Νόμος του Ohm για κλειστό κύκλωμα

Στην ενότητα αυτή μελετάμε ένα ολόκληρο, κλειστό ηλεκτρικό κύκλωμα: όχι μόνο τις αντιστάσεις του εξωτερικού κυκλώματος, αλλά και την ίδια την πηγή με την εσωτερική αντίστασή της. Θα δούμε πώς συνδέονται η ηλεκτρεγερτική δύναμη (ΗΕΔ) της πηγής, η ένταση του ρεύματος και οι αντιστάσεις του κυκλώματος. ⚡

Το κλειστό κύκλωμα 🔋

Θεωρούμε ένα κλειστό κύκλωμα (σχολικό βιβλίο, εικ. 2.9-48) που αποτελείται από:

μια γεννήτρια (πηγή) με ηλεκτρεγερτική δύναμη $Ε$ και εσωτερική αντίσταση $r$ ,
ένα εξωτερικό κύκλωμα με μία αντίσταση $R$ ,
αγωγούς σύνδεσης με αμελητέα (ασήμαντη) αντίσταση.

Το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα σταθερής έντασης $I$ .

Πώς να φανταστείς το σχήμα

Φαντάσου μια μπαταρία. Μέσα της κρύβεται η ΗΕΔ $Ε$ σε σειρά με την εσωτερική αντίσταση $r$ . Από τους δύο πόλους της $Α$ (θετικός) και $Β$ (αρνητικός) ξεκινούν καλώδια που οδηγούν στην εξωτερική αντίσταση $R$ . Το ρεύμα $I$ είναι κοινό παντού, αφού το κύκλωμα δεν έχει διακλαδώσεις — όλα τα στοιχεία είναι σε σειρά. 🔁

Απόδειξη του νόμου από τη διατήρηση της ενέργειας 🧮

Ας παρακολουθήσουμε την ενέργεια στο κύκλωμα σε ένα χρονικό διάστημα $t$ .

Ενέργεια που προσφέρει η πηγή. Σύμφωνα με τον ορισμό της ΗΕΔ, η πηγή μετατρέπει σε ηλεκτρική ενέργεια ποσό:

W = Ε \cdot I \cdot t

Ενέργεια που μετατρέπεται σε θερμότητα. Καθώς το ρεύμα διαρρέει τις αντιστάσεις, η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα (φαινόμενο Joule):

στην εξωτερική αντίσταση $R$ :

Q_R = I^2 \cdot R \cdot t

στην εσωτερική αντίσταση $r$ της πηγής:

Q_r = I^2 \cdot r \cdot t

Εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Όλη η ενέργεια που δίνει η πηγή μετατρέπεται σε θερμότητα στις δύο αντιστάσεις:

W = Q_R + Q_r

Ε \cdot I \cdot t = I^2 \cdot R \cdot t + I^2 \cdot r \cdot t

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον κοινό παράγοντα $I \cdot t$ (που είναι $\neq 0$ ):

Ε = I \cdot R + I \cdot r = I (R + r)

Λύνοντας ως προς την ένταση $I$ προκύπτει η ζητούμενη σχέση:

I = \dfrac{Ε}{R + r}

που είναι ακριβώς ο νόμος του Ohm για κλειστό κύκλωμα. ■

Νόμος του Ohm για κλειστό κύκλωμα

Σε κλειστό κύκλωμα, που αποτελείται από ηλεκτρική πηγή και ωμικές αντιστάσεις, η ένταση του ρεύματος $I$ που διαρρέει το κύκλωμα είναι ίση με το πηλίκο της ΗΕΔ της πηγής προς την ολική αντίσταση $R_{ολ}$ του κυκλώματος:

I = \dfrac{Ε}{R_{ολ}} = \dfrac{Ε}{R + r}

Προσοχή στην ολική αντίσταση!

Η ολική αντίσταση $R_{ολ} = R + r$ περιλαμβάνει και την εσωτερική αντίσταση $r$ της πηγής. Αν στο εξωτερικό κύκλωμα υπάρχουν πολλές αντιστάσεις, πρέπει πρώτα να βρούμε την ισοδύναμη αντίστασή τους και μετά να της προσθέσουμε την $r$ . ⚠️

Τάση στους πόλους πηγής (πολική τάση) 🔌

Θεωρούμε τώρα το ίδιο κύκλωμα (σχολικό βιβλίο, εικ. 2.9-49). Οι πόλοι της πηγής είναι τα σημεία $Α$ και $Β$ , ενώ τα άκρα της εξωτερικής αντίστασης $R$ είναι τα σημεία $Γ$ και $Δ$ .

Επειδή οι αγωγοί σύνδεσης $ΑΓ$ και $ΒΔ$ έχουν ασήμαντη αντίσταση, δεν υπάρχει πτώση τάσης πάνω τους. Επομένως τα άκρα $Γ$ και $Δ$ έχουν το ίδιο δυναμικό με τους πόλους $Α$ και $Β$ αντίστοιχα:

V_Α = V_Γ \quad \text{και} \quad V_Β = V_Δ

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο ισότητες:

V_Α - V_Β = V_Γ - V_Δ

Ορισμός — Πολική τάση

Η τάση στα άκρα (πόλους) της πηγής $V_Α - V_Β$ λέγεται πολική τάση της πηγής και συμβολίζεται με $V_{π}$ .

Από την παραπάνω ισότητα προκύπτει ότι η πολική τάση είναι ίση με την τάση $V_R$ στα άκρα της αντίστασης $R$ :

V_{π} = V_R

δηλαδή η τάση στους πόλους της πηγής είναι ίση με την τάση στα άκρα της εξωτερικής αντίστασης $R$ .

Όμως, από τον νόμο του Ohm για τμήμα αγωγού, ισχύει $V_R = I \cdot R$ . Άρα:

V_{π} = I \cdot R

Η πολική τάση συναρτήσει της ΗΕΔ 📐

Ξεκινάμε από τη σχέση που προέκυψε από τη διατήρηση της ενέργειας:

Ε = I R + I r

και τη λύνουμε ως προς το $IR$ , που είναι ακριβώς η πολική τάση $V_{π} = IR$ :

V_{π} = Ε - I r \qquad (25)

Πρόταση — Πτώση τάσης μέσα στην πηγή

Σε ένα κλειστό κύκλωμα, η πολική τάση $V_{π}$ στους πόλους της πηγής είναι ίση με την ηλεκτρεγερτική δύναμη $Ε$ ελαττωμένη κατά τον όρο $I r$ :

V_{π} = Ε - I r

Ο όρος $I r$ λέγεται πτώση τάσης μέσα στην πηγή.

Η πολική τάση είναι μικρότερη της ΗΕΔ

Όσο το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα ( $I > 0$ ), η πολική τάση είναι πάντα μικρότερη από την ΗΕΔ, αφού $V_{π} = Ε - Ir < Ε$ . Μέρος της ΗΕΔ «χάνεται» μέσα στην ίδια την πηγή λόγω της εσωτερικής αντίστασης $r$ . ⚠️

Τρεις ειδικές περιπτώσεις 🎯

1. Ανοιχτό κύκλωμα ( $I = 0$ )

Αν το κύκλωμα είναι ανοιχτό, τότε η πηγή δε διαρρέεται από ρεύμα, δηλαδή $I = 0$ . Από τη σχέση $(25)$ :

V_{π} = Ε - 0 \cdot r = Ε

Πόρισμα

Η ηλεκτρεγερτική δύναμη της πηγής είναι ίση με την πολική τάση $V_{π}$ στους πόλους της, όταν η πηγή δε διαρρέεται από ρεύμα ( $I = 0$ ). Έτσι, με ένα βολτόμετρο μεγάλης αντίστασης (που πρακτικά δεν επιτρέπει ρεύμα) μπορούμε να μετρήσουμε άμεσα την ΗΕΔ μιας πηγής. 🔋

2. Ιδανική πηγή ( $r = 0$ )

Αν η πηγή είναι ιδανική, τότε έχει αμελητέα εσωτερική αντίσταση, δηλαδή $r = 0$ . Από τη σχέση $(25)$ :

V_{π} = Ε - I \cdot 0 = Ε

Πόρισμα

Η ηλεκτρεγερτική δύναμη της πηγής είναι ίση με την πολική τάση $V_{π}$ στους πόλους της, όταν η πηγή είναι ιδανική ( $r = 0$ ). Μια ιδανική πηγή διατηρεί σταθερή πολική τάση, ίση με την ΗΕΔ της, ανεξάρτητα από το ρεύμα που τη διαρρέει.

3. Βραχυκυκλωμένη πηγή ( $R = 0$ )

Αν συνδέσουμε τους πόλους της πηγής με αγωγό αμελητέας αντίστασης, δηλαδή $R = 0$ , τότε λέμε ότι η πηγή είναι βραχυκυκλωμένη. Από τον νόμο του Ohm για κλειστό κύκλωμα:

I = \dfrac{Ε}{R + r} = \dfrac{Ε}{0 + r} = \dfrac{Ε}{r}

Ρεύμα βραχυκύκλωσης — Κίνδυνος!

Το ρεύμα $I = \dfrac{Ε}{r}$ είναι το μέγιστο ρεύμα που μπορεί να διαρρέει την πηγή και λέγεται ρεύμα βραχυκύκλωσης. Επειδή το $r$ είναι συνήθως πολύ μικρό, το ρεύμα αυτό γίνεται πολύ μεγάλο, με αποτέλεσμα ισχυρή θέρμανση και πιθανή καταστροφή της πηγής. ⚠️🔥

Χαρακτηριστική καμπύλη της πηγής 📉

Από τη σχέση $V_{π} = Ε - I r$ μπορούμε να κατασκευάσουμε τη χαρακτηριστική καμπύλη της πηγής (σχολικό βιβλίο, εικ. 2.9-50), δηλαδή τη γραφική παράσταση της πολικής τάσης $V_{π}$ ως συνάρτηση της έντασης $I$ .

Η σχέση $V_{π} = Ε - r I$ είναι πρώτου βαθμού ως προς το $I$ , άρα η γραφική παράσταση είναι ευθεία γραμμή με:

τεταγμένη επί την αρχή ίση με την ΗΕΔ $Ε$ (η τιμή του $V_{π}$ όταν $I = 0$ , δηλαδή ανοιχτό κύκλωμα),
αρνητική κλίση ίση με $-r$ (όσο μεγαλύτερη η εσωτερική αντίσταση, τόσο πιο απότομα πέφτει η πολική τάση),
σημείο τομής με τον άξονα $I$ (όπου $V_{π} = 0$ ) στο ρεύμα βραχυκύκλωσης $I = \dfrac{Ε}{r}$ .

Το ήξερες;

Από τη χαρακτηριστική καμπύλη μιας πραγματικής μπαταρίας μπορούμε να «διαβάσουμε» και τα δύο μεγέθη της: η ΗΕΔ $Ε$ είναι το σημείο όπου η ευθεία τέμνει τον κατακόρυφο άξονα, ενώ η κλίση της ευθείας μας δίνει την εσωτερική αντίσταση $r$ . 💡

Λυμένα Παραδείγματα ✏️

Παράδειγμα 12 — Πλήρης μελέτη κλειστού κυκλώματος

Εκφώνηση: Δύο αντιστάσεις $R_1 = 5 \ Ω$ και $R_2 = 3 \ Ω$ συνδέονται σε σειρά και τα άκρα του συστήματος συνδέονται με γεννήτρια ΗΕΔ $Ε = 10 \ V$ και εσωτερικής αντίστασης $r = 2 \ Ω$ . Να βρεθούν:

α) η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα,
β) η τάση στους πόλους της γεννήτριας και η τάση στα άκρα της $R_1$ και της $R_2$ ,
γ) η ισχύς της πηγής και η ισχύς που αποδίδει η πηγή στο εξωτερικό κύκλωμα.

Λύση:

α) Οι $R_1$ και $R_2$ είναι σε σειρά, οπότε η αντίστασή τους στο εξωτερικό κύκλωμα είναι:

R = R_1 + R_2 = 5 \ Ω + 3 \ Ω = 8 \ Ω

Εφαρμόζουμε τον νόμο του Ohm για κλειστό κύκλωμα, προσθέτοντας και την εσωτερική αντίσταση $r$ :

I = \dfrac{Ε}{R + r} = \dfrac{10 \ V}{8 \ Ω + 2 \ Ω} = \dfrac{10 \ V}{10 \ Ω} = 1 \ A

β) Η πολική τάση (τάση στους πόλους της γεννήτριας) είναι:

V_{π} = Ε - I r = 10 \ V - 1 \ A \cdot 2 \ Ω = 10 \ V - 2 \ V = 8 \ V

Η τάση στα άκρα της $R_1$ :

V_1 = I R_1 = 1 \ A \cdot 5 \ Ω = 5 \ V

Η τάση στα άκρα της $R_2$ :

V_2 = I R_2 = 1 \ A \cdot 3 \ Ω = 3 \ V

Επαλήθευση

Παρατηρούμε ότι $V_1 + V_2 = 5 \ V + 3 \ V = 8 \ V = V_{π}$ . Δηλαδή η πολική τάση μοιράζεται στις δύο αντιστάσεις του εξωτερικού κυκλώματος, όπως αναμένεται για σύνδεση σε σειρά. ✅

γ) Η ισχύς της πηγής (συνολική ισχύς που παράγει η ΗΕΔ) είναι:

P_{ολ} = Ε \cdot I = 10 \ V \cdot 1 \ A = 10 \ W

Η ισχύς που αποδίδει η πηγή στο εξωτερικό κύκλωμα είναι η ισχύς που αντιστοιχεί στην πολική τάση:

P = V_{π} \cdot I = 8 \ V \cdot 1 \ A = 8 \ W

Πού πήγαν τα 2 W;

Η διαφορά $P_{ολ} - P = 10 \ W - 8 \ W = 2 \ W$ είναι η ισχύς που «χάνεται» (μετατρέπεται σε θερμότητα) μέσα στην ίδια την πηγή, λόγω της εσωτερικής αντίστασης $r$ . Πράγματι:

P_r = I^2 r = (1 \ A)^2 \cdot 2 \ Ω = 2 \ W \quad ✅

Τελική Σύνοψη 📝

Οι βασικές σχέσεις της ενότητας

Νόμος του Ohm για κλειστό κύκλωμα:

I = \dfrac{Ε}{R + r}

Πολική τάση:

V_{π} = I R = Ε - I r

Ρεύμα βραχυκύκλωσης ( $R = 0$ ):

I = \dfrac{Ε}{r}

Στο ανοιχτό κύκλωμα ( $I = 0$ ): $V_{π} = Ε$ .
Στην ιδανική πηγή ( $r = 0$ ): $V_{π} = Ε$ .
Στη βραχυκυκλωμένη πηγή ( $R = 0$ ): το ρεύμα γίνεται μέγιστο, $I = \dfrac{Ε}{r}$ .
Η χαρακτηριστική καμπύλη της πηγής είναι ευθεία $V_{π} = Ε - rI$ , με τεταγμένη επί την αρχή $Ε$ και κλίση $-r$ .