Συνδεσμολογία αντιστατών (αντιστάσεων)

Γιατί μελετάμε τις συνδεσμολογίες; 🔌

Πολλές φορές στα ηλεκτρονικά κυκλώματα χρειάζεται να παρεμβάλουμε ανάμεσα σε δύο σημεία $Α$ και $Β$ μια αντίσταση συγκεκριμένης τιμής, η οποία όμως δεν υπάρχει έτοιμη στο εμπόριο. Η λύση είναι να πάρουμε κάποιες από τις αντιστάσεις που κυκλοφορούν και να τις συνδέσουμε κατάλληλα μεταξύ τους, ώστε στο σύνολό τους να συμπεριφέρονται όπως η αντίσταση που θέλουμε.

Αντίστροφα, πολλές φορές θέλουμε να αντικαταστήσουμε πολλές αντιστάσεις με μία και μόνη, η οποία να προκαλεί ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα στο κύκλωμα. Γι' αυτούς τους λόγους είναι αναγκαία η μελέτη της συνδεσμολογίας των αντιστατών.

Οι αντιστάσεις μπορούν να συνδεθούν μεταξύ τους με διάφορους τρόπους. Έτσι δημιουργούνται τα λεγόμενα συστήματα αντιστάσεων.

Βασικά μεγέθη ενός συστήματος αντιστάσεων 📐

Από τον παραπάνω ορισμό της ισοδύναμης αντίστασης προκύπτει η θεμελιώδης σχέση:

Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τους δύο πιο απλούς αλλά πιο βασικούς τρόπους σύνδεσης αντιστάσεων:

• σε σειρά και
• παράλληλα.

Με τον συνδυασμό τους προκύπτουν οι λεγόμενοι «μικτοί» τρόποι σύνδεσης.

Σύνδεση σε σειρά 🔗

Στη σύνδεση σε σειρά οι αντιστάσεις τοποθετούνται η μία μετά την άλλη, σχηματίζοντας έναν συνεχόμενο δρόμο για το ρεύμα. Στο σχολικό βιβλίο (εικ. 2.5-31) φαίνεται ένα κύκλωμα όπου τρεις αντιστάσεις $R_1$, $R_2$, $R_3$ συνδέονται διαδοχικά, ένα αμπερόμετρο μετρά την ολική ένταση και βολτόμετρα μετρούν τις επιμέρους τάσεις.

Τι δείχνει το πείραμα

Θεωρούμε το κύκλωμα της εικ. 31 με ιδανικά όργανα και αντιστάσεις:

Με το βολτόμετρο $V$ μετράμε την ολική τάση και με το αμπερόμετρο την ολική ένταση:

Άρα η ισοδύναμη αντίσταση είναι:

Παρατηρούμε ότι $60 \ Ω = 10 \ Ω + 20 \ Ω + 30 \ Ω$. Δηλαδή η σχέση που συνδέει τις $R_1, R_2, R_3$ με την $R_{ολ}$ είναι:

Επίσης, με τα βολτόμετρα $V_1, V_2, V_3$ μετράμε τις τάσεις στα άκρα κάθε αντίστασης και βρίσκουμε $V_1 = 2 \ V$, $V_2 = 4 \ V$, $V_3 = 6 \ V$. Παρατηρούμε ότι:

Χαρακτηριστική ιδιότητα της σύνδεσης σε σειρά

Αυτό είναι λογικό: αφού υπάρχει ένας μοναδικός δρόμος, όλο το ρεύμα που περνά από τη μία αντίσταση είναι υποχρεωμένο να περάσει και από τις επόμενες.

Απόδειξη του τύπου $R_{ολ} = R_1 + R_2 + R_3$

Στο κύκλωμα του βιβλίου (εικ. 2.5-32) οι αντιστάσεις είναι συνδεδεμένες στη σειρά $Α \to Γ \to Δ \to Β$. Οι τάσεις στα άκρα κάθε αντίστασης εκφράζονται ως διαφορές δυναμικού:

Προσθέτουμε κατά μέλη τις τρεις σχέσεις. Τα ενδιάμεσα δυναμικά $V_Γ$ και $V_Δ$ απαλείφονται:

Όμως $V_Α - V_Β = V_{ολ}$ είναι η τάση στα άκρα ολόκληρης της συνδεσμολογίας. Άρα:

Εφαρμόζουμε τώρα τον νόμο του Ohm σε κάθε αντίσταση και στο σύνολο, θυμίζοντας ότι όλες διαρρέονται από την ίδια ένταση $I$:

Αντικαθιστώντας στη σχέση $V_{ολ} = V_1 + V_2 + V_3$:

Διαιρώντας και τα δύο μέλη με την κοινή ένταση $I$ (που είναι $\neq 0$):

που είναι ακριβώς ο ζητούμενος τύπος. ■

Σύνδεση παράλληλα 🔀

Στη σύνδεση παράλληλα όλες οι αντιστάσεις έχουν τα δύο τους άκρα ενωμένα στα ίδια δύο σημεία (κόμβους) $Α$ και $Β$. Έτσι το ρεύμα, φτάνοντας στον κόμβο, μοιράζεται σε περισσότερους δρόμους. Στο σχολικό βιβλίο (εικ. 2.5-33) φαίνεται το αντίστοιχο κύκλωμα, με ξεχωριστό αμπερόμετρο σε κάθε κλάδο.

Τι δείχνει το πείραμα

Θεωρούμε το κύκλωμα της εικ. 33 με τις ίδιες αντιστάσεις:

Μετράμε την ολική τάση και την ολική ένταση:

Άρα η ισοδύναμη αντίσταση είναι:

Η σχέση που συνδέει τις $R_1, R_2, R_3$ με την $R_{ολ}$ είναι αυτή τη φορά:

Επίσης, με τα αμπερόμετρα $Α_1, Α_2, Α_3$ μετράμε τις εντάσεις σε κάθε κλάδο και βρίσκουμε $I_1 = 0{,}6 \ A$, $I_2 = 0{,}3 \ A$, $I_3 = 0{,}2 \ A$. Παρατηρούμε ότι:

Χαρακτηριστική ιδιότητα της σύνδεσης παράλληλα

Αυτό είναι λογικό: αφού όλες οι αντιστάσεις έχουν τα άκρα τους στους ίδιους δύο κόμβους $Α$ και $Β$, η διαφορά δυναμικού στα άκρα τους είναι κοινή.

Απόδειξη του τύπου $\dfrac{1}{R_{ολ}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}$

Στο κύκλωμα της εικ. 33 έστω $I_1, I_2, I_3$ οι εντάσεις των ρευμάτων που διαρρέουν τις $R_1, R_2, R_3$ αντίστοιχα. Στον κόμβο $Α$ (αλλά και στον κόμβο $Β$) εφαρμόζουμε τον 1ο κανόνα του Kirchhoff (το ρεύμα που μπαίνει σε κόμβο ισούται με αυτό που βγαίνει):

Εφαρμόζουμε τον νόμο του Ohm σε κάθε κλάδο και στο σύνολο, θυμίζοντας ότι όλες οι αντιστάσεις έχουν την ίδια τάση $V$:

Αντικαθιστώντας στη σχέση $I_{ολ} = I_1 + I_2 + I_3$:

Διαιρώντας και τα δύο μέλη με την κοινή τάση $V$ (που είναι $\neq 0$):

που είναι ακριβώς ο ζητούμενος τύπος. ■

Σύνοψη των δύο συνδεσμολογιών 📋

Λυμένα Παραδείγματα ✏️

Παράδειγμα 5 — Σύνδεση σε σειρά

Εκφώνηση: Δύο αντιστάσεις $R_1 = 4 \ Ω$ και $R_2 = 6 \ Ω$ συνδέονται σε σειρά και στα άκρα της συνδεσμολογίας εφαρμόζεται τάση $V = 100 \ V$. Να βρεθούν: α) η ισοδύναμη αντίσταση, β) η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε αντίσταση, γ) η τάση στα άκρα κάθε αντίστασης.

Λύση:

α) Επειδή οι αντιστάσεις είναι σε σειρά, η ισοδύναμη αντίσταση είναι το άθροισμά τους:

β) Η ένταση που διαρρέει τις αντιστάσεις και την πηγή τροφοδοσίας υπολογίζεται από τον νόμο του Ohm για όλη τη συνδεσμολογία:

Αφού η σύνδεση είναι σε σειρά, η ένταση είναι κοινή σε όλες:

γ) Οι τάσεις στα άκρα κάθε αντίστασης υπολογίζονται από τον νόμο του Ohm:

Παράδειγμα 6 — Σύνδεση παράλληλα

Εκφώνηση: Δύο αντιστάσεις $R_1 = 10 \ Ω$ και $R_2 = 15 \ Ω$ συνδέονται παράλληλα και στα άκρα του συστήματος εφαρμόζεται τάση $V = 90 \ V$. Να βρεθούν: α) η ισοδύναμη αντίσταση, β) οι τάσεις στα άκρα των $R_1$ και $R_2$, γ) η ένταση του ρεύματος που διαρρέει κάθε αντίσταση και την πηγή τροφοδοσίας.

Λύση:

α) Για δύο αντιστάσεις παράλληλα χρησιμοποιούμε τον τύπο «γινόμενο διά άθροισμα»:

β) Στην παράλληλη σύνδεση η τάση είναι κοινή και ίση με την τάση του συστήματος:

γ) Οι εντάσεις σε κάθε κλάδο υπολογίζονται από τον νόμο του Ohm:

Η ένταση που διαρρέει την πηγή τροφοδοσίας:

Παράδειγμα 7 — Μικτή συνδεσμολογία (γέφυρα)

Εκφώνηση: Δίνεται η συνδεσμολογία αντιστάσεων του διπλανού σχήματος του βιβλίου, με $R_1 = 2 \ Ω$, $R_2 = 3 \ Ω$, $R_3 = 10 \ Ω$, $R_4 = 5 \ Ω$ και τάση τροφοδοσίας $V = 30 \ V$. Να βρεθούν: α) η ένταση του ρεύματος που διαρρέει τις $R_1, R_2$ και τις $R_3, R_4$, β) η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων $Β$ και $Δ$.

Περιγραφή του σχήματος: Το κύκλωμα αποτελείται από δύο παράλληλους κλάδους ανάμεσα στα ίδια άκρα $Α$ (θετικός πόλος) και $Γ$ (αρνητικός πόλος). Ο πρώτος κλάδος έχει τις $R_1$ και $R_2$ σε σειρά, με ενδιάμεσο σημείο το $Β$. Ο δεύτερος κλάδος έχει τις $R_3$ και $R_4$ σε σειρά, με ενδιάμεσο σημείο το $Δ$. Έτσι και οι δύο κλάδοι «βλέπουν» στα άκρα τους την ίδια τάση $V$.

Λύση:

α) Οι $R_1, R_2$ συνδέονται σε σειρά και στα άκρα τους $Α, Γ$ εφαρμόζεται η τάση $V$. Άρα η ένταση $I_1$ που διαρρέει αυτόν τον κλάδο είναι:

Όμοια, οι $R_3, R_4$ συνδέονται σε σειρά και στα άκρα τους $Α, Γ$ έχουμε επίσης τάση $V$. Άρα η ένταση $I_2$ που διαρρέει τον δεύτερο κλάδο είναι:

β) 1ος τρόπος — Διαδοχικές μεταβολές δυναμικού.

Χρησιμοποιούμε τον κανόνα: αν «κινούμαστε» κατά μήκος μιας αντίστασης κατά τη φορά του ρεύματος, το δυναμικό μειώνεται κατά $I \cdot R$· αν κινούμαστε αντίθετα προς τη φορά του ρεύματος, το δυναμικό αυξάνεται κατά $I \cdot R$.

Ξεκινάμε από το σημείο $Β$ και πηγαίνουμε στο $Δ$ μέσω του κόμβου $Α$:

• Από το $Β$ στο $Α$ κινούμαστε αντίθετα προς το ρεύμα της $R_1$, οπότε το δυναμικό αυξάνεται κατά $I_1 R_1$.
• Από το $Α$ στο $Δ$ κινούμαστε ομόρροπα με το ρεύμα της $R_3$, οπότε το δυναμικό μειώνεται κατά $I_2 R_3$.

Άρα:

β) 2ος τρόπος — Αφαίρεση κατά μέλη.

Η τάση στα άκρα της $R_1$ (από $Α$ προς $Β$, ομόρροπα στο $I_1$) είναι:

Η τάση στα άκρα της $R_3$ (από $Α$ προς $Δ$, ομόρροπα στο $I_2$) είναι:

Αφαιρούμε τις $(3)$ και $(4)$ κατά μέλη:

Αντικαθιστούμε τις αριθμητικές τιμές:

Τελική Σύνοψη 📝

• Σε σειρά η ολική αντίσταση είναι πάντα μεγαλύτερη από τη μεγαλύτερη του συστήματος.
• Παράλληλα η ολική αντίσταση είναι πάντα μικρότερη από τη μικρότερη του συστήματος.
• Σε κάθε περίπτωση ισχύει ο γενικός ορισμός $R_{ολ} = \dfrac{V_{ολ}}{I_{ολ}}$.