Διακριτές ενεργειακές στάθμες ⚛️

Στο προηγούμενο μάθημα είδαμε ότι η ενέργεια του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, αλλά μόνο ορισμένες, συγκεκριμένες τιμές. Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε πώς αναπαριστούμε αυτές τις τιμές με το διάγραμμα ενεργειακών σταθμών και πώς το άτομο μπορεί να αλλάζει ενεργειακή κατάσταση μέσω της διέγερσης και του ιονισμού.

Ενεργειακές στάθμες 📊

Ορισμός: Ενεργειακές στάθμες

Οι επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας του υδρογόνου και κάθε ατόμου ονομάζονται ενεργειακές στάθμες.

Οι αντίστοιχες καταστάσεις του ατόμου ονομάζονται ενεργειακές καταστάσεις.

Με βάση τα όσα γνωρίζουμε από την ενότητα 4.1, η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου δίνεται από τη σχέση:

E_n = -\frac{13{,}6}{n^2} \; \text{eV}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots

όπου $n$ ο κύριος κβαντικός αριθμός. Κάθε τιμή του $n$ δίνει και μία διαφορετική ενεργειακή στάθμη.

Θεμελιώδης και διεγερμένες καταστάσεις

Ορισμός: Θεμελιώδης και διεγερμένες καταστάσεις

Η κατάσταση με τη χαμηλότερη ενέργεια $E_1$ ονομάζεται θεμελιώδης κατάσταση.

Όλες οι άλλες ενεργειακές καταστάσεις $E_2, E_3, \ldots$ ονομάζονται διεγερμένες καταστάσεις.

Για το άτομο του υδρογόνου, οι πρώτες ενεργειακές στάθμες έχουν τις εξής τιμές:

Στάθμη	Κβαντικός αριθμός $n$	Ενέργεια $E_n$ (eV)	Κατάσταση
1η	$n=1$	$-13{,}6$	θεμελιώδης
2η	$n=2$	$-3{,}40$	1η διεγερμένη
3η	$n=3$	$-1{,}51$	2η διεγερμένη
4η	$n=4$	$-0{,}85$	3η διεγερμένη
...	...	...	...
$\infty$	$n \to \infty$	$0$	ελεύθερο ηλεκτρόνιο

Προσοχή!

Οι ενέργειες των σταθμών είναι αρνητικές. Όσο αυξάνεται ο κβαντικός αριθμός $n$ , τόσο αυξάνεται η ενέργεια (γίνεται λιγότερο αρνητική, δηλαδή πλησιάζει το μηδέν).

Άρα η θεμελιώδης κατάσταση ( $n=1$ , $E_1 = -13{,}6$ eV) είναι η κατάσταση με τη μικρότερη ενέργεια και η πιο σταθερή κατάσταση του ατόμου.

Διάγραμμα ενεργειακών σταθμών 📈

Πώς κατασκευάζεται το διάγραμμα

Παίρνουμε κατακόρυφο άξονα βαθμολογημένο σε τιμές ενέργειας και σχεδιάζουμε οριζόντιες ευθείες γραμμές στις θέσεις που αντιστοιχούν στις επιτρεπόμενες τιμές ενέργειας $E_1, E_2, E_3, \ldots$ του ηλεκτρονίου. Το σχήμα που προκύπτει είναι το διάγραμμα των ενεργειακών σταθμών.

Πώς να φανταστείς το διάγραμμα (δες και την Εικόνα 4.2-16 του σχολικού βιβλίου):

Στο κάτω μέρος βρίσκεται η θεμελιώδης στάθμη $E_1 = -13{,}6$ eV, η οποία απέχει αρκετά από τις υπόλοιπες.
Πιο πάνω βρίσκονται οι στάθμες $E_2 = -3{,}40$ eV, $E_3 = -1{,}51$ eV, $E_4 = -0{,}85$ eV κ.ο.κ.
Καθώς ανεβαίνουμε, οι στάθμες πυκνώνουν μεταξύ τους (η απόσταση μεταξύ διαδοχικών σταθμών μικραίνει) και συγκλίνουν προς την τιμή $E_\infty = 0$ στην κορυφή.

Πρόταση: Σημασία της απόστασης των σταθμών

Η απόσταση μεταξύ δύο ενεργειακών σταθμών στο διάγραμμα αντιστοιχεί στη διαφορά των αντίστοιχων ολικών ενεργειών του ηλεκτρονίου.

Η μετάβαση του ηλεκτρονίου από μία τροχιά σε άλλη συμβολίζεται με κατακόρυφο βέλος, που έχει αρχή την αρχική στάθμη και τέλος την τελική στάθμη.

Προσοχή στη φορά του βέλους!

Βέλος με φορά προς τα πάνω ➡️⬆️ σημαίνει μετάβαση σε υψηλότερη στάθμη, δηλαδή απορρόφηση ενέργειας (διέγερση).
Βέλος με φορά προς τα κάτω ⬇️ σημαίνει μετάβαση σε χαμηλότερη στάθμη, δηλαδή εκπομπή ενέργειας (αποδιέγερση).

Διέγερση του ατόμου ⬆️

Αν το άτομο του υδρογόνου που βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση απορροφήσει ενέργεια, τότε το ηλεκτρόνιο μπορεί να μεταπηδήσει σε άλλη επιτρεπόμενη τροχιά υψηλότερης ενέργειας.

Ορισμός: Διέγερση και ενέργεια διέγερσης

Η μετάβαση ενός ηλεκτρονίου του ατόμου από μία τροχιά χαμηλής ενέργειας σε άλλη υψηλότερης ενέργειας ονομάζεται διέγερση του ατόμου.

Η ενέργεια που απαιτείται για τη διέγερση του ατόμου ονομάζεται ενέργεια διέγερσης.

Η ενέργεια διέγερσης για τη μετάβαση από μια αρχική στάθμη $E_{\alpha\rho\chi}$ σε μια τελική στάθμη $E_{\tau\epsilon\lambda}$ (με $E_{\tau\epsilon\lambda} > E_{\alpha\rho\chi}$ ) είναι:

E_{\delta\iota\epsilon\gamma} = E_{\tau\epsilon\lambda} - E_{\alpha\rho\chi}

Αποδιέγερση και εκπομπή φωτονίων

Το διεγερμένο άτομο δεν παραμένει σταθερό στην κατάσταση διέγερσης. Παραμένει εκεί για ελάχιστο χρονικό διάστημα (της τάξης του $10^{-8}$ s) και στη συνέχεια επανέρχεται στη θεμελιώδη κατάσταση.

Πρόταση: Τρόποι επανόδου

Η επάνοδος του ηλεκτρονίου στη θεμελιώδη κατάσταση μπορεί να γίνει:

Είτε απευθείας με ένα άλμα, οπότε εκπέμπεται ένα φωτόνιο,
είτε με περισσότερα διαδοχικά άλματα, οπότε εκπέμπονται τόσα φωτόνια όσα και τα άλματα που πραγματοποιεί το ηλεκτρόνιο.

Το ήξερες; 💡

Ο πολύ μικρός χρόνος ζωής μιας διεγερμένης κατάστασης ( $\sim 10^{-8}$ s) είναι ο λόγος που τα αέρια λάμπουν αμέσως μόλις τα διεγείρουμε (π.χ. στις λάμπες νέον). Το άτομο διεγείρεται και σχεδόν ακαριαία αποδιεγείρεται εκπέμποντας φως!

Ιονισμός του ατόμου 💥

Μερικές φορές το άτομο μπορεί να απορροφήσει τόσο μεγάλη ενέργεια, ώστε είναι δυνατό το ηλεκτρόνιό του να απομακρυνθεί από τον πυρήνα, σε περιοχή που ο πυρήνας δεν ασκεί πλέον ηλεκτρική δύναμη στο ηλεκτρόνιο. Το ηλεκτρόνιο απομακρύνεται οριστικά από τον πυρήνα και το άτομο μετατρέπεται σε θετικό ιόν.

Ορισμός: Ιονισμός και ενέργεια ιονισμού

Η απομάκρυνση ενός ηλεκτρονίου του ατόμου σε περιοχή εκτός του ηλεκτρικού πεδίου του πυρήνα ονομάζεται ιονισμός του ατόμου.

Η ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται, για να απομακρυνθεί το ηλεκτρόνιο του ατόμου από τη θεμελιώδη τροχιά σε περιοχή εκτός του ηλεκτρικού πεδίου του πυρήνα, ονομάζεται ενέργεια ιονισμού.

Η περιοχή «εκτός του ηλεκτρικού πεδίου του πυρήνα» αντιστοιχεί στην κατάσταση με $n \to \infty$ , όπου η ενέργεια του ατόμου είναι $E_\infty$ . Επομένως, η ενέργεια ιονισμού (από τη θεμελιώδη κατάσταση) είναι:

E_{\iota o \nu} = E_\infty - E_1

όπου $E_\infty$ είναι η ενέργεια του ατόμου που αντιστοιχεί σε κατάσταση με $n \to \infty$ και $E_1$ η ενέργειά του στη θεμελιώδη κατάσταση.

Πόρισμα για το υδρογόνο

Επειδή $E_\infty = 0$ , η σχέση γίνεται:

E_{\iota o \nu} = -E_1

Πόρισμα: Ενέργεια ιονισμού του υδρογόνου

Για το άτομο του υδρογόνου είναι $E_1 = -13{,}6$ eV, οπότε η ενέργεια ιονισμού είναι:

E_{\iota o \nu} = -E_1 = -(-13{,}6\;\text{eV}) = 13{,}6\;\text{eV}

Προσοχή στη διαφορά διέγερσης – ιονισμού!

Στη διέγερση το ηλεκτρόνιο μεταπηδά σε μια ανώτερη επιτρεπόμενη τροχιά, αλλά παραμένει δέσμιο στο άτομο.
Στον ιονισμό το ηλεκτρόνιο εγκαταλείπει οριστικά το άτομο και γίνεται ελεύθερο. Το άτομο γίνεται θετικό ιόν.

Η ενέργεια ιονισμού είναι η μεγαλύτερη δυνατή «ενέργεια διέγερσης», αυτή που οδηγεί στην τελική στάθμη $n \to \infty$ .

Λυμένα Παραδείγματα ✍️

Παράδειγμα 1: Ενέργεια διέγερσης

Εκφώνηση. Άτομο υδρογόνου βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση ( $E_1 = -13{,}6$ eV). Πόση ενέργεια πρέπει να απορροφήσει για να διεγερθεί στη στάθμη με $n=2$ ( $E_2 = -3{,}40$ eV);

Λύση.

Η απαιτούμενη ενέργεια διέγερσης ισούται με τη διαφορά της τελικής από την αρχική στάθμη:

E_{\delta\iota\epsilon\gamma} = E_2 - E_1

Αντικαθιστούμε τις τιμές:

E_{\delta\iota\epsilon\gamma} = (-3{,}40\;\text{eV}) - (-13{,}6\;\text{eV}) = -3{,}40 + 13{,}6 = 10{,}2\;\text{eV}

Άρα το άτομο πρέπει να απορροφήσει ενέργεια $E_{\delta\iota\epsilon\gamma} = 10{,}2$ eV. ✅

Παράδειγμα 2: Πλήθος εκπεμπόμενων φωτονίων

Εκφώνηση. Άτομο υδρογόνου διεγείρεται στη στάθμη $n=3$ . Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να επανέλθει στη θεμελιώδη κατάσταση και πόσα φωτόνια εκπέμπονται σε κάθε περίπτωση;

Λύση.

Το ηλεκτρόνιο βρίσκεται στη στάθμη $n=3$ και πρέπει να φτάσει στη στάθμη $n=1$ . Οι δυνατές διαδρομές είναι:

Απευθείας $n=3 \to n=1$ : εκπέμπεται 1 φωτόνιο (1 άλμα).
Διαδοχικά $n=3 \to n=2 \to n=1$ : εκπέμπονται 2 φωτόνια (2 άλματα).

Σε ένα μεγάλο πλήθος ατόμων που αποδιεγείρονται, μπορούμε συνολικά να παρατηρήσουμε 3 διαφορετικές μεταβάσεις ( $3\to 1$ , $3\to 2$ , $2\to 1$ ), άρα 3 διαφορετικές ενέργειες/συχνότητες φωτονίων. ✅

Παράδειγμα 3: Ενέργεια ιονισμού από διεγερμένη κατάσταση

Εκφώνηση. Πόση ενέργεια χρειάζεται για να ιονιστεί ένα άτομο υδρογόνου που βρίσκεται ήδη στη στάθμη $n=2$ ( $E_2 = -3{,}40$ eV);

Λύση.

Ιονισμός σημαίνει μετάβαση του ηλεκτρονίου σε κατάσταση με $n \to \infty$ , όπου $E_\infty = 0$ . Η απαιτούμενη ενέργεια είναι:

E = E_\infty - E_2 = 0 - (-3{,}40\;\text{eV}) = 3{,}40\;\text{eV}

Άρα χρειάζονται $3{,}40$ eV. ✅

Παρατήρηση

Παρατηρούμε ότι η ενέργεια που χρειάζεται για ιονισμό από τη στάθμη $n=2$ ( $3{,}40$ eV) είναι πολύ μικρότερη από την ενέργεια ιονισμού από τη θεμελιώδη κατάσταση ( $13{,}6$ eV). Όσο πιο διεγερμένο είναι το άτομο, τόσο ευκολότερα ιονίζεται, αφού το ηλεκτρόνιο είναι ασθενέστερα δεσμευμένο.

Σύνοψη 📝

Οι επιτρεπόμενες τιμές ενέργειας ενός ατόμου είναι οι ενεργειακές στάθμες. Η χαμηλότερη ( $E_1$ ) είναι η θεμελιώδης, οι υπόλοιπες οι διεγερμένες.
Στο διάγραμμα ενεργειακών σταθμών, οι στάθμες είναι οριζόντιες γραμμές σε κατακόρυφο άξονα ενέργειας. Οι μεταβάσεις συμβολίζονται με κατακόρυφα βέλη (πάνω = απορρόφηση, κάτω = εκπομπή).
Διέγερση: μετάβαση σε ανώτερη στάθμη με απορρόφηση ενέργειας $E_{\delta\iota\epsilon\gamma} = E_{\tau\epsilon\lambda} - E_{\alpha\rho\chi}$ . Η αποδιέγερση γίνεται σε $\sim 10^{-8}$ s με εκπομπή φωτονίων.
Ιονισμός: οριστική απομάκρυνση του ηλεκτρονίου. Ενέργεια ιονισμού $E_{\iota o \nu} = E_\infty - E_1 = -E_1$ . Για το υδρογόνο $E_{\iota o \nu} = 13{,}6$ eV.