Ενέργεια του Ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου ⚛️

Σε αυτή την ενότητα παρακολουθούμε ένα από τα πιο συναρπαστικά «ταξίδια» της Φυσικής: την προσπάθεια των επιστημόνων να καταλάβουν τη δομή του ατόμου. Θα δούμε πώς η ιδέα του ατόμου ξεκίνησε ως φιλοσοφική σκέψη, πώς μετατράπηκε σε επιστημονικό πρότυπο και πώς, τελικά, ο Bohr εξήγησε γιατί τα άτομα εκπέμπουν φως μόνο σε συγκεκριμένα «χρώματα». Στο τέλος θα αποδείξουμε τους βασικούς τύπους που περιγράφουν τις επιτρεπόμενες τροχιές και τις ενέργειες του ηλεκτρονίου.

Από τη φιλοσοφία στην επιστήμη: η ιστορία της ιδέας του ατόμου 📜

Οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με το πρόβλημα των συστατικών της ύλης ήταν οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι. Ο Λεύκιππος και ο Δημόκριτος υποστήριζαν ότι η ύλη αποτελείται από πολύ μικρά σωματίδια, τα οποία δεν μπορούν να διαιρούνται απεριόριστα. Γι' αυτό ονομάστηκαν άτομα, δηλαδή «άτμητα» (αυτά που δεν τέμνονται, δεν κόβονται).

Σύμφωνα με τη φιλοσοφική αυτή θεωρία:

Η ύλη αποτελείται από άτομα που διαφέρουν μεταξύ τους κατά το σχήμα και κατά το μέγεθος.
Τα άτομα δε δημιουργούνται ούτε καταστρέφονται· είναι άφθαρτα και αιώνια.
Τα άτομα είναι πάρα πολλά και βρίσκονται σε διαρκή κίνηση μέσα στο κενό.
Τα φυσικά φαινόμενα οφείλονται στην κίνηση των ατόμων.
Ο σχηματισμός των σωμάτων οφείλεται στις ενώσεις των ατόμων, ενώ η καταστροφή τους στο διαχωρισμό τους.

Ο Επίκουρος επηρεάστηκε από τη θεωρία του Δημόκριτου. Ένα μέρος της σώθηκε σε ποίημα του Ρωμαίου ποιητή Λουκρήτιου, όπου ερμηνεύονται με βάση τις ατομικές αντιλήψεις η πίεση των αερίων, η διάχυση των οσμών και το σχήμα των κρυστάλλων.

Προσοχή!

Η ατομική θεωρία του Δημόκριτου ήταν καθαρά φιλοσοφική: δεν υπήρχε καμία πειραματική παρατήρηση για την υποστήριξή της. Καταπολεμήθηκε από τον Πλάτωνα, τον Αριστοτέλη και τους μαθητές τους και έπεσε σε αφάνεια μέχρι τον 19ο αιώνα.

Στις αρχές του 19ου αιώνα ο Dalton (Ντάλτον) επανέφερε την ατομική θεωρία, για να εξηγήσει τους νόμους της Χημείας που ανακάλυψε πειραματικά. Σημαντικό σταθμό αποτέλεσε η ανακάλυψη του ηλεκτρονίου από τον Thomson (Τόμσον) στο τέλος του 19ου αιώνα.

Το ήξερες;

Η ανακάλυψη του ηλεκτρονίου ως συστατικού του ατόμου ανέτρεψε την αρχαία ιδέα: το άτομο έχει εσωτερική δομή, άρα δεν είναι πραγματικά «άτμητο»! Το ίδιο το όνομά του έγινε, κατά κάποιον τρόπο, ιστορικό αστείο.

Από τις μετρήσεις προέκυψαν δύο σημαντικά συμπεράσματα:

Επειδή η ύλη είναι ηλεκτρικά ουδέτερη, το άτομο πρέπει να έχει ίσες ποσότητες θετικού και αρνητικού φορτίου.
Η μάζα του θετικά φορτισμένου τμήματος είναι μεγαλύτερη από τη μάζα των ηλεκτρονίων.

Έτσι, τέθηκε το κρίσιμο ερώτημα:

«Πώς η μάζα και το φορτίο κατανέμονται στο εσωτερικό του ατόμου;»

Πρότυπο του Thomson 🍞

Ο Thomson πρότεινε το πρώτο πειραματικά θεμελιωμένο πρότυπο για τη δομή του ατόμου.

Ορισμός — Πρότυπο του Thomson

Το άτομο αποτελείται από μια σφαίρα θετικού φορτίου, ομοιόμορφα κατανεμημένου, μέσα στην οποία είναι ενσωματωμένα τα ηλεκτρόνια, όπως οι σταφίδες μέσα σε ένα σφαιρικό σταφιδόψωμο.

Γι' αυτό το πρότυπο είναι γνωστό και ως μοντέλο του σταφιδόψωμου (plum pudding model). Στο σχήμα 4.1-5 του σχολικού βιβλίου φαντάσου μια ομοιόμορφη θετική σφαίρα μέσα στην οποία είναι «κολλημένα» εδώ κι εκεί τα μικρά αρνητικά ηλεκτρόνια.

Πρότυπο του Rutherford: το πλανητικό μοντέλο 🪐

Ο Rutherford (Ράδερφορντ) και οι μαθητές του πραγματοποίησαν τα πρώτα πειράματα για τη διερεύνηση της εσωτερικής δομής του ατόμου. Σε αυτά, μια δέσμη θετικά φορτισμένων σωματίων α (πυρήνων ηλίου) κατευθύνεται προς ένα λεπτό μεταλλικό φύλλο χρυσού, που λειτουργεί ως στόχος (σχήμα 4.1-6).

Τι προέβλεπε το πρότυπο του Thomson

Αν ίσχυε το πρότυπο του Thomson, η δέσμη των σωματίων α δε θα έπρεπε να αποκλίνει σημαντικά, για τους εξής λόγους:

α. Το ολικό φορτίο του ατόμου είναι μηδέν, άρα δεν ασκείται ηλεκτρική δύναμη στα σωμάτια α όσο βρίσκονται έξω από το άτομο.
β. Επειδή το θετικό φορτίο είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο, δεν μπορεί να ασκήσει σημαντική απωστική δύναμη όσο τα σωμάτια α βρίσκονται μέσα στο άτομο.
γ. Η σύγκρουση με τα ηλεκτρόνια δεν επηρεάζει σημαντικά την κίνηση των σωματίων α, γιατί τα ηλεκτρόνια έχουν πολύ μικρότερη μάζα — όπως δεν επηρεάζεται η κίνηση μιας βαριάς πέτρας μέσα στη βροχή.

Τι παρατηρήθηκε στην πραγματικότητα

Ο Rutherford παρατήρησε ότι:

Τα περισσότερα σωμάτια α διέρχονται μέσα από το στόχο σχεδόν ανεπηρέαστα, σαν να κινούνται σε σχεδόν κενό χώρο.
Αρκετά αποκλίνουν σε διάφορες γωνίες.
Λίγα όμως αποκλίνουν ακόμη και κατά $180^\circ$ (γυρίζουν προς τα πίσω!).

Προσοχή!

Η απόκλιση κατά μεγάλη γωνία μπορεί να συμβεί μόνο αν το θετικό φορτίο είναι συγκεντρωμένο σε πολύ μικρό χώρο, ώστε να ασκεί στα σωμάτια α μεγάλες απωστικές ηλεκτρικές δυνάμεις. Αυτό αντικρούει ευθέως το πρότυπο του Thomson.

Για να ερμηνεύσει τις παρατηρήσεις του, ο Rutherford πρότεινε νέο πρότυπο.

Ορισμός — Πρότυπο του Rutherford

Το άτομο αποτελείται από μια πολύ μικρή περιοχή στην οποία είναι συγκεντρωμένο όλο το θετικό φορτίο και σχεδόν όλη η μάζα του ατόμου. Η περιοχή αυτή ονομάζεται πυρήνας. Ο πυρήνας περιβάλλεται από ηλεκτρόνια, τα οποία κινούνται γύρω του σε κυκλικές τροχιές, όπως οι πλανήτες γύρω από τον Ήλιο.

Τα ηλεκτρόνια πρέπει να κινούνται (και όχι να είναι ακίνητα), γιατί αλλιώς θα έπεφταν πάνω στον πυρήνα εξαιτίας της ηλεκτρικής έλξης. Το πρότυπο αυτό ονομάζεται και πλανητικό μοντέλο του ατόμου (σχήμα 4.1-8), αφού αποτελεί μικρογραφία του ηλιακού πλανητικού συστήματος. Είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη σύγχρονη εικόνα του ατόμου — όμως, όπως θα δούμε, έχει σοβαρές αδυναμίες.

Ατομικά φάσματα: τα «δακτυλικά αποτυπώματα» των στοιχείων 🌈

Φάσμα εκπομπής

Όταν εφαρμόσουμε ορισμένη τάση σε γυάλινο σωλήνα που περιέχει αέριο σε χαμηλή πίεση (όπως στις διαφημιστικές λυχνίες νέου), το αέριο εκπέμπει φως. Αν το φως αυτό αναλυθεί περνώντας μέσα από ένα πρίσμα, παρατηρούμε μια σειρά από φωτεινές γραμμές. Κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε διαφορετικό μήκος κύματος (χρώμα).

Ορισμός — Γραμμικό φάσμα εκπομπής

Γραμμικό φάσμα εκπομπής ενός αερίου ονομάζεται η σειρά των φωτεινών γραμμών που παρατηρούνται όταν αναλύεται το φως που εκπέμπει το αέριο.

Τα μήκη κύματος του γραμμικού φάσματος εκπομπής είναι χαρακτηριστικά του στοιχείου που εκπέμπει το φως. Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικά στοιχεία με το ίδιο φάσμα.

Το ήξερες;

Το γραμμικό φάσμα παίζει το ρόλο των δακτυλικών αποτυπωμάτων του στοιχείου! Όπως από τα δακτυλικά αποτυπώματα βρίσκουμε τον άνθρωπο στον οποίο ανήκουν, έτσι κι από το γραμμικό φάσμα μπορούμε να αναγνωρίσουμε το στοιχείο. Έτσι οι αστρονόμοι ανακαλύπτουν από ποια στοιχεία αποτελούνται μακρινά άστρα, χωρίς να τα αγγίξουν ποτέ.

Φάσμα απορρόφησης

Ένα αέριο μπορεί όχι μόνο να εκπέμπει αλλά και να απορροφά φως.

Αν φωτίσουμε ένα πρίσμα με πηγή λευκού φωτός και τοποθετήσουμε πίσω του πέτασμα, βλέπουμε μια συνεχή χρωματιστή ταινία: το συνεχές φάσμα του λευκού φωτός (σχήμα 4.1-10).
Αν τώρα ανάμεσα στην πηγή και στο πρίσμα παρεμβάλουμε δοχείο με κάποιο αέριο, η χρωματιστή ταινία διακόπτεται από σκοτεινές γραμμές (σχήμα 4.1-11).

Ορισμός — Γραμμικό φάσμα απορρόφησης

Γραμμικό φάσμα απορρόφησης ενός αερίου ονομάζεται το συνεχές φάσμα που εμφανίζει σκοτεινές γραμμές, ακριβώς στις συχνότητες στις οποίες το ίδιο αέριο θα εμφάνιζε τις φωτεινές γραμμές του φάσματος εκπομπής του.

Δύο θεμελιώδη συμπεράσματα

Τα πειράματα οδηγούν στις εξής προτάσεις:

α. Το φάσμα εκπομπής ή απορρόφησης ενός αερίου αποτελείται από ορισμένες φασματικές γραμμές που είναι χαρακτηριστικές του αερίου. Κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε ορισμένη συχνότητα (ή μήκος κύματος).
β. Κάθε γραμμή του φάσματος απορρόφησης συμπίπτει με μια γραμμή του φάσματος εκπομπής. Δηλαδή κάθε αέριο απορροφά μόνο εκείνες τις ακτινοβολίες τις οποίες μπορεί να εκπέμπει.

Προσοχή — η μεγάλη πρόκληση

Τα γραμμικά φάσματα αποτέλεσαν το κλειδί για την έρευνα της δομής του ατόμου. Κάθε αξιόπιστη θεωρία πρέπει να εξηγεί:

Γιατί τα άτομα εκπέμπουν ή απορροφούν μόνο ορισμένες ακτινοβολίες.
Γιατί απορροφούν μόνο εκείνες που μπορούν να εκπέμπουν.

Γιατί απέτυχε το μοντέλο του Rutherford ⚠️

Το πλανητικό μοντέλο, αν και επιτυχημένο για τη σκέδαση, αδυνατούσε να εξηγήσει τα γραμμικά φάσματα. Ας δούμε γιατί (σχήμα 4.1-12):

Το ηλεκτρόνιο περιφέρεται γύρω από τον πυρήνα σε κυκλική τροχιά. Το μέτρο της ταχύτητάς του είναι σταθερό, αλλά η κατεύθυνσή της μεταβάλλεται συνεχώς. Άρα το ηλεκτρόνιο έχει επιτάχυνση (κεντρομόλο).
Σύμφωνα με την ηλεκτρομαγνητική θεωρία, κάθε επιταχυνόμενο φορτίο εκπέμπει ακτινοβολία, δηλαδή ακτινοβολεί ενέργεια.
Επομένως η ενέργεια του ηλεκτρονίου θα έπρεπε να μειώνεται συνεχώς. Το ηλεκτρόνιο θα κινούνταν σε σπειροειδή τροχιά με διαρκώς μειούμενη ακτίνα και διαρκώς μεταβαλλόμενη συχνότητα, μέχρι να πέσει στον πυρήνα.
Η συχνότητα της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας θα ήταν ίση με τη συχνότητα περιφοράς, η οποία μεταβάλλεται συνεχώς.

Προσοχή!

Σύμφωνα με το μοντέλο του Rutherford, τα άτομα θα έπρεπε να εκπέμπουν συνεχές φάσμα (και μάλιστα να καταρρέουν!) — όχι το γραμμικό φάσμα που παρατηρείται στην πραγματικότητα. Εδώ η κλασική Φυσική φτάνει στα όριά της.

Το πρότυπο του Bohr για το υδρογόνο 🎯

Στις αρχές του 20ού αιώνα οι επιστήμονες διαπίστωσαν ότι η κλασική Φυσική δεν μπορούσε να εξηγήσει:

Γιατί το υδρογόνο εκπέμπει μόνο ορισμένα μήκη κύματος;
Γιατί απορροφά μόνο τα μήκη κύματος που εκπέμπει;

Για να απαντήσει, ο Δανός φυσικός Niels Bohr (Μπορ) πρότεινε ένα νέο πρότυπο για το άτομο του υδρογόνου, που στηρίζεται σε τέσσερις παραδοχές.

Το ήξερες;

Ο Niels Bohr (1885–1962) τιμήθηκε με το βραβείο Nobel Φυσικής το 1922 για την έρευνά του στη δομή των ατόμων.

Οι παραδοχές του Bohr

α. Το ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου περιφέρεται γύρω από το θετικά φορτισμένο πυρήνα με την επίδραση της δύναμης Coulomb που δέχεται από αυτόν.

β. Το ηλεκτρόνιο μπορεί να κινείται μόνο σε ορισμένες τροχιές, τις επιτρεπόμενες τροχιές. Επιτρεπόμενες είναι εκείνες για τις οποίες η στροφορμή του ηλεκτρονίου είναι κβαντωμένη, ίση με ακέραιο πολλαπλάσιο της ποσότητας $\hbar = \dfrac{h}{2\pi}$ , όπου $h$ η σταθερά του Planck. Το μέτρο της στροφορμής δίνεται από τη σχέση $L = m\upsilon r$ , οπότε η συνθήκη κβάντωσης γράφεται:

m\upsilon r = n\,\frac{h}{2\pi} = n\hbar, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots, \infty \tag{4.1}

όπου $m$ η μάζα του ηλεκτρονίου, $\upsilon$ το μέτρο της ταχύτητάς του και $r$ η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς (σχήμα 4.1-14: η δύναμη Coulomb $F$ προκαλεί την απαιτούμενη κεντρομόλο επιτάχυνση).

γ. Όταν το ηλεκτρόνιο κινείται σε ορισμένη επιτρεπόμενη τροχιά, δεν εκπέμπει ακτινοβολία.

Προσοχή — τολμηρή υπόθεση!

Η παραδοχή (γ) έρχεται σε ευθεία αντίθεση με την κλασική ηλεκτρομαγνητική θεωρία, σύμφωνα με την οποία το ηλεκτρόνιο θα έπρεπε να ακτινοβολεί συνεχώς, να διαγράφει σπειροειδή τροχιά και τελικά να πέφτει στον πυρήνα. Ο Bohr απλώς «απαγόρευσε» αυτή τη συμπεριφορά — και πέτυχε!

δ. Όταν το ηλεκτρόνιο μεταπηδά από μία επιτρεπόμενη τροχιά σε άλλη μικρότερης ενέργειας, εκπέμπεται ένα φωτόνιο με ενέργεια ίση με τη διαφορά αρχικής και τελικής ενέργειας. Αν $E_\alpha$ είναι η ενέργεια του ατόμου πριν τη μετάβαση, $E_\tau$ η ενέργεια μετά τη μετάβαση και $hf$ η ενέργεια του φωτονίου, τότε:

E_\tau - E_\alpha = hf \tag{4.2}

Ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου 🔋

Θα υπολογίσουμε την κινητική, τη δυναμική και την ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου στο άτομο του υδρογόνου. Θεωρούμε ότι το ηλεκτρόνιο περιφέρεται γύρω από τον ακίνητο πυρήνα, που αποτελείται από ένα πρωτόνιο.

Βήμα 1 — Δεύτερος νόμος του Νεύτωνα. Η ηλεκτρική ελκτική δύναμη Coulomb $F = \dfrac{ke^2}{r^2}$ παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης, άρα ισούται με $m\alpha_\kappa$ , όπου $\alpha_\kappa = \dfrac{\upsilon^2}{r}$ η κεντρομόλος επιτάχυνση:

F = m\alpha_\kappa \quad\Longrightarrow\quad \frac{ke^2}{r^2} = \frac{m\upsilon^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad \upsilon = e\sqrt{\frac{k}{mr}} \tag{1}

Βήμα 2 — Κινητική ενέργεια. Από τη σχέση $\frac{ke^2}{r^2} = \frac{m\upsilon^2}{r}$ προκύπτει $m\upsilon^2 = \dfrac{ke^2}{r}$ . Αντικαθιστώντας στην $K = \frac{1}{2}m\upsilon^2$ :

K = \frac{ke^2}{2r} \tag{2}

Βήμα 3 — Δυναμική ενέργεια. Η δυναμική ενέργεια της αλληλεπίδρασης ηλεκτρονίου–πυρήνα είναι:

U = -\frac{ke^2}{r} \tag{3}

Βήμα 4 — Ολική ενέργεια. Η ολική ενέργεια είναι το άθροισμα κινητικής και δυναμικής:

E = K + U = \frac{ke^2}{2r} + \left(-\frac{ke^2}{r}\right)

\boxed{\,E = -\frac{ke^2}{2r}\,} \tag{4.3}

Αυτή είναι η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου (τύπος 4.3).

Παρατήρηση — τι σημαίνει «ενέργεια του ηλεκτρονίου»

Όταν αναφερόμαστε στην ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου, εννοούμε την ενέργεια του συστήματος ηλεκτρονίου + ακίνητου πυρήνα. Η ενέργεια αυτή οφείλεται στην αλληλεπίδραση μεταξύ τους.

Προσοχή!

Παρατήρησε τη σχέση των ενεργειών:

K = \frac{ke^2}{2r}, \qquad U = -\frac{ke^2}{r}, \qquad E = -\frac{ke^2}{2r}

Δηλαδή $E = -K$ και $U = 2E$ . Η ολική ενέργεια είναι αρνητική — αυτό σημαίνει ότι το ηλεκτρόνιο είναι δέσμιο στο άτομο.

Επιτρεπόμενες τροχιές και τιμές ενέργειας 🪜

Ορισμός — Ακτίνα του Bohr

Η μικρότερη ακτίνα επιτρεπόμενης τροχιάς του ηλεκτρονίου ονομάζεται ακτίνα του Bohr και είναι ίση με $r_1 = 0{,}53\times 10^{-10}\ \text{m}$ .

Οι ακτίνες των υπόλοιπων επιτρεπόμενων τροχιών δίνονται από την εξίσωση:

r_n = n^2\, r_1 \tag{4.4}

όπου $n$ είναι θετικός ακέραιος, ο κύριος κβαντικός αριθμός, που μπορεί να πάρει τιμές:

n = 1, 2, 3, \ldots, \infty

Όταν το ηλεκτρόνιο κινείται στην τροχιά με τη μικρότερη ακτίνα ( $n = 1$ ), έχει την ελάχιστη ενέργεια, ίση με $E_1 = -13{,}6\ \text{eV}$ . Στις άλλες επιτρεπόμενες τροχιές η ολική ενέργεια δίνεται από:

E_n = \frac{E_1}{n^2} \tag{4.5}

Αντικαθιστώντας $n = 1, 2, 3, \ldots$ στις (4.4) και (4.5) προκύπτει ο παρακάτω πίνακας:

Κύριος κβαντικός αριθμός	$n = 1$	$n = 2$	$n = 3$	$\ldots$	$n \to \infty$
Ακτίνα	$r_1$	$4r_1$	$9r_1$	$\ldots$	$\infty$
Ολική ενέργεια	$E_1$	$E_1/4$	$E_1/9$	$\ldots$	$0$

Στο σχήμα 4.1-15 του σχολικού βιβλίου αυτές οι τροχιές παριστάνονται ως ομόκεντροι κύκλοι γύρω από τον πυρήνα, με ακτίνες που μεγαλώνουν όλο και πιο γρήγορα ( $\times 1, \times 4, \times 9, \ldots$ ).

Παρατήρηση — η σημασία του αρνητικού προσήμου

Οι τιμές της ενέργειας είναι αρνητικές. Η μεγαλύτερη τιμή είναι $E = 0$ , που αντιστοιχεί σε $n \to \infty$ και $r \to \infty$ : το ηλεκτρόνιο έχει απομακρυνθεί τελείως από το άτομο (ιονισμός). Το αρνητικό πρόσημο σημαίνει ότι απαιτείται προσφορά ενέργειας για να απομακρυνθεί το ηλεκτρόνιο εκτός του πεδίου του πυρήνα.

Το ηλεκτρονιοβόλτ (eV)

Ορισμός — Ηλεκτρονιοβόλτ

Ηλεκτρονιοβόλτ είναι η ενέργεια που μεταβιβάζεται σε ένα ηλεκτρόνιο όταν αυτό επιταχύνεται μέσω διαφοράς δυναμικού $1\ \text{V}$ :

1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}

📝 Παράδειγμα 4-1: ακτίνες και ενέργειες στις διεγερμένες καταστάσεις

Εκφώνηση. Ένα άτομο υδρογόνου στη θεμελιώδη κατάσταση έχει ολική ενέργεια $E_1 = -13{,}6\ \text{eV}$ και ακτίνα τροχιάς $r_1 = 0{,}53\times 10^{-10}\ \text{m}$ . Να υπολογιστούν οι ακτίνες των τροχιών και οι ενέργειες του ηλεκτρονίου στις δύο πρώτες διεγερμένες καταστάσεις, που αντιστοιχούν σε $n = 2$ και $n = 3$ .

Λύση.

Ακτίνες τροχιών. Χρησιμοποιούμε την εξίσωση $r_n = n^2\, r_1$ .

Για $n = 2$ :

r_2 = 2^2\, r_1 = 4r_1 = 4 \cdot 0{,}53\times 10^{-10}\ \text{m} = 2{,}12\times 10^{-10}\ \text{m}

Για $n = 3$ :

r_3 = 3^2\, r_1 = 9r_1 = 9 \cdot 0{,}53\times 10^{-10}\ \text{m} = 4{,}77\times 10^{-10}\ \text{m}

Ενέργειες. Χρησιμοποιούμε την εξίσωση $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$ .

Για $n = 2$ :

E_2 = \frac{E_1}{2^2} = \frac{E_1}{4} = -\frac{13{,}6\ \text{eV}}{4} = -3{,}4\ \text{eV}

Για $n = 3$ :

E_3 = \frac{E_1}{3^2} = \frac{E_1}{9} = -\frac{13{,}6\ \text{eV}}{9} = -1{,}51\ \text{eV}

Παρατήρηση

Καθώς ανεβαίνουμε σε μεγαλύτερα $n$ , η τροχιά μεγαλώνει πολύ γρήγορα ( $\propto n^2$ ), ενώ η ενέργεια αυξάνεται (γίνεται λιγότερο αρνητική, πλησιάζει το $0$ ). Το ηλεκτρόνιο είναι όλο και πιο χαλαρά δεμένο στο άτομο.

🔬 Απόδειξη των τύπων (4.4) και (4.5)

Θα αποδείξουμε αυστηρά τους τύπους των επιτρεπόμενων τροχιών και ενεργειών, ξεκινώντας από τις δύο θεμελιώδεις σχέσεις.

Εργαλεία της απόδειξης

Χρησιμοποιούμε:

Την κβάντωση της στροφορμής:

m\upsilon r = n\hbar \tag{1}

Τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για το ηλεκτρόνιο (η δύναμη Coulomb ως κεντρομόλος):

F = m\alpha_\kappa \quad\Longrightarrow\quad \frac{ke^2}{r^2} = \frac{m\upsilon^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad m\upsilon^2 r = ke^2 \tag{2}

Απόδειξη του τύπου των ακτίνων

Λύνουμε την (1) ως προς $\upsilon$ :

\upsilon = \frac{n\hbar}{mr}

Αντικαθιστούμε στην (2). Επειδή στην (2) εμφανίζεται το $\upsilon^2$ , έχουμε $\upsilon^2 = \dfrac{n^2\hbar^2}{m^2 r^2}$ :

m \cdot \frac{n^2\hbar^2}{m^2 r^2} \cdot r = ke^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{n^2\hbar^2}{m r} = ke^2

Λύνουμε ως προς $r$ και το ονομάζουμε $r_n$ :

r_n = \frac{n^2\hbar^2}{mke^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots, \infty \tag{4.6}

Αυτές είναι οι ακτίνες των επιτρεπόμενων τροχιών (τύπος 4.6). Για $n = 1$ βρίσκουμε τη μικρότερη ακτίνα:

r_1 = \frac{\hbar^2}{mke^2}

Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην (4.6) προκύπτει αμέσως ο ζητούμενος τύπος (4.4):

\boxed{\,r_n = n^2\, r_1\,}

Απόδειξη του τύπου των ενεργειών

Ξεκινάμε από τον τύπο της ολικής ενέργειας (4.3), $E = -\dfrac{ke^2}{2r}$ . Αντικαθιστούμε $E \to E_n$ και $r \to r_n$ :

E_n = -\frac{ke^2}{2r_n}

Λόγω της (4.6) είναι $r_n = \dfrac{n^2\hbar^2}{mke^2}$ , οπότε:

E_n = -\frac{ke^2}{2}\cdot\frac{mke^2}{n^2\hbar^2} \quad\Longrightarrow\quad E_n = -\frac{1}{n^2}\cdot\frac{mk^2 e^4}{2\hbar^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots, \infty \tag{4.7}

Αυτές είναι οι επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας (τύπος 4.7). Η μικρότερη τιμή αντιστοιχεί σε $n = 1$ :

E_1 = -\frac{mk^2 e^4}{2\hbar^2}

Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις παίρνουμε τον ζητούμενο τύπο (4.5):

\boxed{\,E_n = \frac{E_1}{n^2}\,}

Αριθμητικές τιμές

Αντικαθιστώντας τις τιμές των σταθερών $m$ , $k$ , $e$ και $\hbar = \dfrac{h}{2\pi}$ , υπολογίζουμε:

r_1 = 0{,}53\times 10^{-10}\ \text{m} \qquad\text{και}\qquad E_1 = -13{,}6\ \text{eV}

που είναι ακριβώς οι τιμές που αναφέραμε προηγουμένως. ✅

Η σημασία της κβάντωσης 💡

Παρατήρηση — γιατί έχει σημασία η κβάντωση

Η έννοια της κβάντωσης της ενέργειας είναι θεμελιώδης:

Εξηγεί ότι το ηλεκτρόνιο κινείται μόνο σε ορισμένες τροχιές καθορισμένης ενέργειας και δεν κινείται σπειροειδώς προς τον πυρήνα. Έτσι το άτομο είναι σταθερό!
Εξηγεί τα γραμμικά φάσματα: η μετάβαση μεταξύ δύο σταθμών ενέργειας δίνει φωτόνιο συγκεκριμένης συχνότητας, άρα συγκεκριμένη φασματική γραμμή.
Έδωσε ώθηση στην ανάπτυξη της κβαντομηχανικής.

Προσοχή — ιστορική σημείωση

Η κβάντωση της ενέργειας παραμένει βασική έννοια της σύγχρονης Φυσικής. Αντίθετα, η κβάντωση της στροφορμής με τη συγκεκριμένη μορφή του προτύπου του Bohr έχει ιστορική μόνο σημασία: η πλήρης κβαντομηχανική περιγραφή του ατόμου είναι πιο σύνθετη και ακριβής.

Σύνοψη βασικών τύπων 📌

Μέγεθος	Τύπος	Αρ.
Κβάντωση στροφορμής	$m\upsilon r = n\hbar$	(4.1)
Ενέργεια εκπεμπόμενου φωτονίου	$E_\tau - E_\alpha = hf$	(4.2)
Ολική ενέργεια ηλεκτρονίου	$E = -\dfrac{ke^2}{2r}$	(4.3)
Επιτρεπόμενες τροχιές	$r_n = n^2\, r_1$	(4.4)
Επιτρεπόμενες τιμές ενέργειας	$E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$	(4.5)
Ακτίνες (γενικός τύπος)	$r_n = \dfrac{n^2\hbar^2}{mke^2}$	(4.6)
Ενέργειες (γενικός τύπος)	$E_n = -\dfrac{1}{n^2}\dfrac{mk^2 e^4}{2\hbar^2}$	(4.7)

Βασικές σταθερές: $r_1 = 0{,}53\times 10^{-10}\ \text{m}$ , $\ E_1 = -13{,}6\ \text{eV}$ , $\ 1\ \text{eV} = 1{,}6\times 10^{-19}\ \text{J}$ .

Ολοκλήρωση ενότητας. Καλύφθηκαν: η ιστορική εξέλιξη της ιδέας του ατόμου, τα πρότυπα Thomson, Rutherford και Bohr, τα ατομικά φάσματα (εκπομπής και απορρόφησης), ο υπολογισμός κινητικής/δυναμικής/ολικής ενέργειας, οι επιτρεπόμενες τροχιές και τιμές ενέργειας, η πλήρης απόδειξη των τύπων (4.4) και (4.5), καθώς και λυμένο παράδειγμα.