Έργο παραγόμενο από αέριο κατά τη διάρκεια μεταβολών όγκου

Όταν ένα αέριο μεταβάλλει τον όγκο του, ασκεί δυνάμεις στα τοιχώματα του δοχείου που το περιέχει. Αν κάποιο από τα τοιχώματα είναι κινητό (όπως ένα έμβολο), τότε οι δυνάμεις αυτές μπορούν να μετατοπίσουν το έμβολο και επομένως να παράγουν έργο. Σε αυτή την ενότητα μελετάμε το έργο που παράγει (ή δέχεται) ένα αέριο κατά τις μεταβολές του όγκου του.

Πού συναντάμε τέτοια συστήματα 🔧

Οι μηχανές εσωτερικής καύσης, οι ατμομηχανές, καθώς και οι συμπιεστές στα ψυγεία και στα κλιματιστικά μηχανήματα, χρησιμοποιούν κάποια παραλλαγή ενός συστήματος αερίου που κλείνεται σε κύλινδρο με εφαρμοστό (κινητό) έμβολο. Η κατανόηση του έργου του αερίου είναι θεμελιώδης για τη λειτουργία τους.

Έργο αερίου σε στοιχειώδη μετατόπιση του εμβόλου

Θεωρούμε ένα αέριο κλεισμένο σε κύλινδρο που φράσσεται από εφαρμοστό έμβολο. Τα μόρια του αερίου, καθώς συγκρούονται με τα τοιχώματα και με το έμβολο, ασκούν σε αυτά δυνάμεις. Έστω $F$ η ολική (συνολική) δύναμη που ασκεί το αέριο στο έμβολο.

Στοιχειώδες έργο της δύναμης του αερίου ✍️

Αν το έμβολο μετακινηθεί προς τα έξω κατά πολύ μικρή απόσταση $Δx$ , το έργο που παράγει η δύναμη $F$ που ασκεί το αέριο είναι:

ΔW = F \, Δx

Έργο σε ισοβαρή μεταβολή — Απόδειξη του $W = PΔV$

Απόδειξη της σχέσης ΔW = pΔV 📐

Ξεκινάμε από το στοιχειώδες έργο της δύναμης του αερίου:

ΔW = F \, Δx \quad (4.1)

Έστω ότι το εμβαδόν του εμβόλου είναι $Α$ και η πίεση του αερίου είναι $p$ . Από τον ορισμό της πίεσης ισχύει:

p = \dfrac{F}{Α} \quad \Rightarrow \quad F = p \, Α

Αντικαθιστούμε τη δύναμη στη σχέση (4.1):

ΔW = p \, Α \, Δx \quad (4.2)

Παρατηρούμε όμως ότι το γινόμενο $Α \, Δx$ ισούται με τη μεταβολή του όγκου του αερίου:

Α \, Δx = ΔV

όπου $ΔV$ η πολύ μικρή μεταβολή του όγκου. Έτσι, το έργο που παράγει το αέριο εκφράζεται ως:

ΔW = p \, ΔV \quad (4.3)

Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη.

Όταν η πίεση $p$ διατηρείται σταθερή (ισοβαρής μεταβολή), τότε το έργο σε μια πεπερασμένη μεταβολή του όγκου από $V_1$ σε $V_2$ προκύπτει απευθείας:

Έργο αερίου σε ισοβαρή μεταβολή 🟰

Σε ισοβαρή μεταβολή ( $p = σταθερή$ ) το έργο του αερίου είναι:

W = p \, ΔV = p \, (V_2 - V_1)

Προσοχή — ποιανού το έργο; ⚠️

Στο έμβολο μπορεί να ασκούνται και πολλές άλλες δυνάμεις (π.χ. ατμοσφαιρική πίεση, βάρος, εξωτερικές δυνάμεις). Η σχέση $ΔW = pΔV$ δίνει αποκλειστικά το έργο της δύναμης που ασκεί το αέριο και όχι το συνολικό έργο όλων των δυνάμεων που δρουν στο έμβολο.

Πρόσημο του έργου: εκτόνωση και συμπίεση

Το πρόσημο του έργου του αερίου καθορίζεται από το πρόσημο της μεταβολής του όγκου $ΔV$ , αφού η πίεση $p$ είναι πάντοτε θετικό μέγεθος.

Πρόσημο του έργου του αερίου ➕➖

Σύμφωνα με τη σχέση $ΔW = pΔV$ και επειδή $p > 0$ :

Κατά την εκτόνωση του αερίου ο όγκος αυξάνεται, άρα $ΔV > 0$ και το έργο είναι θετικό ( $W > 0$ ). Το αέριο παράγει έργο προς το περιβάλλον.
Κατά τη συμπίεση του αερίου ο όγκος μειώνεται, άρα $ΔV < 0$ και το έργο είναι αρνητικό ( $W < 0$ ). Το αέριο δέχεται έργο από το περιβάλλον.

Παρατήρηση 👁️

Το πρόσιμο του έργου του αερίου δείχνει αν το αέριο «δίνει» ενέργεια στο περιβάλλον (θετικό έργο, εκτόνωση) ή «παίρνει» ενέργεια από αυτό (αρνητικό έργο, συμπίεση). Αν ο όγκος δεν μεταβάλλεται ( $ΔV = 0$ ), το έργο του αερίου είναι μηδέν.

Γενική περίπτωση: $W = \int p \, dV$ και η ερμηνεία ως εμβαδόν στο διάγραμμα $p$ - $V$

Όταν η πίεση δεν είναι σταθερή, αλλά μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της μεταβολής, το έργο δεν μπορεί να υπολογιστεί απλώς ως $pΔV$ με μία τιμή της πίεσης. Πρέπει να αθροίσουμε τα στοιχειώδη έργα.

Απόδειξη — Το έργο ως εμβαδόν στο διάγραμμα p-V 📊

Θεωρούμε μια τυχαία αντιστρεπτή μεταβολή κατά την οποία το αέριο μεταβαίνει από την αρχική κατάσταση $Α$ στην τελική κατάσταση $Β$ , και την παριστάνουμε ως γραμμή στο διάγραμμα $p$ - $V$ .

Βήμα 1ο — Στοιχειώδες έργο ως στοιχειώδες εμβαδόν. Θεωρούμε μια στοιχειώδη μεταβολή όπου ο όγκος αλλάζει από $V_1$ σε $V_1 + ΔV$ , με $ΔV$ πολύ μικρό. Στο διάγραμμα $p$ - $V$ αυτή αντιστοιχεί σε μια λεπτή επιφάνεια κάτω από τη γραμμή. Επειδή το $ΔV$ είναι πολύ μικρό, η επιφάνεια αυτή μπορεί να θεωρηθεί παραλληλόγραμμο με βάση $ΔV$ και ύψος $p$ . Το εμβαδόν της είναι:

\text{βάση} \times \text{ύψος} = ΔV \cdot p = ΔW

δηλαδή ισούται με το στοιχειώδες έργο του αερίου σε αυτή τη μικρή μεταβολή.

Βήμα 2ο — Άθροισμα (ολοκλήρωση). Χωρίζουμε ολόκληρη την επιφάνεια κάτω από τη γραμμή του διαγράμματος, από το $Α$ έως το $Β$ , σε τέτοιες στοιχειώδεις επιφάνειες και αθροίζουμε τα εμβαδά τους. Το άθροισμα αυτό δίνει το συνολικό έργο του αερίου κατά τη μεταβολή από την κατάσταση $Α$ στην κατάσταση $Β$ :

W = \sum p \, ΔV = \int_{V_Α}^{V_Β} p \, dV

Γεωμετρική ερμηνεία του έργου — Θεώρημα 🧮

Το έργο ενός αερίου σε μια αντιστρεπτή μεταβολή είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν της επιφάνειας που περικλείεται από τη γραμμή του διαγράμματος μέχρι τον άξονα του όγκου $V$ , στο διάγραμμα $p$ - $V$ :

W = \int_{V_Α}^{V_Β} p \, dV \;=\; \text{εμβαδόν κάτω από τη γραμμή στο διάγραμμα } p\text{-}V

Παρατήρηση — η σημασία του διαγράμματος p-V 💡

Το διάγραμμα $p$ - $V$ είναι το «εργαλείο» υπολογισμού του έργου: ανεξάρτητα από το είδος της μεταβολής, αρκεί να σχεδιάσουμε τη γραμμή της μεταβολής και να υπολογίσουμε το εμβαδόν κάτω από αυτήν (έως τον άξονα $V$ ). Αυτό κάνει τη γεωμετρική μέθοδο πολύ ισχυρή, ειδικά για μεταβολές με μεταβλητή πίεση.

Πρόσημο του έργου από τη φορά της μεταβολής στο διάγραμμα ↔️

Από τη γεωμετρική ερμηνεία προκύπτει το πρόσημο:

Αν η μεταβολή εξελίσσεται προς τα δεξιά (αύξηση όγκου, $V_Β > V_Α$ ), η εκτόνωση δίνει θετικό έργο.
Αν η μεταβολή εξελίσσεται προς τα αριστερά (μείωση όγκου, $V_Β < V_Α$ ), η συμπίεση δίνει αρνητικό έργο.

Το ίδιο εμβαδόν αντιστοιχεί σε διαφορετικό πρόσημο, ανάλογα με τη φορά διαγραφής της μεταβολής.

Έργο σε ισόχωρη μεταβολή

Έργο σε ισόχωρη μεταβολή — Απόδειξη 🔒

Σε μια ισόχωρη μεταβολή ο όγκος του αερίου διατηρείται σταθερός, οπότε:

V = σταθερός \quad \Rightarrow \quad ΔV = 0

Αντικαθιστώντας στη γενική σχέση του έργου:

W = \int_{V_Α}^{V_Β} p \, dV = 0

αφού τα όρια ολοκλήρωσης ταυτίζονται ( $V_Α = V_Β$ ). Άρα:

W_{\text{ισόχωρη}} = 0

Παρατήρηση — γιατί μηδέν; 🧐

Σε ισόχωρη μεταβολή το έμβολο δεν μετακινείται ( $Δx = 0$ ), επομένως η δύναμη του αερίου δεν παράγει έργο. Στο διάγραμμα $p$ - $V$ η ισόχωρη παριστάνεται με κατακόρυφο ευθύγραμμο τμήμα, κάτω από το οποίο δεν υπάρχει εμβαδόν (μηδενική βάση).

Έργο σε ισόθερμη μεταβολή

Σε μια ισόθερμη μεταβολή η θερμοκρασία διατηρείται σταθερή, ενώ η πίεση μεταβάλλεται καθώς αλλάζει ο όγκος. Επομένως, το έργο πρέπει να υπολογιστεί ως εμβαδόν (ολοκλήρωμα) και όχι ως $pΔV$ με μία πίεση.

Έργο σε ισόθερμη μεταβολή — Απόδειξη 🌡️

Σε ισόθερμη μεταβολή ισχύει ο νόμος του Boyle (νόμος Boyle - Mariotte): $pV = σταθερό$ . Αν $n$ τα mol και $T$ η σταθερή θερμοκρασία, από την καταστατική εξίσωση $pV = nRT$ έχουμε:

p = \dfrac{nRT}{V}

Το έργο κατά τη μεταβολή του όγκου από $V_Α$ σε $V_Β$ είναι:

W = \int_{V_Α}^{V_Β} p \, dV = \int_{V_Α}^{V_Β} \dfrac{nRT}{V} \, dV = nRT \int_{V_Α}^{V_Β} \dfrac{dV}{V}

Επειδή το $nRT$ είναι σταθερό, υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα:

W = nRT \, \ln\!\left(\dfrac{V_Β}{V_Α}\right)

Ισοδύναμα, αφού $p_Α V_Α = p_Β V_Β = nRT$ , το έργο μπορεί να γραφεί και ως:

W = p_Α V_Α \, \ln\!\left(\dfrac{V_Β}{V_Α}\right)

Παρατήρηση — η ισόθερμη στο διάγραμμα p-V 📈

Στο διάγραμμα $p$ - $V$ η ισόθερμη παριστάνεται με υπερβολή (αφού $pV = σταθερό$ ). Το έργο ισούται με το εμβαδόν κάτω από αυτή την υπερβολή. Σε ισόθερμη εκτόνωση ( $V_Β > V_Α$ ) είναι $\ln(V_Β/V_Α) > 0$ , άρα $W > 0$ . Σε ισόθερμη συμπίεση ( $V_Β < V_Α$ ) είναι $\ln(V_Β/V_Α) < 0$ , άρα $W < 0$ , σε συμφωνία με το πρόσημο της εκτόνωσης/συμπίεσης.

Συγκεντρωτικός πίνακας — Έργο ανά είδος μεταβολής

Σύνοψη τύπων έργου 📋

Είδος μεταβολής	Σταθερό μέγεθος	Έργο του αερίου $W$
Ισοβαρής	$p = σταθ.$	$W = p \, ΔV = p(V_2 - V_1)$
Ισόχωρη	$V = σταθ.$	$W = 0$
Ισόθερμη	$T = σταθ.$	$W = nRT \, \ln\!\left(\dfrac{V_Β}{V_Α}\right)$
Τυχαία αντιστρεπτή	—	$W = \displaystyle\int_{V_Α}^{V_Β} p \, dV$ (εμβαδόν στο $p$ - $V$ )

Γενικές Προτάσεις και Πορίσματα

Πρόταση — Γενικός ορισμός του έργου 🎯

Το θεμελιώδες αποτέλεσμα της ενότητας είναι ότι το στοιχειώδες έργο ενός αερίου ισούται πάντα με $ΔW = pΔV$ . Από αυτό προκύπτουν όλες οι ειδικές περιπτώσεις: η ισοβαρής (σταθερό $p$ ), η ισόχωρη ( $ΔV = 0$ ) και η ισόθερμη (μεταβλητό $p$ μέσω της $pV = nRT$ ).

Πόρισμα — Το έργο εξαρτάται από τη διαδρομή 🛤️

Επειδή το έργο ισούται με το εμβαδόν κάτω από τη γραμμή της μεταβολής στο διάγραμμα $p$ - $V$ , διαφορετικές διαδρομές που συνδέουν τις ίδιες αρχικές και τελικές καταστάσεις $Α$ και $Β$ δίνουν, εν γένει, διαφορετικά εμβαδά και επομένως διαφορετικό έργο. Συνεπώς, το έργο του αερίου δεν εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση, αλλά και από τον τρόπο (τη διαδρομή) με τον οποίο πραγματοποιείται η μεταβολή.

Παρατήρηση — αντιστρεπτές μεταβολές ♻️

Όλα τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν για αντιστρεπτές μεταβολές, όπου σε κάθε στιγμή το αέριο βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας και έχει καθορισμένη πίεση $p$ και όγκο $V$ . Μόνο τότε η μεταβολή παριστάνεται με συνεχή γραμμή στο διάγραμμα $p$ - $V$ και έχει νόημα ο υπολογισμός του έργου ως εμβαδόν.