Μηχανισμός παραγωγής και απορρόφησης φωτονίων ⚛️

Στην ενότητα αυτή θα δούμε πώς ακριβώς ένα άτομο (κυρίως το άτομο του υδρογόνου) παράγει και απορροφά φωτόνια. Θα μελετήσουμε δύο τρόπους με τους οποίους ένα άτομο μπορεί να διεγερθεί: τη διέγερση με κρούση και τη διέγερση με απορρόφηση ακτινοβολίας. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε πού πετυχαίνει και πού αποτυγχάνει το πρότυπο του Bohr.

Διέγερση με κρούση 💥

Ας ξεκινήσουμε από τον πρώτο μηχανισμό διέγερσης.

Ορισμός — Διέγερση με κρούση

Όταν ένα σωματίδιο (π.χ. ηλεκτρόνιο, ιόν ή άτομο) συγκρουστεί με ένα άτομο υδρογόνου, που βρίσκεται λόγου χάρη στη θεμελιώδη κατάσταση, τότε το ηλεκτρόνιο του ατόμου μπορεί να απορροφήσει ικανή ποσότητα ενέργειας και να μεταπηδήσει σε τροχιά μεγαλύτερης ενέργειας, με αποτέλεσμα το άτομο να διεγερθεί.

Το διεγερμένο άτομο δεν παραμένει για πάντα στη διεγερμένη κατάσταση. Μετά από ελάχιστο χρόνο επανέρχεται στη θεμελιώδη κατάσταση. Η επάνοδος αυτή μπορεί να γίνει με δύο τρόπους:

Με ένα άλμα κατευθείαν στη θεμελιώδη κατάσταση, με ταυτόχρονη εκπομπή ενός φωτονίου.
Με περισσότερα ενδιάμεσα άλματα από τροχιά σε τροχιά, με ταυτόχρονη εκπομπή περισσότερων φωτονίων.

🔎 Στο σχήμα του βιβλίου (Εικόνα 4.3-17) απεικονίζεται η διαδικασία σε τρία στάδια:

(α) Το άτομο του υδρογόνου στη θεμελιώδη κατάσταση, πριν από την κρούση με το ηλεκτρόνιο.
(β) Το άτομο σε διεγερμένη κατάσταση, μετά την κρούση.
(γ) Το άτομο επανέρχεται στη θεμελιώδη κατάσταση εκπέμποντας ένα φωτόνιο.

Πρακτικό παράδειγμα: ο σωλήνας με αέριο 🔌

Ένα τυπικό παράδειγμα διέγερσης με κρούση συναντάμε στους σωλήνες εκκένωσης αερίων.

Το ηλεκτρικό πεδίο σε σωλήνα που περιέχει αέριο χαμηλής πίεσης επιταχύνει τα ηλεκτρόνια και τα ιόντα που ήδη βρίσκονται μέσα στο σωλήνα. Όταν η ενέργειά τους γίνει αρκετά μεγάλη, τότε είναι δυνατό να προκαλέσουν διέγερση των ατόμων ή των ιόντων του αερίου με τα οποία συγκρούονται.

Το ήξερες; 💡

Αυτή ακριβώς η αρχή λειτουργεί στους λαμπτήρες φθορισμού και στις πινακίδες νέον. Το αέριο διεγείρεται από τις κρούσεις των επιταχυνόμενων ηλεκτρονίων και, καθώς τα άτομα επανέρχονται στη θεμελιώδη τους κατάσταση, εκπέμπουν φως με χαρακτηριστικά χρώματα.

Διέγερση με απορρόφηση ακτινοβολίας 🌈

Ο δεύτερος μηχανισμός διέγερσης δεν στηρίζεται σε κρούση σωματιδίων, αλλά στην απορρόφηση ενός φωτονίου.

Ας θεωρήσουμε ότι ένα άτομο υδρογόνου βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση ( $n = 1$ ) και απορροφά ένα φωτόνιο, το οποίο έχει τόση ενέργεια όση ακριβώς απαιτείται, για να μεταπηδήσει το ηλεκτρόνιο από τη θεμελιώδη κατάσταση στην κατάσταση που αντιστοιχεί σε κβαντικό αριθμό $n = 2$ .

Προσοχή! ⚠️

Το άτομο δεν απορροφά οποιοδήποτε φωτόνιο. Απορροφά μόνο το φωτόνιο εκείνο που έχει ενέργεια ίση με τη διαφορά ενέργειας μεταξύ δύο επιτρεπόμενων ενεργειακών σταθμών. Αν η ενέργεια του φωτονίου δεν ταιριάζει σε καμία μετάβαση, το φωτόνιο δεν απορροφάται.

Σχέση απορρόφησης και εκπομπής

Μετά από ελάχιστο χρονικό διάστημα, το διεγερμένο άτομο επανέρχεται στην κατάσταση $n = 1$ εκπέμποντας ένα φωτόνιο. Το φωτόνιο αυτό έχει μήκος κύματος ίσο με το μήκος κύματος του φωτονίου που είχε απορροφήσει.

Επειδή τα δύο φωτόνια έχουν ίσα μήκη κύματος, θα έχουν επίσης και ίσες ενέργειες:

\lambda_{απορρόφησης} = \lambda_{εκπομπής} \quad \Rightarrow \quad E_{απορρόφησης} = E_{εκπομπής}

Πρόταση — Γιατί φάσμα απορρόφησης και φάσμα εκπομπής αντιστοιχούν

Αυτός είναι ο λόγος που το φάσμα εκπομπής παρουσιάζει μία φωτεινή γραμμή ακριβώς στη θέση της σκοτεινής γραμμής του φάσματος απορρόφησης.

🔎 Σχήματα του βιβλίου που αξίζει να δεις:

Εικόνα 4.3-18 — Ερμηνεία του φάσματος απορρόφησης: Το άτομο απορροφά ένα φωτόνιο και μεταβαίνει από τη θεμελιώδη κατάσταση στην πρώτη διεγερμένη κατάσταση. Η σκοτεινή γραμμή του φάσματος απορρόφησης αντιστοιχεί στο μήκος κύματος του φωτονίου που απορροφήθηκε.
Εικόνα 4.3-19 — Ερμηνεία του φάσματος εκπομπής: Το άτομο εκπέμπει ένα φωτόνιο και μεταβαίνει στη θεμελιώδη κατάσταση. Η φωτεινή γραμμή αντιστοιχεί στο μήκος κύματος του φωτονίου που εκπέμπεται.
Εικόνα 4.3-20: Το φως που απορροφήθηκε από το αέριο επανεκπέμπεται προς όλες τις κατευθύνσεις.

Τι συμβαίνει όταν λευκό φως περνά μέσα από αέριο υδρογόνο

Όταν λευκό φως — το οποίο, όπως γνωρίζουμε, περιέχει όλα τα μήκη κύματος — διέρχεται μέσα από αέριο υδρογόνο, τότε το αέριο απορροφά μόνο εκείνα τα φωτόνια τα οποία έχουν μήκη κύματος που αντιστοιχούν σε μεταβάσεις μεταξύ των επιτρεπόμενων τιμών ενέργειας του ατόμου του υδρογόνου.

Στη συνέχεια, τα διεγερμένα άτομα του υδρογόνου επανέρχονται στη θεμελιώδη κατάσταση εκπέμποντας φωτόνια προς όλες τις κατευθύνσεις. Γι' αυτό, παρότι τα φωτόνια επανεκπέμπονται, ο παρατηρητής που κοιτάζει ευθεία βλέπει σκοτεινές γραμμές: η ένταση προς τη δική του κατεύθυνση έχει μειωθεί, αφού το φως σκορπίζεται παντού.

Συμπέρασμα 📌

Το αέριο απορροφά και εκπέμπει φωτόνια που έχουν ορισμένα μήκη κύματος.
Τα μήκη κύματος των φωτονίων που απορροφά το αέριο είναι ίσα με τα μήκη κύματος των φωτονίων που εκπέμπει.
Το φάσμα απορρόφησης του αερίου παρουσιάζει σκοτεινές γραμμές στη θέση των φωτεινών γραμμών του φάσματος εκπομπής.

Η επιτυχία και η αποτυχία του προτύπου του Bohr 🧩

Έχουμε δει πώς το άτομο παράγει και απορροφά φωτόνια. Ας δούμε τώρα πόσο καλά τα περιγράφει αυτά το πρότυπο του Bohr.

Η βασική σχέση εκπομπής φωτονίου

Σύμφωνα με το πρότυπο του Bohr, όταν το ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου μεταβεί από αρχική τροχιά, που αντιστοιχεί σε κβαντικό αριθμό $n_α$ , σε τελική τροχιά μικρότερης ενέργειας, που αντιστοιχεί σε κβαντικό αριθμό $n_τ$ , τότε εκπέμπεται ένα φωτόνιο συχνότητας $f$ , για την οποία ισχύει:

E_α - E_τ = h f \quad \Rightarrow \quad f = \frac{E_α - E_τ}{h} \tag{4.8}

όπου:

$E_α$ είναι η ενέργεια της αρχικής στάθμης,
$E_τ$ είναι η ενέργεια της τελικής στάθμης,
$h$ είναι η σταθερά του Planck.

Το μήκος κύματος του εκπεμπόμενου φωτονίου υπολογίζεται από την εξίσωση:

c = \lambda f

Ιδιότητα — Επιτυχία του προτύπου ✅

Οι τιμές του μήκους κύματος που υπολογίζονται από τις παραπάνω εξισώσεις συμφωνούν με τις πειραματικές τιμές. Δηλαδή το πρότυπο του Bohr περιγράφει με επιτυχία τα γραμμικά φάσματα του υδρογόνου.

Επέκταση σε υδρογονοειδή

Το πρότυπο του Bohr μπορεί να επεκταθεί και σε ιόντα που έχουν μόνο ένα ηλεκτρόνιο, όπως το $He^{+}$ , το $Li^{2+}$ κ.λπ., τα οποία ονομάζονται υδρογονοειδή.

Η αποτυχία του προτύπου

Προσοχή — Πού αποτυγχάνει το πρότυπο! ❌

Το πρότυπο του Bohr δεν μπορεί να ερμηνεύσει τα γραμμικά φάσματα των ατόμων που έχουν δύο ή περισσότερα ηλεκτρόνια.

Για να ξεπεραστεί αυτό το όριο, κατά το 1920 αναπτύχθηκε μια νέα θεωρία, η κβαντομηχανική, η οποία περιγράφει με επιτυχία τα φαινόμενα που αναφέρονται στα σωματίδια του μικρόκοσμου και στο φως.

Λυμένα Παραδείγματα 📝

Παράδειγμα 1 — Μήκος κύματος εκπομπής (n = 6 → n = 2)

Εκφώνηση: Να υπολογιστεί το μήκος κύματος της ακτινοβολίας που εκπέμπει το άτομο του υδρογόνου, όταν μεταπηδά από την κατάσταση με $n = 6$ στην κατάσταση με $n = 2$ . Η ενέργεια του ατόμου του υδρογόνου στη θεμελιώδη κατάσταση είναι $E_1 = -13{,}6 \ eV$ . Δίνονται $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34} \ J \cdot s$ και $c = 3 \cdot 10^{8} \ m/s$ .

Λύση:

Το μήκος κύματος του φωτονίου που εκπέμπει το άτομο προσδιορίζεται από την εξίσωση $E_6 - E_2 = h f$ . Αντικαθιστώντας $f = \dfrac{c}{\lambda}$ , βρίσκουμε:

E_6 - E_2 = \frac{h c}{\lambda} \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{h c}{E_6 - E_2} \tag{1}

Οι ενέργειες $E_2$ και $E_6$ υπολογίζονται από τη σχέση $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$ :

E_2 = \frac{E_1}{2^2} = \frac{-13{,}6}{4} \ eV = -3{,}4 \ eV = -3{,}4 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \ J

E_6 = \frac{E_1}{6^2} = \frac{-13{,}6}{36} \ eV = -0{,}378 \ eV = -0{,}378 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \ J

Αντικαθιστώντας στην (1) τις παραπάνω τιμές, βρίσκουμε:

\lambda = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^{8}}{(-0{,}378 + 3{,}4) \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}} \ m = 4{,}1 \cdot 10^{-7} \ m

✅ Αποτέλεσμα: $\lambda = 4{,}1 \cdot 10^{-7} \ m = 410 \ nm$ (ορατό φως, ιώδες-μπλε περιοχή).

Προσοχή στα πρόσημα! ⚠️

Οι ενέργειες των ενεργειακών σταθμών του υδρογόνου είναι αρνητικές. Στη διαφορά $E_6 - E_2$ γράφουμε $-0{,}378 - (-3{,}4) = -0{,}378 + 3{,}4$ , που δίνει θετικό αποτέλεσμα — όπως πρέπει, αφού κατά την εκπομπή το άτομο χάνει ενέργεια και το φωτόνιο μεταφέρει θετική ενέργεια.

Παράδειγμα 2 — Ιονισμός με φωτόνιο και με κρούση ηλεκτρονίου

Εκφώνηση: Ένα άτομο υδρογόνου, που βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση, έχει ολική ενέργεια $E_1 = -13{,}6 \ eV$ .

(α) Να υπολογιστεί το μήκος κύματος ενός φωτονίου που θα προκαλέσει ιονισμό του ατόμου.
(β) Να υπολογιστεί η ελάχιστη ταχύτητα ενός ηλεκτρονίου που θα προκαλέσει, λόγω κρούσης, ιονισμό του ατόμου.

Λύση (α):

Η ενέργεια που απαιτείται, για να απομακρυνθεί το ηλεκτρόνιο του ατόμου από τη θεμελιώδη κατάσταση στην κατάσταση $n \to \infty$ , είναι:

E = E_\infty - E_1

Αντικαθιστώντας $E_\infty = 0$ και $E_1 = -13{,}6 \ eV$ , βρίσκουμε:

E = 0 - (-13{,}6) = 13{,}6 \ eV

Η ενέργεια $E$ που απαιτείται, για να ιονιστεί το άτομο, είναι ίση με την ενέργεια $h f$ του φωτονίου που προκαλεί τον ιονισμό. Άρα $E = h f$ . Αντικαθιστώντας $f = \dfrac{c}{\lambda}$ , βρίσκουμε $E = \dfrac{h c}{\lambda}$ , οπότε:

\lambda = \frac{h c}{E} = \frac{(6{,}63 \cdot 10^{-34} \ J \cdot s)(3 \cdot 10^{8} \ m/s)}{13{,}6 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \ J} = 0{,}91 \cdot 10^{-7} \ m

✅ Αποτέλεσμα: $\lambda = 0{,}91 \cdot 10^{-7} \ m = 91 \ nm$ (περιοχή υπεριώδους).

Λύση (β):

Η ενέργεια που απαιτείται, για να ιονιστεί το άτομο, είναι ίση με την κινητική ενέργεια $\dfrac{1}{2} m \upsilon^2$ του ηλεκτρονίου:

E = \frac{1}{2} m \upsilon^2 \quad \Rightarrow \quad \upsilon = \sqrt{\frac{2E}{m}}

Αντικαθιστώντας τις τιμές (με μάζα ηλεκτρονίου $m = 9{,}1 \cdot 10^{-31} \ kg$ ):

\upsilon = \sqrt{\frac{2 \cdot 13{,}6 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \ J}{9{,}1 \cdot 10^{-31} \ kg}} = 2{,}19 \cdot 10^{6} \ m/s

✅ Αποτέλεσμα: $\upsilon = 2{,}19 \cdot 10^{6} \ m/s$ .

Παρατήρηση 🔎

Η ίδια ενέργεια ιονισμού ( $13{,}6 \ eV$ ) μπορεί να προσφερθεί είτε από ένα φωτόνιο κατάλληλου μήκους κύματος (ερώτημα α) είτε από την κινητική ενέργεια ενός ηλεκτρονίου που συγκρούεται με το άτομο (ερώτημα β). Είναι δύο διαφορετικοί μηχανισμοί που οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα.

Παράδειγμα 3 — Υποθετικό άτομο με τρεις ενεργειακές στάθμες

Εκφώνηση: Ένα υποθετικό άτομο έχει τρεις ενεργειακές στάθμες: τη θεμελιώδη και δύο διεγερμένες στάθμες με ενέργεια $1 \ eV$ και $3 \ eV$ , αντίστοιχα, περισσότερη από τη θεμελιώδη.

(α) Να υπολογιστούν οι συχνότητες και τα μήκη κύματος της ακτινοβολίας που μπορεί να εκπέμπει το άτομο.
(β) Ποια μήκη κύματος της ακτινοβολίας μπορεί να απορροφήσει το άτομο, αν βρίσκεται αρχικά στη θεμελιώδη κατάσταση;

Δίνονται $h = 4{,}136 \cdot 10^{-15} \ eV \cdot s$ και $c = 3 \cdot 10^{8} \ m/s$ .

Λύση (α):

🔎 Στο διάγραμμα ενεργειακών σταθμών του ατόμου έχουμε τρεις στάθμες: τη θεμελιώδη ( $0 \ eV$ ), την πρώτη διεγερμένη ( $1 \ eV$ ) και τη δεύτερη διεγερμένη ( $3 \ eV$ ). Οι δυνατές μεταβάσεις εκπομπής είναι τρεις, που τις ονομάζουμε α, β και γ.

Χρησιμοποιούμε την εξίσωση $E = h f$ , δηλαδή $f = \dfrac{E}{h}$ , για καθεμιά μετάβαση:

Μετάβαση α (από $1 \ eV$ στη θεμελιώδη):

f_α = \frac{E}{h} = \frac{1 \ eV - 0}{4{,}136 \cdot 10^{-15} \ eV \cdot s} = 2{,}42 \cdot 10^{14} \ Hz

Μετάβαση β (από $3 \ eV$ στα $1 \ eV$ ):

f_β = \frac{E}{h} = \frac{(3 - 1) \ eV}{4{,}136 \cdot 10^{-15} \ eV \cdot s} = 4{,}84 \cdot 10^{14} \ Hz

Μετάβαση γ (από $3 \ eV$ στη θεμελιώδη):

f_γ = \frac{E}{h} = \frac{3 \ eV - 0}{4{,}136 \cdot 10^{-15} \ eV \cdot s} = 7{,}26 \cdot 10^{14} \ Hz

Τα αντίστοιχα μήκη κύματος υπολογίζονται από τη σχέση $\lambda = \dfrac{c}{f}$ :

\lambda_α = \frac{c}{f_α} = \frac{3 \cdot 10^{8} \ m/s}{2{,}42 \cdot 10^{14} \ Hz} = 1{,}24 \cdot 10^{-6} \ m = 1240 \ nm

\lambda_β = \frac{c}{f_β} = \frac{3 \cdot 10^{8} \ m/s}{4{,}84 \cdot 10^{14} \ Hz} = 6{,}20 \cdot 10^{-7} \ m = 620 \ nm

\lambda_γ = \frac{c}{f_γ} = \frac{3 \cdot 10^{8} \ m/s}{7{,}26 \cdot 10^{14} \ Hz} = 4{,}14 \cdot 10^{-7} \ m = 414 \ nm

Λύση (β):

Από το διάγραμμα προκύπτει ότι, όταν το άτομο βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση, μπορεί να απορροφήσει μόνο φωτόνια με ενέργεια $1 \ eV$ ή $3 \ eV$ (μεταβάσεις δ και ε αντίστοιχα), αφού μόνο αυτές οι ενέργειες οδηγούν σε υπαρκτές ανώτερες στάθμες.

Προσοχή! ⚠️

Το άτομο δεν μπορεί να απορροφήσει φωτόνια ενέργειας $2 \ eV$ , αφού δεν υπάρχει ενεργειακή στάθμη με ενέργεια $2 \ eV$ υψηλότερη από τη θεμελιώδη. Η μετάβαση των $2 \ eV$ (β) γίνεται μόνο κατά την εκπομπή, ξεκινώντας από τη διεγερμένη στάθμη των $3 \ eV$ — όχι από τη θεμελιώδη.

Από τους υπολογισμούς που έχουν γίνει, παρατηρούμε ότι τα αντίστοιχα μήκη κύματος απορρόφησης θα είναι:

\lambda = 1240 \ nm \quad \text{(για το φωτόνιο των } 1 \ eV)

\lambda = 414 \ nm \quad \text{(για το φωτόνιο των } 3 \ eV)

✅ Το άτομο απορροφά στα $1240 \ nm$ και στα $414 \ nm$ , δηλαδή στα ίδια μήκη κύματος των μεταβάσεων α και γ.

Σύνοψη ενότητας 🧠

Διέγερση με κρούση: ένα σωματίδιο συγκρούεται με το άτομο και του δίνει ενέργεια· το διεγερμένο άτομο επανέρχεται εκπέμποντας ένα ή περισσότερα φωτόνια.
Διέγερση με απορρόφηση ακτινοβολίας: το άτομο απορροφά μόνο φωτόνια με κατάλληλη ενέργεια· κατά την επάνοδο εκπέμπει φωτόνιο ίδιου μήκους κύματος.
Φάσματα: οι σκοτεινές γραμμές της απορρόφησης βρίσκονται στις θέσεις των φωτεινών γραμμών της εκπομπής.
Πρότυπο Bohr: ισχύει $E_α - E_τ = h f$ · περιγράφει σωστά το υδρογόνο και τα υδρογονοειδή, αλλά αποτυγχάνει για άτομα με δύο ή περισσότερα ηλεκτρόνια — εκεί χρειάζεται η κβαντομηχανική.

Ολοκλήρωση ενότητας «Μηχανισμός παραγωγής και απορρόφησης φωτονίων».