Η δύναμη και η μεταβολή της ορμής

Κατά τη διάρκεια μιας κρούσης εμφανίζονται δυνάμεις μεγάλου μέτρου. Αυτές οι δυνάμεις προκαλούν τις αλλαγές στην ταχύτητα και επομένως στην ορμή των σωμάτων που συγκρούονται. Συνεπώς αναζητούμε μια γενική σχέση που συνδέει τη δύναμη με την ορμή.

Γενίκευση του 2ου νόμου του Νεύτωνα

Τη σχέση μεταξύ δύναμης και ορμής τη βρίσκουμε αν συνδυάσουμε τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής (2ος νόμος του Νεύτωνα):

\vec{F}=m\cdot\vec{α}

με τη σχέση που ορίζει την επιτάχυνση:

\vec{α}=\frac{\vec{υ}_{τελ}-\vec{υ}_{αρχ}}{\Delta t}

Απόδειξη

Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση την τιμή της επιτάχυνσης από τη δεύτερη, προκύπτει:

\vec{F}=m\cdot\frac{\vec{υ}_{τελ}-\vec{υ}_{αρχ}}{\Delta t} \quad\text{ή}\quad \vec{F}=\frac{m\cdot\vec{υ}_{τελ}-m\cdot\vec{υ}_{αρχ}}{\Delta t}

Γνωρίζουμε όμως ότι το γινόμενο $m\cdot\vec{υ}_{τελ}$ είναι η τελική ορμή $\vec{p}_{τελ}$ του σώματος και το $m\cdot\vec{υ}_{αρχ}$ η αρχική ορμή του $\vec{p}_{αρχ}$ . Έτσι η παραπάνω σχέση γράφεται:

\vec{F}=\frac{\vec{p}_{τελ}-\vec{p}_{αρχ}}{\Delta t}

Επειδή η διαφορά $\vec{p}_{τελ}-\vec{p}_{αρχ}$ είναι η μεταβολή της ορμής $\Delta\vec{p}$ , η σχέση παίρνει τη γενική μορφή:

\vec{F}=\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}

Γενίκευση του 2ου νόμου του Νεύτωνα 📐

Η συνισταμένη δύναμη $\vec{F}$ που ασκείται σε ένα σώμα ισούται με τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του:

\vec{F}=\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}

Αυτή είναι η πιο γενική διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της Μηχανικής. Η μεταβολή της ορμής διά του χρόνου $\Delta t$ εντός του οποίου αυτή συμβαίνει, ισούται με τη δύναμη που την προκαλεί.

Φυσική σημασία 💡

Από τη σχέση $\vec{F}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ προκύπτει το θεμελιώδες συμπέρασμα: για να αλλάξει η ορμή ενός σώματος απαιτείται η άσκηση δύναμης. Αντίστροφα, αν σε ένα σώμα δεν ασκείται συνισταμένη δύναμη, η ορμή του παραμένει σταθερή.

Συγγραμμικά διανύσματα

Στην ειδική περίπτωση που τα διανύσματα $\vec{p}_{αρχ}$ και $\vec{p}_{τελ}$ είναι συγγραμμικά, η διανυσματική σχέση εκφυλίζεται σε αλγεβρική (μετράμε με πρόσημα ως προς θετική φορά):

F=\frac{p_{τελ}-p_{αρχ}}{\Delta t}

Προσοχή στα πρόσημα ⚠️

Στην αλγεβρική μορφή πρέπει πρώτα να ορίσουμε θετική φορά. Αν η ορμή αλλάζει κατεύθυνση (π.χ. μπαλάκι που ανακλάται), τότε οι $p_{αρχ}$ και $p_{τελ}$ έχουν αντίθετα πρόσημα και η μεταβολή $\Delta p=p_{τελ}-p_{αρχ}$ είναι μεγαλύτερη σε μέτρο από καθεμία ξεχωριστά.

Σχέση της γενίκευσης με τον νόμο $F=ma$

Η μορφή $\vec{F}=m\vec{α}$ είναι ειδική περίπτωση της γενικής σχέσης $\vec{F}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ και ισχύει όταν η μάζα του σώματος παραμένει σταθερή. Πράγματι, με σταθερή μάζα:

\vec{F}=\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}=\frac{m\,\vec{υ}_{τελ}-m\,\vec{υ}_{αρχ}}{\Delta t}=m\cdot\frac{\vec{υ}_{τελ}-\vec{υ}_{αρχ}}{\Delta t}=m\cdot\vec{α}

Ποια σχέση είναι γενικότερη; 🔎

Η σχέση $\vec{F}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ είναι γενικότερη από τη $\vec{F}=m\vec{α}$ , γιατί περιγράφει και περιπτώσεις όπου η μάζα μεταβάλλεται (π.χ. πυραύλους που αποβάλλουν καύσιμα). Για σταθερή μάζα οι δύο σχέσεις ταυτίζονται.

Η ώθηση δύναμης και το θεώρημα ώθησης – ορμής

Αν λύσουμε τη σχέση $\vec{F}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ ως προς τη μεταβολή της ορμής, παίρνουμε:

\vec{F}\cdot\Delta t=\Delta\vec{p}

Το γινόμενο της δύναμης επί τον χρόνο δράσης της ονομάζεται ώθηση της δύναμης.

Θεώρημα ώθησης – ορμής 🎯

Η ώθηση της συνισταμένης δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα σε χρόνο $\Delta t$ ισούται με τη μεταβολή της ορμής του στο ίδιο χρονικό διάστημα:

\vec{F}\cdot\Delta t=\Delta\vec{p}=\vec{p}_{τελ}-\vec{p}_{αρχ}

Η ώθηση είναι διανυσματικό μέγεθος με ίδια κατεύθυνση με τη μεταβολή της ορμής $\Delta\vec{p}$ .

Μονάδα μέτρησης 📏

Η ώθηση και η ορμή έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης στο S.I.:

1\ \mathrm{N\cdot s}=1\ \frac{\mathrm{kg\cdot m}}{\mathrm{s}^2}\cdot \mathrm{s}=1\ \mathrm{kg\cdot \frac{m}{s}}

Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού η ώθηση ισούται με μεταβολή ορμής.

Παράδειγμα: η «δυνατή κλωτσιά»

Για να αποκτήσει μια μπάλα μεγάλη ταχύτητα και συνεπώς μεγάλη ορμή, πρέπει να της δώσουμε μια «δυνατή κλωτσιά», δηλαδή να της ασκήσουμε μεγάλη δύναμη. Όσο πιο μεγάλη είναι η δύναμη, τόσο πιο μεγάλη είναι η μεταβολή της ορμής της μπάλας.

Θεωρώντας ότι η μπάλα ήταν αρχικά ακίνητη ( $p_{αρχ}=0$ ), προκύπτει:

F=\frac{m\cdot υ}{\Delta t}=\frac{p_{μπάλας}}{\Delta t}

όπου $\Delta t$ η διάρκεια επαφής του ποδιού με τη μπάλα.

Με δεδομένα $υ=23\ \mathrm{m/s}$ , $\Delta t=0{,}008\ \mathrm{s}$ και $m=0{,}425\ \mathrm{kg}$ :

F=\frac{0{,}425\cdot 23}{0{,}008}\ \mathrm{N}=1.381{,}25\ \mathrm{N}

Συγκρίνοντάς την με το βάρος ενός ποδοσφαιριστή μάζας $70\ \mathrm{kg}$ , δηλαδή $w=70\cdot 9{,}81=686{,}7\ \mathrm{N}$ , βλέπουμε ότι η δύναμη που ασκήθηκε στη μπάλα είναι περίπου διπλάσια από το βάρος του.

Παρατηρήσεις και Προτάσεις

Παρατήρηση 1 — Ρόλος του χρόνου Δt ⏱️

Από τη σχέση $\vec{F}\cdot\Delta t=\Delta\vec{p}$ , για δεδομένη μεταβολή ορμής $\Delta\vec{p}$ :

Μικρό $\Delta t$ → μεγάλη δύναμη $\vec{F}$ (π.χ. κρούση, απότομο σταμάτημα).
Μεγάλο $\Delta t$ → μικρή δύναμη $\vec{F}$ (π.χ. λυγισμένα γόνατα σε πτώση, αερόσακος, παχύ αφρώδες υλικό στους τοίχους των στίβων).

Αυτή είναι η αρχή λειτουργίας όλων των μέσων προστασίας: αυξάνουν τον χρόνο δράσης για να μειώσουν τη δύναμη.

Παρατήρηση 2 — Ίση ορμή, διαφορετική επικινδυνότητα 🎈

Δύο σώματα μπορεί να έχουν περίπου ίσες ορμές (π.χ. μια σφαίρα και μια μπάλα ποδοσφαίρου) και όμως να προκαλούν πολύ διαφορετικά αποτελέσματα. Η σφαίρα μάς τραυματίζει επειδή σταματά σε πολύ μικρό $\Delta t$ , οπότε ασκεί τεράστια δύναμη, ενώ η μπάλα σταματά σε μεγαλύτερο χρόνο και ασκεί μικρότερη δύναμη.

Πρόταση — Διανυσματικός χαρακτήρας ➡️

Η σχέση $\vec{F}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$ είναι διανυσματική. Η δύναμη $\vec{F}$ έχει πάντα την ίδια κατεύθυνση με τη μεταβολή της ορμής $\Delta\vec{p}$ και όχι απαραίτητα με την ορμή $\vec{p}$ ή την ταχύτητα $\vec{υ}$ του σώματος.

Συχνό λάθος ⚠️

Η δύναμη δεν έχει πάντα την κατεύθυνση της ταχύτητας. Σε σώμα που ανακλάται, η ταχύτητά του αλλάζει φορά· η δύναμη έχει την κατεύθυνση της μεταβολής $\Delta\vec{p}$ , που μπορεί να είναι αντίθετη της αρχικής κίνησης.

Σύνοψη σχέσεων

Μέγεθος	Σχέση	Μονάδα (S.I.)
Ορμή	$\vec{p}=m\vec{υ}$	$\mathrm{kg\cdot m/s}$
Γενικευμένος 2ος νόμος	$\vec{F}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$	$\mathrm{N}$
Νόμος για σταθερή μάζα	$\vec{F}=m\vec{α}$	$\mathrm{N}$
Ώθηση	$\vec{F}\cdot\Delta t=\Delta\vec{p}$	$\mathrm{N\cdot s}$