Κανόνες του Kirchhoff (Κίρχοφ) ⚡

Στην ενότητα αυτή θα γνωρίσουμε δύο βασικά όργανα μέτρησης, το αμπερόμετρο και το βολτόμετρο, και θα διατυπώσουμε τους δύο κανόνες του Kirchhoff, που μας επιτρέπουν να αναλύουμε σύνθετα ηλεκτρικά κυκλώματα. Τέλος, θα ορίσουμε την έννοια του διπόλου και της χαρακτηριστικής του καμπύλης.

Αμπερόμετρο 🔌

Αμπερόμετρο είναι το όργανο που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος. Το αμπερόμετρο λειτουργεί με βάση τα θερμικά ή τα μαγνητικά αποτελέσματα του ηλεκτρικού ρεύματος. Έχει δύο ακροδέκτες $K$ και $\Lambda$ , που αντιστοιχούν στα σημεία εισόδου και εξόδου του ηλεκτρικού ρεύματος (σχήμα στο σχολικό βιβλίο, εικ. 2.3-13).

Πώς συνδέεται το αμπερόμετρο

Για να μετρήσουμε την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος σ' ένα κύκλωμα, παρεμβάλλουμε το αμπερόμετρο ακριβώς στο σημείο που θέλουμε να τη μετρήσουμε. Δηλαδή:

Κόβουμε τον αγωγό του κυκλώματος στο επιθυμητό σημείο (έστω σημείο $M$ ).
Στα δύο άκρα που δημιουργούνται συνδέουμε τους δύο ακροδέκτες του αμπερομέτρου.

Η σύνδεση αυτή του αμπερομέτρου λέγεται σύνδεση σε σειρά.

Προσοχή!

Το αμπερόμετρο συνδέεται πάντα σε σειρά με το στοιχείο του οποίου το ρεύμα θέλουμε να μετρήσουμε. Πρέπει να «κόψουμε» τον αγωγό και να παρεμβάλουμε το όργανο, ώστε όλο το ρεύμα να περάσει μέσα από αυτό.

Το ιδανικό αμπερόμετρο

Αν το αμπερόμετρο θεωρηθεί ιδανικό, δηλαδή έχει μηδενική εσωτερική αντίσταση, η σύνδεσή του δεν επηρεάζει το κύκλωμα. Έτσι, το αμπερόμετρο δείχνει την ένταση του ρεύματος που διέρρεε το κύκλωμα πριν από τη σύνδεσή του.

Η ένταση είναι ίδια σε όλα τα σημεία ενός αγωγού

Αν παρεμβάλλουμε το αμπερόμετρο σε διαφορετικά σημεία του ίδιου αγωγού (π.χ. στα σημεία $M$ και $N$ του ίδιου κλάδου), παρατηρούμε ότι η ένδειξη παραμένει η ίδια.

Το ήξερες;

Η στιγμιαία ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος είναι ίδια σε όλα τα σημεία ενός αγωγού. Αυτό είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου: όσο φορτίο διέρχεται από κάποια διατομή του αγωγού ανά μονάδα χρόνου, τόσο φορτίο διέρχεται και από οποιαδήποτε άλλη διατομή του στον ίδιο χρόνο.

Επομένως, κατά μήκος ενός ρευματοφόρου αγωγού δεν υπάρχουν ούτε «πηγές» ούτε «καταβόθρες» ηλεκτρικών φορτίων. Το φορτίο ούτε δημιουργείται ούτε καταστρέφεται καθώς κινείται μέσα στον αγωγό.

1ος Κανόνας του Kirchhoff 🟢

Πριν διατυπώσουμε τον πρώτο κανόνα, χρειαζόμαστε δύο βασικούς ορισμούς που αφορούν τη γεωμετρία ενός κυκλώματος.

Βασικοί ορισμοί

Κόμβος λέγεται το σημείο ενός κυκλώματος στο οποίο συναντιούνται τουλάχιστον τρεις ρευματοφόροι αγωγοί.

Κλάδος λέγεται το τμήμα του κυκλώματος που βρίσκεται μεταξύ δύο κόμβων.

Μια θεμελιώδης ιδιότητα του κλάδου είναι η εξής:

Προσοχή!

Όλα τα στοιχεία ενός κλάδου διαρρέονται από την ίδια ένταση ηλεκτρικού ρεύματος.

Πειραματική επαλήθευση

Ας θεωρήσουμε ένα κύκλωμα με κόμβους τα σημεία $B$ και $\Gamma$ και τρεις κλάδους: τον $B Z \Gamma$ , τον $B H \Gamma$ και τον $\Gamma \Delta B$ (σχήμα στο σχολικό βιβλίο, εικ. 2.3-15). Τοποθετούμε ένα αμπερόμετρο σε κάθε κλάδο:

Αμπερόμετρο	Κλάδος	Ένδειξη έντασης
$A$	$\Gamma \Delta B$	$I = 20\ \text{mA}$
$A_1$	$B Z \Gamma$	$I_1 = 8\ \text{mA}$
$A_2$	$B H \Gamma$	$I_2 = 12\ \text{mA}$

Παρατηρούμε ότι ισχύει:

I = I_1 + I_2

Πράγματι, $20\ \text{mA} = 8\ \text{mA} + 12\ \text{mA}$ . Το ρεύμα $I$ που «φτάνει» στον κόμβο $B$ μοιράζεται στους δύο κλάδους που ξεκινούν από αυτόν.

Διατύπωση του 1ου κανόνα

Το άθροισμα των εντάσεων των ρευμάτων που εισέρχονται σ' ένα κόμβο ισούται με το άθροισμα των εντάσεων των ρευμάτων που εξέρχονται απ' αυτόν.

Σε μορφή εξίσωσης:

\sum I_{\text{εισ}} = \sum I_{\text{εξ}}

Το ήξερες;

Ο 1ος κανόνας του Kirchhoff είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. Όσο φορτίο «φτάνει» στον κόμβο ανά μονάδα χρόνου, τόσο φορτίο «φεύγει» απ' αυτόν ανά μονάδα χρόνου. Οι κόμβοι δεν είναι ούτε «πηγές» ούτε «καταβόθρες» φορτίων. ⚖️

Εναλλακτική διατύπωση (αλγεβρικό άθροισμα)

Αν αυθαίρετα θεωρήσουμε θετικές τις εντάσεις των ρευμάτων που φτάνουν στον κόμβο και αρνητικές τις εντάσεις των ρευμάτων που φεύγουν από αυτόν, τότε η σχέση $I = I_1 + I_2$ γράφεται:

I - I_1 - I_2 = 0

Έτσι, ο 1ος κανόνας του Kirchhoff διατυπώνεται και ως εξής:

Σ' ένα κόμβο, το αλγεβρικό άθροισμα των εντάσεων των ρευμάτων ισούται με μηδέν:

\sum I = 0

Προσοχή!

Η επιλογή του προσήμου (θετικό για τα εισερχόμενα, αρνητικό για τα εξερχόμενα) είναι σύμβαση. Θα μπορούσαμε να επιλέξουμε και το αντίστροφο· αρκεί να είμαστε συνεπείς σε ολόκληρη την επίλυση.

Βολτόμετρο 🔋

Βολτόμετρο είναι το όργανο που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε τη διαφορά δυναμικού (τάση) μεταξύ δύο σημείων ενός κυκλώματος. Όπως και το αμπερόμετρο, λειτουργεί με βάση τα θερμικά ή τα μαγνητικά αποτελέσματα του ηλεκτρικού ρεύματος. Έχει δύο ακροδέκτες $K$ και $\Lambda$ , που συνδέονται με τα σημεία του κυκλώματος μεταξύ των οποίων θέλουμε να μετρήσουμε την τάση (σχήμα στο σχολικό βιβλίο, εικ. 2.3-17).

Πώς συνδέεται το βολτόμετρο

Για να μετρήσουμε τη διαφορά δυναμικού (τάση) μεταξύ δύο σημείων $A$ και $B$ ενός κυκλώματος, συνδέουμε αγώγιμα τους ακροδέκτες του βολτομέτρου με τα σημεία αυτά. Το βολτόμετρο συνδέεται χωρίς να διακοπεί το κύκλωμα. Η σύνδεση αυτή λέγεται σύνδεση σε διακλάδωση ή παράλληλη σύνδεση.

Προσοχή!

Δύο αντίθετοι τρόποι σύνδεσης:

Το αμπερόμετρο συνδέεται σε σειρά (διακόπτουμε το κύκλωμα).
Το βολτόμετρο συνδέεται παράλληλα (δεν διακόπτουμε το κύκλωμα).

Το ιδανικό βολτόμετρο

Αν το βολτόμετρο θεωρηθεί ιδανικό, δηλαδή έχει άπειρη εσωτερική αντίσταση, η σύνδεσή του δεν επηρεάζει το κύκλωμα. Έτσι, το βολτόμετρο δείχνει την τάση μεταξύ των σημείων $A$ και $B$ όπως ήταν πριν τη σύνδεσή του.

2ος Κανόνας του Kirchhoff 🔵

Πειραματική επαλήθευση

Ας θεωρήσουμε ένα κύκλωμα με μια πηγή και αντιστάτες σε σειρά, με σημεία $A$ , $B$ και $\Gamma$ (σχήμα στο σχολικό βιβλίο, εικ. 2.3-19). Τοποθετούμε βολτόμετρα και διαβάζουμε τις τάσεις:

Βολτόμετρο	Τάση	Ένδειξη
$V$	$V_{A\Gamma}$ (πόλοι πηγής)	$12\ \text{V}$
$V_1$	$V_{AB}$	$9\ \text{V}$
$V_2$	$V_{B\Gamma}$	$3\ \text{V}$

Παρατηρούμε ότι η τάση στους πόλους της πηγής ισούται με το άθροισμα των επιμέρους τάσεων:

V_{A\Gamma} = V_{AB} + V_{B\Gamma}

Πράγματι, $12\ \text{V} = 9\ \text{V} + 3\ \text{V}$ .

Διατύπωση του 2ου κανόνα

Κατά μήκος μιας κλειστής διαδρομής σ' ένα κύκλωμα, το αλγεβρικό άθροισμα των διαφορών δυναμικού ισούται με μηδέν:

\sum (\Delta V) = 0

Βασικός ορισμός

Κάθε κλειστή διαδρομή σ' ένα κύκλωμα λέγεται βρόχος. 🔁

Το ήξερες;

Ο 2ος κανόνας του Kirchhoff είναι συνέπεια της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Όταν ένα φορτίο διατρέξει έναν ολόκληρο βρόχο και επιστρέψει στο σημείο εκκίνησης, η συνολική μεταβολή της δυναμικής του ενέργειας είναι μηδέν, άρα και η συνολική διαφορά δυναμικού είναι μηδέν.

Προσοχή!

Στον 2ο κανόνα οι όροι $\Delta V$ μπαίνουν αλγεβρικά, δηλαδή με πρόσημο. Επιλέγουμε μια φορά διαγραφής του βρόχου και κρατάμε σταθερή σύμβαση για τα πρόσημα των ανόδων και των πτώσεων δυναμικού.

Σύνοψη των δύο κανόνων

Κανόνας	Σχέση	Βασίζεται στη διατήρηση
1ος (κόμβων)	$\sum I = 0$	του ηλεκτρικού φορτίου
2ος (βρόχων)	$\sum (\Delta V) = 0$	της ενέργειας

Δίπολο και χαρακτηριστική καμπύλη διπόλου 📈

Ένα κύκλωμα μπορεί να περιέχει λαμπτήρες, αντιστάτες, πυκνωτές, πηνία, ηλεκτρικές πηγές και άλλα στοιχεία. Το κοινό τους χαρακτηριστικό είναι ότι καθένα έχει δύο άκρα, που λέγονται πόλοι. Γι' αυτό τα στοιχεία αυτά λέγονται δίπολα.

Βασικός ορισμός

Δίπολο ονομάζεται κάθε ηλεκτρικό στοιχείο που έχει δύο άκρα (πόλους), μέσω των οποίων συνδέεται με το υπόλοιπο κύκλωμα.

Η χαρακτηριστική καμπύλη

Η λειτουργία ενός διπόλου εξαρτάται από τις τιμές της τάσης που υπάρχει στα άκρα του. Η τάση αυτή καθορίζει τις τιμές της έντασης του ρεύματος που το διαρρέει. Γενικά, για κάθε δίπολο υπάρχει μια συνάρτηση:

I = f(V)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης λέγεται χαρακτηριστική καμπύλη του διπόλου.

Το ήξερες;

Η γνώση της χαρακτηριστικής καμπύλης μάς βοηθάει:

στη διάκριση των διπόλων μεταξύ τους, και
στην πρόβλεψη της λειτουργίας τους, όταν τα συνδέσουμε σε κάποιο κύκλωμα.

Για παράδειγμα, ένας ιδανικός αντιστάτης (που υπακούει στον νόμο του Ohm) έχει χαρακτηριστική καμπύλη ευθεία γραμμή που περνά από την αρχή των αξόνων, ενώ άλλα δίπολα μπορεί να έχουν καμπύλη μη γραμμική.

Λυμένα Παραδείγματα ✏️

Παράδειγμα 1 — Εφαρμογή του 1ου κανόνα

Σ' έναν κόμβο $K$ ενός κυκλώματος εισέρχονται δύο ρεύματα με εντάσεις $I_1 = 5\ \text{A}$ και $I_2 = 3\ \text{A}$ . Από τον κόμβο εξέρχονται δύο ρεύματα: το ένα έχει ένταση $I_3 = 6\ \text{A}$ . Να βρεθεί η ένταση $I_4$ του δεύτερου εξερχόμενου ρεύματος.

Λύση

Εφαρμόζουμε τον 1ο κανόνα του Kirchhoff στον κόμβο $K$ . Το άθροισμα των εισερχόμενων εντάσεων ισούται με το άθροισμα των εξερχόμενων:

\sum I_{\text{εισ}} = \sum I_{\text{εξ}}

I_1 + I_2 = I_3 + I_4

Λύνουμε ως προς $I_4$ :

I_4 = I_1 + I_2 - I_3 = 5\ \text{A} + 3\ \text{A} - 6\ \text{A} = 2\ \text{A}

Άρα το δεύτερο εξερχόμενο ρεύμα έχει ένταση $I_4 = 2\ \text{A}$ . ✅

Παράδειγμα 2 — Εφαρμογή του 2ου κανόνα

Σε έναν βρόχο, μια πηγή δίνει στα άκρα της τάση $V = 12\ \text{V}$ . Ο βρόχος περιέχει δύο αντιστάτες σε σειρά, στους οποίους μετράμε πτώσεις τάσης $V_1 = 7\ \text{V}$ και $V_2 = ?$ . Να βρεθεί η πτώση τάσης $V_2$ στον δεύτερο αντιστάτη.

Λύση

Διατρέχουμε τον βρόχο. Σύμφωνα με τον 2ο κανόνα του Kirchhoff, το αλγεβρικό άθροισμα των διαφορών δυναμικού κατά μήκος του κλειστού βρόχου είναι μηδέν. Η τάση της πηγής «καταναλώνεται» πάνω στους δύο αντιστάτες:

V = V_1 + V_2

Λύνουμε ως προς $V_2$ :

V_2 = V - V_1 = 12\ \text{V} - 7\ \text{V} = 5\ \text{V}

Άρα η πτώση τάσης στον δεύτερο αντιστάτη είναι $V_2 = 5\ \text{V}$ . ✅

Παράδειγμα 3 — Συνδυασμός κόμβου και κλάδου

Σε ένα κύκλωμα με κόμβους $B$ και $\Gamma$ , από τον κόμβο $B$ ξεκινούν δύο παράλληλοι κλάδοι που καταλήγουν στον $\Gamma$ . Στον πρώτο κλάδο μετράμε ένταση $I_1 = 8\ \text{mA}$ και στον δεύτερο $I_2 = 12\ \text{mA}$ . Να βρεθεί η ένταση $I$ του ρεύματος που φτάνει στον κόμβο $B$ από την πηγή.

Λύση

Στον κόμβο $B$ εισέρχεται το ρεύμα $I$ από την πηγή και εξέρχονται τα ρεύματα $I_1$ και $I_2$ προς τους δύο κλάδους. Εφαρμόζουμε τον 1ο κανόνα του Kirchhoff:

I = I_1 + I_2 = 8\ \text{mA} + 12\ \text{mA} = 20\ \text{mA}

Το αποτέλεσμα συμφωνεί με την πειραματική επαλήθευση που είδαμε παραπάνω: το ρεύμα που φτάνει στον κόμβο μοιράζεται στους κλάδους, ώστε το σύνολό τους να ισούται με το εισερχόμενο. ✅

Ανακεφαλαίωση 🎯

Το αμπερόμετρο μετρά την ένταση και συνδέεται σε σειρά (ιδανικό: μηδενική αντίσταση).
Το βολτόμετρο μετρά την τάση και συνδέεται παράλληλα (ιδανικό: άπειρη αντίσταση).
Κόμβος: σημείο συνάντησης τουλάχιστον τριών αγωγών. Κλάδος: τμήμα μεταξύ δύο κόμβων (ίδιο ρεύμα παντού). Βρόχος: κλειστή διαδρομή.
1ος κανόνας Kirchhoff (διατήρηση φορτίου): $\sum I_{\text{εισ}} = \sum I_{\text{εξ}}$ , ισοδύναμα $\sum I = 0$ .
2ος κανόνας Kirchhoff (διατήρηση ενέργειας): $\sum (\Delta V) = 0$ .
Δίπολο: στοιχείο με δύο πόλους· περιγράφεται από τη χαρακτηριστική καμπύλη $I = f(V)$ .

Ολοκλήρωση ενότητας. ✅