα $U = \dfrac{f}{2}nRT$ ) διαπιστώνουμε ότι, για ορισμένη ποσότητα αερίου (σταθερό $n$ ), η εσωτερική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία $T$ . Δεν εξαρτάται από την πίεση ή τον όγκο του αερίου παρά μόνο μέσω της θερμοκρασίας.

Πρόταση 🔑

Η εσωτερική ενέργεια ορισμένης ποσότητας ιδανικού αερίου εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία του.

Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας

Έστω ένα ιδανικό αέριο που βρίσκεται αρχικά σε ισορροπία στην κατάσταση $A$ με θερμοκρασία $T_{A}$ . Αν το αέριο μεταβεί σε μια άλλη κατάσταση ισορροπίας $B$ με θερμοκρασία $T_{B}$ , η εσωτερική του ενέργεια θα μεταβληθεί.

Επειδή η εσωτερική ενέργεια εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία, η μεταβολή της δίνεται από τη διαφορά της αρχικής και της τελικής τιμής:

\Delta U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2}nR T_{B} - \frac{3}{2}nR T_{A}

δηλαδή

\Delta U = \frac{3}{2}nR \,\Delta T

και γενικότερα

\Delta U = \frac{f}{2}nR \,\Delta T

όπου $\Delta T = T_{B} - T_{A}$ η μεταβολή της απόλυτης θερμοκρασίας.

Τύπος μεταβολής εσωτερικής ενέργειας 🌡️

\Delta U = \frac{3}{2}nR \,\Delta T

Η μεταβολή $\Delta U$ είναι συνάρτηση μόνο της μεταβολής της θερμοκρασίας $\Delta T$ . Συγκεκριμένα:

: αν $\Delta T > 0$ (αύξηση θερμοκρασίας) $\Rightarrow \Delta U > 0$ ,

: αν $\Delta T < 0$ (μείωση θερμοκρασίας) $\Rightarrow \Delta U < 0$ ,

: αν $\Delta T = 0$ (σταθερή θερμοκρασία) $\Rightarrow \Delta U = 0$ .

Ανεξαρτησία από τον τρόπο μεταβολής

Σύμφωνα με τη σχέση $U = \dfrac{3}{2}nRT$ , η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θερμοκρασία και όχι από τον τρόπο με τον οποίο πραγματοποιήθηκε η μεταβολή.

Σχηματικά (βλ. Σχ. 4.8 του βιβλίου): ένα αέριο σύστημα μπορεί να μεταβεί από την κατάσταση $A$ στην κατάσταση $B$ με πολλούς διαφορετικούς αντιστρεπτούς τρόπους, αλλά και με μη αντιστρεπτό τρόπο (οπότε η μεταβολή δεν μπορεί καν να παρασταθεί γραφικά). Σε όλες τις περιπτώσεις, εφόσον η αρχική και η τελική κατάσταση είναι οι ίδιες, η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος είναι ίδια.

Το συμπέρασμα αυτό γενικεύεται και ισχύει για κάθε θερμοδυναμικό σύστημα, όχι μόνο για το ιδανικό αέριο.

Θεμελιώδης πρόταση 🧭

Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ενός θερμοδυναμικού συστήματος εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση του συστήματος και όχι από τον τρόπο με τον οποίο πραγματοποιήθηκε η μεταβολή.

Καταστατικό μέγεθος ⚠️

Η εσωτερική ενέργεια είναι καταστατικό μέγεθος: η τιμή της καθορίζεται πλήρως από την κατάσταση του συστήματος. Αυτό σημαίνει ότι σε μια κυκλική μεταβολή, όπου το σύστημα επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση ( $T_{αρχ} = T_{τελ}$ ), η συνολική μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας είναι μηδέν: $\Delta U = 0$ .

Παρατηρήσεις και Προτάσεις

Παρατήρηση 1 — Μονάδες 📏

Στους τύπους χρησιμοποιούμε πάντα την απόλυτη θερμοκρασία $T$ σε kelvin (K), όχι σε βαθμούς Celsius. Με την παγκόσμια σταθερά των αερίων $R = 8{,}314 \ \dfrac{\text{J}}{\text{mol}\cdot\text{K}}$ η εσωτερική ενέργεια $U$ προκύπτει σε joule (J).

Παρατήρηση 2 — Διαφορά U και ΔU 🔎

Για τον υπολογισμό της τιμής της εσωτερικής ενέργειας $U$ χρειαζόμαστε την απόλυτη θερμοκρασία $T$ (σε K). Για τον υπολογισμό της μεταβολής $\Delta U$ αρκεί η μεταβολή $\Delta T$ : επειδή $\Delta T = T_{B} - T_{A}$ είναι διαφορά θερμοκρασιών, η αριθμητική τιμή της είναι ίδια είτε σε kelvin είτε σε βαθμούς Celsius.

Παρατήρηση 3 — Σύνδεση με τις μεταβολές 🔗

Η σχέση $\Delta U = \dfrac{3}{2}nR \,\Delta T$ μάς επιτρέπει να βρίσκουμε εύκολα τη μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας σε κάθε είδος μεταβολής:

: Ισόθερμη ( $T = \text{σταθερό}$ , $\Delta T = 0$ ): $\Delta U = 0$ .

: Ισόχωρη / Ισοβαρής / οποιαδήποτε άλλη ( $\Delta T \neq 0$ ): $\Delta U = \dfrac{3}{2}nR\,\Delta T$ , με το $\Delta T$ να υπολογίζεται από την αρχική και τελική θερμοκρασία.

Πρόταση — Ανάλογο της θερμοκρασίας 📈

Για σταθερή ποσότητα αερίου, η εσωτερική ενέργεια είναι ανάλογη της απόλυτης θερμοκρασίας:

U \propto T

Επομένως, η γραφική παράσταση της $U$ σε συνάρτηση με την $T$ (σε K) είναι ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή των αξόνων, με κλίση $\dfrac{3}{2}nR$ (για μονοατομικό αέριο).