Η αρχή διατήρησης της ορμής

Με τη βοήθεια της έννοιας της ορμής οι επιστήμονες απλοποίησαν τη μελέτη των πολύπλοκων φαινομένων της κρούσης και κατέληξαν σε ένα από τα θεμελιωδέστερα συμπεράσματα της Φυσικής.

Μονωμένο σύστημα

Πριν διατυπώσουμε την αρχή, χρειάζεται να ορίσουμε την έννοια του συστήματος και του μονωμένου συστήματος.

Ορισμοί 📦

Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο σωμάτων που μελετάμε μαζί.

Εσωτερικές δυνάμεις ονομάζονται οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των σωμάτων του συστήματος (αλληλεπιδράσεις μέσα στο σύστημα).

Εξωτερικές δυνάμεις ονομάζονται οι δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα του συστήματος από σώματα που βρίσκονται έξω από αυτό.

Μονωμένο (ή απομονωμένο) σύστημα ονομάζεται το σύστημα στο οποίο το συνολικό άθροισμα των εξωτερικών δυνάμεων είναι μηδέν.

Διατύπωση της αρχής

Αρχή διατήρησης της ορμής ⭐

Η συνολική ορμή ενός μονωμένου συστήματος σωμάτων διατηρείται σταθερή.

Δηλαδή, η ολική ορμή του συστήματος μια τυχαία χρονική στιγμή (αρχική) είναι ίση με την ολική ορμή του συστήματος οποιαδήποτε άλλη χρονική στιγμή (τελική):

\vec{p}_{ολ(αρχ)} = \vec{p}_{ολ(τελ)}

Η πρόταση αυτή είναι άμεση συνέπεια του τρίτου νόμου του Νεύτωνα, σύμφωνα με τον οποίο η δράση είναι ίση και αντίθετη με την αντίδραση.

Απόδειξη της αρχής 🧮

Θα αποδείξουμε την αρχή για ένα απλό μονωμένο σύστημα δύο σωμάτων που αλληλεπιδρούν (π.χ. συγκρούονται).

Δεδομένα της απόδειξης. Θεωρούμε δύο σώματα με μάζες $m_1$ και $m_2$ που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασης, το σώμα $1$ ασκεί στο σώμα $2$ δύναμη $\vec{F}_2$ και το σώμα $2$ ασκεί στο σώμα $1$ δύναμη $\vec{F}_1$ .

Βήμα 1ο — Εφαρμογή του 3ου νόμου του Νεύτωνα. Εφόσον οι δυνάμεις που ασκούνται στα δύο σώματα είναι δράση και αντίδραση, θα είναι αντίθετες:

\vec{F}_1 = -\vec{F}_2

Βήμα 2ο — Εφαρμογή του 2ου νόμου του Νεύτωνα (μορφή με την ορμή). Κάθε δύναμη ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής. Για σταθερές μάζες γράφουμε:

m_1 \cdot \frac{\Delta\vec{υ}_1}{\Delta t} = -\, m_2 \cdot \frac{\Delta\vec{υ}_2}{\Delta t}

Βήμα 3ο — Ο χρόνος αλληλεπίδρασης είναι κοινός. Ο χρόνος αλληλεπίδρασης $\Delta t$ είναι ο ίδιος και για τα δύο σώματα, αφού όσο διαρκεί η δράση διαρκεί και η αντίδραση. Απλοποιώντας λοιπόν το $\Delta t$ και από τα δύο μέλη, παίρνουμε:

m_1 \cdot \Delta\vec{υ}_1 = -\, m_2 \cdot \Delta\vec{υ}_2

Βήμα 4ο — Μεταβολές της ορμής. Επειδή $\Delta\vec{p} = m \cdot \Delta\vec{υ}$ (για σταθερή μάζα), η προηγούμενη σχέση γράφεται:

\Delta\vec{p}_1 = -\,\Delta\vec{p}_2 \quad \Leftrightarrow \quad \Delta\vec{p}_1 + \Delta\vec{p}_2 = 0

Βήμα 5ο — Σταθερότητα της ολικής ορμής. Εφόσον το άθροισμα των μεταβολών των ορμών είναι μηδέν, έπεται ότι το άθροισμα των ορμών των σωμάτων του συστήματος δεν μεταβάλλεται. Πράγματι, αναλύοντας τις μεταβολές σε τελική μείον αρχική τιμή:

\left(\vec{p}_{1(τελ)} - \vec{p}_{1(αρχ)}\right) + \left(\vec{p}_{2(τελ)} - \vec{p}_{2(αρχ)}\right) = 0

και αναδιατάσσοντας τους όρους προκύπτει:

\vec{p}_{1(τελ)} + \vec{p}_{2(τελ)} = \vec{p}_{1(αρχ)} + \vec{p}_{2(αρχ)}

δηλαδή τελικά:

\boxed{\;\vec{p}_{ολ(τελ)} = \vec{p}_{ολ(αρχ)}\;}

Δηλαδή η ορμή του συστήματος είναι σταθερή. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. ✅

Η ουσία της απόδειξης 🔑

Οι εσωτερικές δυνάμεις του συστήματος εμφανίζονται πάντα σε ζεύγη δράσης - αντίδρασης (ίσες και αντίθετες) και δρουν τον ίδιο χρόνο. Γι' αυτό οι ωθήσεις τους αλληλοαναιρούνται και δεν μπορούν να μεταβάλουν τη συνολική ορμή του συστήματος.

Σύνδεση με το θεώρημα ώθησης - ορμής

Η απόδειξη στηρίζεται στο θεώρημα ώθησης - ορμής. Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση $\vec{F}_1 = -\vec{F}_2$ με τον κοινό χρόνο $\Delta t$ , έχουμε για τις ωθήσεις:

\vec{F}_1 \cdot \Delta t = -\,\vec{F}_2 \cdot \Delta t \quad \Leftrightarrow \quad \Delta\vec{p}_1 = -\,\Delta\vec{p}_2

που μας οδηγεί ξανά στο ίδιο συμπέρασμα. Οι αντίθετες ωθήσεις προκαλούν αντίθετες (ίσου μέτρου) μεταβολές ορμής στα δύο σώματα.

Προϋποθέσεις ισχύος

Πότε ισχύει η αρχή ⚠️

Η αρχή διατήρησης της ορμής ισχύει μόνο για μονωμένο σύστημα, δηλαδή όταν η συνολική εξωτερική δύναμη στο σύστημα είναι μηδέν.

Στις κρούσεις, οι εσωτερικές δυνάμεις (αλληλεπίδρασης) είναι πάρα πολύ μεγάλες σε σχέση με τις εξωτερικές (π.χ. τριβές). Έτσι, για το πολύ μικρό χρονικό διάστημα της κρούσης, το σύστημα θεωρείται προσεγγιστικά μονωμένο και η ορμή διατηρείται.

Παρατηρήσεις

Παρατηρήσεις 📝

1. Διανυσματική σχέση. Η $\vec{p}_{ολ(αρχ)} = \vec{p}_{ολ(τελ)}$ είναι διανυσματική. Στην πράξη την εφαρμόζουμε κατά συνιστώσες (π.χ. στον άξονα $x$ και στον άξονα $y$ χωριστά), προσέχοντας τα πρόσημα των ταχυτήτων ανάλογα με τη φορά κίνησης.

2. Διατήρηση ολικής, όχι ατομικής ορμής. Σταθερή παραμένει η συνολική ορμή του συστήματος. Η ορμή κάθε επιμέρους σώματος μπορεί (και συνήθως πρόκειται) να μεταβάλλεται.

3. Ανεξάρτητη από το είδος της αλληλεπίδρασης. Η αρχή ισχύει ανεξάρτητα από το αν η αλληλεπίδραση είναι κρούση, έκρηξη, ή απλή απώθηση των σωμάτων.

4. Γενίκευση σε πολλά σώματα. Η απόδειξη έγινε για δύο σώματα, αλλά γενικεύεται για σύστημα με οποιοδήποτε πλήθος σωμάτων:

\vec{p}_{ολ} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \dots + \vec{p}_ν = \text{σταθερό}

Προτάσεις - Πορίσματα 🎯

Πρόταση (ανταλλαγή ταχυτήτων). Σε μετωπική κρούση δύο σωμάτων με ίσες μάζες, όπου το ένα κινείται και το άλλο είναι ακίνητο, αν μετά την κρούση το πρώτο ακινητοποιηθεί, τότε το δεύτερο αποκτά ταχύτητα ίση με την αρχική ταχύτητα του πρώτου. Τα σώματα ανταλλάσσουν τις ταχύτητές τους.

Πράγματι, από τη $\vec{p}_{1(τελ)} + \vec{p}_{2(τελ)} = \vec{p}_{1(αρχ)} + \vec{p}_{2(αρχ)}$ με $m_1 = m_2 = m$ , $\vec{υ}_{1(αρχ)}=\vec{υ}_1$ , $\vec{υ}_{2(αρχ)}=0$ και $\vec{υ}_{1(τελ)}=0$ προκύπτει $m\vec{υ}_2 = m\vec{υ}_1$ , άρα $\vec{υ}_2 = \vec{υ}_1$ .

Από συμπέρασμα σε Αρχή

Τα πορίσματα που προκύπτουν αν εφαρμόσουμε τη διατήρηση της ορμής στις κρούσεις έχουν ελεγχθεί πειραματικά πάρα πολλές φορές, ώστε σήμερα δεν υπάρχει καμία αμφιβολία για την εγκυρότητά τους. Έτσι η διατήρηση της ορμής αναβαθμίστηκε στη σκέψη των επιστημόνων και ονομάζεται Αρχή διατήρησης της ορμής.

Πεδίο εφαρμογής 🌌

Η αρχή δεν περιορίζεται σε απλές περιπτώσεις, αλλά επεκτείνεται και σε περιοχές όπως η Πυρηνική Φυσική, όπου πυρήνες βομβαρδίζονται με σωμάτια όπως πρωτόνια ή νετρόνια.

Στη Φυσική ισχύουν και άλλες θεμελιώδεις αρχές διατήρησης, όπως η αρχή διατήρησης της ενέργειας, του ηλεκτρικού φορτίου κ.ά.