Μήκος κύματος και συχνότητα του φωτός κατά τη διάδοσή του 🌈

Όταν το φως ταξιδεύει μέσα στο κενό, η ζωή είναι «εύκολη»: κινείται με σταθερή ταχύτητα και διατηρεί τα χαρακτηριστικά του. Τι συμβαίνει όμως όταν συναντά τη γυάλινη επιφάνεια ενός παραθύρου, την επιφάνεια του νερού μιας πισίνας ή το υδατοειδές υγρό μέσα στο μάτι μας; Σε αυτή την ενότητα θα δούμε πώς αλλάζουν η ταχύτητα και το μήκος κύματος του φωτός όταν περνά από το ένα οπτικό μέσο στο άλλο, ενώ η συχνότητά του μένει ατάραχη.

Ανάκλαση και διάθλαση του φωτός

Ας ξεκινήσουμε από αυτό που παρατηρούμε. Όταν μια φωτεινή δέσμη, που διαδίδεται σε ένα μέσο, συναντήσει τη διαχωριστική επιφάνεια που χωρίζει το αρχικό μέσο διάδοσης από ένα άλλο οπτικό μέσο, τότε συμβαίνουν ταυτόχρονα δύο πράγματα:

ένα μέρος της δέσμης ανακλάται (επιστρέφει) προς το αρχικό μέσο διάδοσης,
ένα άλλο μέρος συνεχίζει να διαδίδεται μέσα στο δεύτερο μέσο.

Ο νόμος της ανάκλασης

Φανταστείτε μια ακτίνα που προσπίπτει σε μια λεία επιφάνεια, για παράδειγμα από τον αέρα στην επιφάνεια ενός γυαλιού (όπως στην Εικόνα 3.3-4α του σχολικού βιβλίου). Η προσπίπτουσα και η ανακλώμενη ακτίνα σχηματίζουν, στο σημείο ανάκλασης, γωνίες με την κάθετο προς την ανακλώσα επιφάνεια:

τη γωνία πρόσπτωσης $θ_π$ (ανάμεσα στην προσπίπτουσα ακτίνα και την κάθετο),
τη γωνία ανάκλασης $θ_α$ (ανάμεσα στην ανακλώμενη ακτίνα και την κάθετο).

Νόμος της ανάκλασης

Πειραματικά αποδεικνύεται ότι η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία ανάκλασης:

θ_π = θ_α

Οι γωνίες αυτές μετριούνται πάντα από την κάθετο στην επιφάνεια και όχι από την ίδια την επιφάνεια. 📐

Το φαινόμενο της διάθλασης

Οι ακτίνες που εισέρχονται μέσα στο γυαλί δεν συνεχίζουν στην ίδια διεύθυνση: αλλάζουν διεύθυνση διάδοσης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διάθλαση.

Ορισμός — Διάθλαση

Διάθλαση ονομάζεται η αλλαγή της διεύθυνσης διάδοσης του φωτός, όταν αυτό περνά από το ένα οπτικό μέσο στο άλλο.

Η ακτίνα που περνά στο δεύτερο μέσο ονομάζεται διαθλώμενη ακτίνα και σχηματίζει με την κάθετο τη γωνία διάθλασης $θ_δ$ . Πώς αλλάζει η πορεία της; Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

Όταν οι ακτίνες εισέρχονται από τον αέρα στο γυαλί, οι διαθλώμενες ακτίνες πλησιάζουν την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια (Εικόνα 3.3-4α). Σε αυτή την περίπτωση ισχύει $θ_δ < θ_π$ .
Όταν οι ακτίνες εισέρχονται από το γυαλί στον αέρα, οι διαθλώμενες ακτίνες απομακρύνονται από την κάθετο.

Πότε πλησιάζουν και πότε απομακρύνονται

Από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο (π.χ. αέρας → γυαλί): η ακτίνα πλησιάζει την κάθετο.
Από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο (π.χ. γυαλί → αέρας): η ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετο. 🔁

Η διάθλαση στην καθημερινή ζωή

Η διάθλαση εξηγεί πολλά καθημερινά φαινόμενα. Στο πείραμα της Εικόνας 3.3-4β του σχολικού βιβλίου, οι ακτίνες φωτός που εκπέμπονται από μια φωτεινή πηγή στον πυθμένα μιας πισίνας, όταν εξέρχονται από το νερό στον αέρα, εκτρέπονται από την πορεία τους. Αυτό μας κάνει να βλέπουμε τη φωτεινή πηγή πιο ψηλά από ό,τι πραγματικά βρίσκεται.

Το ήξερες;

Γι' αυτόν ακριβώς τον λόγο μια πισίνα φαίνεται πιο ρηχή από ό,τι είναι στην πραγματικότητα, και ένα καλαμάκι μέσα σε ένα ποτήρι νερό φαίνεται σπασμένο στην επιφάνεια του νερού. Φταίει η διάθλαση! 🥤

Ταχύτητα και μήκος κύματος του φωτός μέσα στην ύλη

Γιατί όμως το φως διαθλάται; Ποιος είναι ο βαθύτερος λόγος της αλλαγής διεύθυνσης;

Πρόταση — Η αιτία της διάθλασης

Ο λόγος για τον οποίο το φως διαθλάται, καθώς διέρχεται από το ένα υλικό μέσο στο άλλο, είναι ότι η ταχύτητά του έχει διαφορετικές τιμές στα δύο μέσα.

Η ταχύτητα του φωτός στο κενό και στην ύλη

Το φως διαδίδεται στο κενό με ταχύτητα:

c_0 = 3 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}

Μέσα όμως σε κάποιο υλικό η ταχύτητα του φωτός είναι πάντα μικρότερη από τη $c_0$ . Για να περιγράψουμε «πόσο πιο αργά» κινείται το φως μέσα σε ένα υλικό, ορίζουμε ένα κατάλληλο μέγεθος.

Ο δείκτης διάθλασης

Ορισμός — Δείκτης διάθλασης

Δείκτης διάθλασης $n$ ενός υλικού μέσου ονομάζεται το πηλίκο της ταχύτητας $c_0$ του φωτός στο κενό προς την ταχύτητα $c$ του φωτός μέσα στο υλικό:

n = \dfrac{\text{ταχύτητα φωτός στο κενό}}{\text{ταχύτητα φωτός στο μέσο}} = \dfrac{c_0}{c}

(σχέση 3.4)

Ο δείκτης διάθλασης είναι καθαρός αριθμός (δεν έχει μονάδες), αφού προκύπτει ως πηλίκο δύο ταχυτήτων.

Πόρισμα — Ο δείκτης διάθλασης είναι πάντα ≥ 1

Επειδή η ταχύτητα του φωτός μέσα σε ένα υλικό είναι πάντα μικρότερη από την ταχύτητά του στο κενό ( $c < c_0$ ), από τον ορισμό προκύπτει ότι:

ο δείκτης διάθλασης για οποιοδήποτε υλικό είναι πάντα μεγαλύτερος από τη μονάδα ( $n > 1$ ),
για το κενό ισχύει $n = 1$ .

Προσοχή!

Όσο μεγαλύτερος είναι ο δείκτης διάθλασης $n$ ενός μέσου, τόσο πιο αργά ταξιδεύει το φως μέσα σε αυτό. Ένα μέσο με μεγάλο $n$ το ονομάζουμε οπτικά πυκνότερο. ⬇️

Η συχνότητα δεν αλλάζει ποτέ!

Όταν το φως διαπερνά μια διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων (π.χ. από τον αέρα στο γυαλί), η συχνότητα $f$ παραμένει αμετάβλητη. Πρόκειται για ένα από τα πιο σημαντικά συμπεράσματα της ενότητας.

Απόδειξη — Γιατί μένει σταθερή η συχνότητα

Το φως είναι κύμα. Άρα ο αριθμός των μηκών κύματος που προσπίπτουν στη διαχωριστική επιφάνεια, ανά μονάδα χρόνου, είναι ίσος με τον αριθμό των μηκών κύματος που διέρχονται από αυτήν, ανά μονάδα χρόνου.

Αν αυτό δεν ίσχυε, η διαχωριστική επιφάνεια θα έπρεπε να δημιουργεί νέα κύματα ή να εξαφανίζει τα ήδη υπάρχοντα. Δεν έχει παρατηρηθεί όμως τέτοιος μηχανισμός. Συνεπώς, η συχνότητα παραμένει σταθερή καθώς το φως διέρχεται από τη διαχωριστική επιφάνεια. ∎

Πώς αλλάζει το μήκος κύματος

Αφού η συχνότητα μένει σταθερή αλλά η ταχύτητα αλλάζει, τότε — σύμφωνα με τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής — κάτι πρέπει να αλλάξει στο μήκος κύματος. Ας το αποδείξουμε.

Απόδειξη — Η σχέση του μήκους κύματος με τον δείκτη διάθλασης

Εφαρμόζουμε τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής ( $c = λ \cdot f$ ) σε δύο μέσα:

c_0 = λ_0 \cdot f \quad \text{(στο κενό)} \qquad \text{και} \qquad c = λ \cdot f \quad \text{(στο μέσο)}

Διαιρώντας τις δύο σχέσεις κατά μέλη — και θυμίζοντας ότι η $f$ είναι κοινή στα δύο μέσα — έχουμε:

\dfrac{c_0}{c} = \dfrac{λ_0}{λ}

Όμως, από τον ορισμό του δείκτη διάθλασης (σχέση 3.4), το αριστερό μέλος ισούται με $n$ . Άρα $n = \dfrac{λ_0}{λ}$ , δηλαδή:

λ = \dfrac{λ_0}{n}

(σχέση 3.5) ∎

Η σχέση αυτή μάς πληροφορεί ότι φως με μήκος κύματος $λ_0$ στο κενό υφίσταται μεταβολή του μήκους κύματός του, όταν εισέρχεται σε ένα μέσο με δείκτη διάθλασης $n$ . Συγκεκριμένα, αφού $n > 1$ , το μήκος κύματος μέσα στο υλικό είναι μικρότερο από αυτό στο κενό.

Σύγκριση δύο διαφορετικών μέσων

Ας δούμε τι συμβαίνει όταν το φως διαδίδεται σε δύο διαφορετικά υλικά με δείκτες διάθλασης $n_1$ και $n_2$ αντίστοιχα, με $n_2 > n_1$ (δηλαδή το δεύτερο μέσο είναι οπτικά πυκνότερο).

Απόδειξη — Όπου ο δείκτης διάθλασης μεγαλύτερος, το μήκος κύματος μικρότερο

Εφαρμόζουμε τη σχέση 3.5 για τα δύο οπτικά μέσα:

λ_1 = \dfrac{λ_0}{n_1} \quad (1) \qquad \text{και} \qquad λ_2 = \dfrac{λ_0}{n_2} \quad (2)

Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις $(1)$ και $(2)$ :

\dfrac{λ_1}{λ_2} = \dfrac{n_2}{n_1}

Επειδή $n_2 > n_1$ , το κλάσμα $\dfrac{n_2}{n_1}$ είναι μεγαλύτερο της μονάδας, οπότε προκύπτει:

λ_1 > λ_2

∎

Πόρισμα

Το μήκος κύματος στο οπτικά πυκνότερο μέσο (αυτό που έχει τον μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης) έχει μικρότερη τιμή από αυτή στο οπτικά αραιότερο μέσο.

Η Εικόνα 3.3-4γ του σχολικού βιβλίου δείχνει ακριβώς αυτή τη μείωση: όταν το φως διέρχεται από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο ( $n_2 > n_1$ ), τα «κυματάκια» «στριμώχνονται» και το μήκος κύματος γίνεται μικρότερο ( $λ_2 < λ_1$ ).

Το μέγιστο μήκος κύματος είναι στο κενό

Επειδή για το κενό είναι εξ ορισμού $n = 1$ , το μήκος κύματος αποκτά τη μεγαλύτερη τιμή του, $λ_0$ , στο κενό. Σε κάθε υλικό (όπου $n > 1$ ) το μήκος κύματος είναι μικρότερο. 📏

Μονάδα μέτρησης — το νανόμετρο

Ως μονάδα μέτρησης του μήκους κύματος για το ορατό φως χρησιμοποιείται ένα υποπολλαπλάσιο του $1\ \mathrm{m}$ , το νανόμετρο:

1\ \mathrm{nm} = 10^{-9}\ \mathrm{m}

Το οπτικά πυκνότερο και το οπτικά αραιότερο μέσο

Ορισμός — Οπτικά πυκνότερο μέσο

Οπτικά πυκνότερο ονομάζεται το μέσο που έχει τον μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης. Αντίστοιχα, οπτικά αραιότερο είναι το μέσο με τον μικρότερο δείκτη διάθλασης.

Προσοχή — μην μπερδεύεσαι!

Το «οπτικά πυκνότερο» δεν σημαίνει απαραίτητα μεγαλύτερη πυκνότητα μάζας. Πρόκειται καθαρά για το μέσο με τον μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης, δηλαδή εκείνο μέσα στο οποίο το φως κινείται πιο αργά. 🧠

Σύνοψη — Τι αλλάζει και τι μένει σταθερό

Συγκεντρώνουμε εδώ το βασικότερο συμπέρασμα όλης της ενότητας.

Το συμπέρασμα-κλειδί 🔑

Όταν το φως διαδίδεται μέσα στο ίδιο οπτικό μέσο, διατηρεί αμετάβλητα και την ταχύτητα $c$ , και το μήκος κύματος $λ$ , και τη συχνότητα $f$ .
Όταν το φως αλλάζει οπτικό μέσο, τότε αλλάζουν τα μεγέθη $c$ και $λ$ , αλλά παραμένει σταθερή η συχνότητα $f$ , που είναι και η συχνότητα της πηγής που παράγει το φως.

Μέγεθος	Αλλάζει όταν το φως αλλάζει μέσο;
Ταχύτητα $c$	Ναι ✔️ (μικρότερη στο πυκνότερο μέσο)
Μήκος κύματος $λ$	Ναι ✔️ (μικρότερο στο πυκνότερο μέσο)
Συχνότητα $f$	Όχι ✖️ (καθορίζεται από την πηγή)

Πίνακας δεικτών διάθλασης

Ο παρακάτω πίνακας (Πίνακας 1.1 του σχολικού βιβλίου) δίνει τους δείκτες διάθλασης διάφορων υλικών, υπολογισμένους με φως μήκους κύματος $λ_0 = 589\ \mathrm{nm}$ (το κίτρινο χρώμα του νατρίου στο κενό).

Υλικό	Δείκτης διάθλασης $n$
Αέρια (0 °C, 1 Atm)
Αέρας	1,000293
Διοξείδιο του άνθρακα ( $CO_2$ )	1,00045
Στερεά
Πάγος ( $H_2O$ )	1,309
Ορυκτό άλας ( $NaCl$ )	1,544
Χαλαζίας ( $SiO_2$ )	1,544
Φθορίτης ( $CaF_2$ )	1,434
Ορυκτό ζιρκόνιο ( $ZrO_2 \cdot SiO_2$ )	1,923
Αδάμας ( $C$ )	2,417
Ύαλοι (τυπικές τιμές)	1,5 - 1,9
Υγρά (20 °C)
Μεθανόλη ( $CH_3OH$ )	1,329
Νερό ( $H_2O$ )	1,333
Αιθανόλη ( $C_2H_5OH$ )	1,360
Τετραχλωράνθρακας ( $CCl_4$ )	1,460
Γλυκερίνη	1,473
Βενζόλιο	1,501

Το ήξερες; Ο αδάμας λάμπει χάρη στο μεγάλο n

Το διαμάντι (αδάμας) έχει τον μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης του πίνακα, $n = 2{,}417$ . Αυτό σημαίνει ότι το φως κινείται μέσα του πάρα πολύ αργά και «παγιδεύεται», ανακλώμενο πολλές φορές στο εσωτερικό του. Γι' αυτό ακριβώς τα διαμάντια αστράφτουν τόσο εντυπωσιακά! 💎

Λυμένο παράδειγμα

Παράδειγμα 3-2 — Ο δείκτης διάθλασης μέσα στο ανθρώπινο μάτι 👁️

Φωτεινή ακτίνα μήκους κύματος $λ_0 = 589\ \mathrm{nm}$ , που παράγεται από λυχνία νατρίου, προσπίπτει από τον αέρα σε ανθρώπινο μάτι. Στο υδατοειδές υγρό, μέσα στον βολβό του ματιού, το μήκος κύματος έχει τιμή $λ = 439\ \mathrm{nm}$ . Να υπολογιστούν:
α) ο δείκτης διάθλασης του υδατοειδούς υγρού,
β) η ταχύτητα της φωτεινής ακτίνας στο υγρό αυτό,
γ) η συχνότητα της φωτεινής ακτίνας στο υγρό.

Λύση

α) Υπολογισμός του δείκτη διάθλασης.

Χρησιμοποιούμε τη σχέση 3.5. Με το σκεπτικό ότι ο δείκτης διάθλασης του αέρα είναι περίπου ίσος με τη μονάδα, τα μήκη κύματος στον αέρα και στο κενό έχουν την ίδια τιμή $λ_0$ . Άρα:

λ = \dfrac{λ_0}{n} \;\Rightarrow\; n = \dfrac{λ_0}{λ} \;\Rightarrow\; n = \dfrac{589\ \mathrm{nm}}{439\ \mathrm{nm}} \;\Rightarrow\; n = 1{,}34

Βλέποντας τον Πίνακα 1.1, διαπιστώνουμε ότι ο δείκτης διάθλασης $n$ έχει περίπου την ίδια τιμή με το νερό ( $n = 1{,}333$ ) — κάτι λογικό, αφού το υδατοειδές υγρό αποτελείται κυρίως από νερό.

β) Υπολογισμός της ταχύτητας.

Από τον ορισμό του δείκτη διάθλασης (σχέση 3.4):

n = \dfrac{c_0}{c} \;\Rightarrow\; c = \dfrac{c_0}{n} \;\Rightarrow\; c = \dfrac{3 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}}{1{,}34} \;\Rightarrow\; c = 2{,}24 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}

Όπως αναμέναμε, η ταχύτητα μέσα στο υγρό είναι μικρότερη από $c_0$ .

γ) Υπολογισμός της συχνότητας.

Από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής, $c = λ \cdot f$ , λύνουμε ως προς $f$ . Προσοχή: μετατρέπουμε το μήκος κύματος σε μέτρα, $λ = 439\ \mathrm{nm} = 439 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{m}$ :

c = λ \cdot f \;\Rightarrow\; f = \dfrac{c}{λ} = \dfrac{2{,}24 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}}{439 \cdot 10^{-9}\ \mathrm{m}} \;\Rightarrow\; f = 5{,}1 \cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}

Προσοχή — η συχνότητα είναι «αναλλοίωτη»

Η συχνότητα $f = 5{,}1 \cdot 10^{14}\ \mathrm{Hz}$ που βρήκαμε μέσα στο υγρό είναι ίδια με τη συχνότητα της ακτίνας στον αέρα και στο κενό. Θα έβγαινε το ίδιο αποτέλεσμα αν την υπολογίζαμε από τα μεγέθη του κενού: $f = \dfrac{c_0}{λ_0}$ . Αυτό επιβεβαιώνει στην πράξη ότι η συχνότητα δεν αλλάζει όταν το φως περνά από μέσο σε μέσο! ✅

Ολοκληρώσαμε την ενότητα. Είδαμε την ανάκλαση ( $θ_π = θ_α$ ) και τη διάθλαση, ορίσαμε τον δείκτη διάθλασης $n = \dfrac{c_0}{c}$ , αποδείξαμε ότι το μήκος κύματος δίνεται από τη σχέση $λ = \dfrac{λ_0}{n}$ , και καταλήξαμε στο κεντρικό συμπέρασμα: όταν το φως αλλάζει μέσο, αλλάζουν η ταχύτητα και το μήκος κύματος, αλλά η συχνότητα μένει πάντα σταθερή.