Μεγέθη που δε διατηρούνται στην κρούση

Η πειραματικά επιβεβαιωμένη αρχή διατήρησης της ορμής μας οδηγεί φυσιολογικά στο ερώτημα: διατηρούνται και άλλα μεγέθη κατά την κρούση, όπως για παράδειγμα η κινητική ενέργεια; Η απάντηση, όπως θα δούμε, είναι αρνητική: η ορμή διατηρείται πάντα σε ένα μονωμένο σύστημα, η κινητική ενέργεια όμως δεν διατηρείται κατά κανόνα. 🎯

Το παράδειγμα της πλαστικής κρούσης

Ας μελετήσουμε δύο αμαξάκια μαζών $m_1$ και $m_2$ . Το πρώτο κινείται με ταχύτητα $υ_1 \neq 0$ , ενώ το δεύτερο είναι αρχικά ακίνητο, δηλαδή $υ_2 = 0$ . Κατά την κρούση, ένα καρφί που υπάρχει στο αμαξάκι $(1)$ σφηνώνεται στο αμαξάκι $(2)$ , με αποτέλεσμα τα δύο σώματα να συνενώνονται και να κινούνται στη συνέχεια ως ένα ενιαίο σώμα μάζας $(m_1 + m_2)$ με κοινή ταχύτητα $V$ .

Ορισμός — Πλαστική κρούση 🔗

Πλαστική ονομάζεται η κρούση κατά την οποία τα σώματα μετά την κρούση συνενώνονται και κινούνται ως ένα ενιαίο σώμα με κοινή ταχύτητα.

Εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής

Επειδή το σύστημα των δύο αμαξιδίων είναι μονωμένο, η ορμή διατηρείται. Με δεδομένο ότι $υ_2 = 0$ , γράφουμε:

m_1 \cdot υ_1 = (m_1 + m_2) \cdot V \quad (1)

Απόδειξη ότι η κινητική ενέργεια μειώνεται

Θα αποδείξουμε ότι στην πλαστική κρούση η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι μικρότερη από την αρχική.

Από τη σχέση $(1)$ και επειδή ισχύει $m_1 < m_1 + m_2$ , η ταχύτητα του ενιαίου σώματος είναι αναγκαστικά μικρότερη από την αρχική ταχύτητα του πρώτου αμαξιδίου:

υ_1 > V \quad (2)

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις σχέσεις $(1)$ και $(2)$ και διαιρούμε το γινόμενο διά $2$ . Προκύπτει:

\frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot υ_1^2 > \frac{1}{2} \cdot (m_1 + m_2) \cdot V^2 \quad (3)

Το πρώτο μέλος της σχέσης $(3)$ είναι η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος (μόνο το αμαξάκι $(1)$ κινείται αρχικά), ενώ το δεύτερο μέλος είναι η τελική κινητική ενέργεια (το ενιαίο σώμα μάζας $m_1 + m_2$ που κινείται με ταχύτητα $V$ ). Επομένως:

K_{\text{αρχ}} > K_{\text{τελ}}

Συμπέρασμα 📉

Η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώθηκε κατά την πλαστική κρούση. Δηλαδή η κινητική ενέργεια του συστήματος δεν διατηρείται.

Προσοχή — Ορμή και κινητική ενέργεια ⚠️

Μην συγχέετε τα δύο μεγέθη. Στην πλαστική κρούση η ορμή του συστήματος διατηρείται (σχέση $(1)$ ), ενώ η κινητική ενέργεια του συστήματος μειώνεται (σχέση $(3)$ ). Το ένα μέγεθος διατηρείται και το άλλο όχι, ταυτόχρονα.

Πού πηγαίνει η χαμένη κινητική ενέργεια;

Η ορμή είναι διανυσματικό μέγεθος και διατηρείται σε κάθε κρούση μονωμένου συστήματος. Η κινητική ενέργεια όμως είναι βαθμωτό μέγεθος και η ποσότητά της που χάνεται δεν εξαφανίζεται: μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας, κυρίως σε θερμότητα και σε ενέργεια παραμόρφωσης των σωμάτων, καθώς και σε ήχο. Η ολική ενέργεια (αρχή διατήρησης της ενέργειας) διατηρείται πάντα· αυτό που δεν διατηρείται είναι μόνο το κινητικό της μέρος.

Η χαμένη κινητική ενέργεια

Η μείωση της κινητικής ενέργειας ισούται με την ενέργεια που μετατράπηκε σε άλλες μορφές:

\Delta K = K_{\text{αρχ}} - K_{\text{τελ}} = \frac{1}{2} m_1 υ_1^2 - \frac{1}{2}(m_1 + m_2) V^2 > 0

Διάκριση των κρούσεων ως προς την κινητική ενέργεια

Με κριτήριο τη διατήρηση ή όχι της κινητικής ενέργειας, οι κρούσεις ταξινομούνται ως εξής:

Ελαστική κρούση ✅

Ελαστική ονομάζεται η κρούση στην οποία διατηρείται η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος:

K_{\text{αρχ}} = K_{\text{τελ}}

Τα σώματα μετά την κρούση απομακρύνονται χωριστά, χωρίς μόνιμη παραμόρφωση.

Ανελαστική κρούση 🔻

Ανελαστική ονομάζεται η κρούση στην οποία δεν διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος (ένα μέρος της μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας):

K_{\text{τελ}} < K_{\text{αρχ}}

Πλαστική (τελείως ανελαστική) κρούση 🔗

Η πλαστική κρούση είναι η ακραία περίπτωση ανελαστικής κρούσης: τα σώματα συνενώνονται και κινούνται ως ένα σώμα. Η απώλεια κινητικής ενέργειας είναι η μέγιστη δυνατή που επιτρέπει η αρχή διατήρησης της ορμής.

Κοινό χαρακτηριστικό όλων των κρούσεων ⚠️

Σε όλες τις κατηγορίες κρούσεων (ελαστική, ανελαστική, πλαστική) ενός μονωμένου συστήματος η ορμή διατηρείται πάντα. Η διάκριση μεταξύ τους γίνεται αποκλειστικά με βάση τη συμπεριφορά της κινητικής ενέργειας.

Παρατηρήσεις

Παρατήρηση 1 — Η ορμή είναι το «ασφαλές» μέγεθος

Σε οποιαδήποτε κρούση μονωμένου συστήματος μπορούμε πάντα να γράψουμε την αρχή διατήρησης της ορμής. Αντίθετα, εξίσωση διατήρησης της κινητικής ενέργειας επιτρέπεται να γράψουμε μόνο αν η κρούση είναι ελαστική.

Παρατήρηση 2 — Η μόνη που δεν χάνει ενέργεια

Η ελαστική κρούση είναι η μοναδική κατηγορία κρούσης στην οποία δεν υπάρχει απώλεια κινητικής ενέργειας. Σε κάθε ανελαστική (συμπεριλαμβανομένης της πλαστικής) κρούσης ισχύει $K_{\text{τελ}} < K_{\text{αρχ}}$ .

Παρατήρηση 3 — Διατηρείται η ολική ενέργεια

Το γεγονός ότι η κινητική ενέργεια δεν διατηρείται δεν παραβιάζει την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Η συνολική ενέργεια διατηρείται· απλώς ένα μέρος της κινητικής μετατρέπεται σε θερμότητα, ενέργεια παραμόρφωσης και ήχο.

Προτάσεις

Πρόταση 1

Σε κάθε ανελαστική κρούση η τελική κινητική ενέργεια είναι αυστηρά μικρότερη από την αρχική:

K_{\text{τελ}} < K_{\text{αρχ}} \quad \Leftrightarrow \quad \Delta K > 0

Πρόταση 2 — Πλαστική κρούση με ακίνητο στόχο

Όταν ένα σώμα μάζας $m_1$ με ταχύτητα $υ_1$ προσπίπτει πλαστικά σε ακίνητο σώμα μάζας $m_2$ , η κοινή ταχύτητα μετά την κρούση είναι:

V = \frac{m_1 \cdot υ_1}{m_1 + m_2}

και ισχύει πάντα $V < υ_1$ , αφού $m_1 < m_1 + m_2$ .

Μεθοδολογική σύνοψη 🧭

Για να αναγνωρίσετε ποια μεγέθη γράφετε σε ένα πρόβλημα κρούσης:
Ορμή → πάντα διατηρείται (κάθε κρούση).
Κινητική ενέργεια → διατηρείται μόνο στην ελαστική κρούση, ενώ μειώνεται στην ανελαστική και στην πλαστική.