Επανάληψη στη Γεωμετρία 📐

Η γεωμετρία είναι παντού γύρω μας — στα κουτιά, στις μπάλες, στα κτίρια, ακόμα και στις πόρτες των σπιτιών. Σε αυτό το μάθημα θα ξαναδούμε μαζί όλα όσα ξέρουμε για τα σχήματα, τα στερεά σώματα, τα αναπτύγματά τους και τη συμμετρία, συνδέοντάς τα μεταξύ τους.

Επίπεδα σχήματα και στερεά σώματα: η βασική διαφορά

Ένα επίπεδο σχήμα ζωγραφίζεται πάνω σε μια επιφάνεια και έχει μόνο μήκος και πλάτος. Ο κύκλος, το τρίγωνο, το τετράγωνο, το ορθογώνιο και ο ρόμβος είναι όλα επίπεδα σχήματα.

Ένα στερεό σώμα όμως έχει και βάθος — μπορείς να το πιάσεις στο χέρι σου, γιατί καταλαμβάνει χώρο. Ο κύβος, το στερεό ορθογώνιο (ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο), η σφαίρα και ο κύλινδρος είναι στερεά σώματα.

Η σχέση ανάμεσά τους είναι στενή: κάθε στερεό σώμα «φτιάχνεται» από επίπεδα σχήματα. Ένας κύβος, για παράδειγμα, έχει έδρες που είναι τετράγωνα — ένα επίπεδο σχήμα γίνεται η «ταπετσαρία» ενός στερεού σώματος.

Γνωρίζοντας ξανά τα τέσσερα βασικά στερεά

Η πιο σίγουρη διαφορά ανάμεσα σε κύβο και στερεό ορθογώνιο βρίσκεται στις έδρες τους: ο κύβος έχει έξι έδρες απόλυτα ίσες μεταξύ τους, ενώ το στερεό ορθογώνιο έχει έδρες με διαφορετικό μέγεθος — συνήθως τρία ζευγάρια ίσων ορθογωνίων.

Πώς «ξεδιπλώνει» ένα στερεό: τα αναπτύγματα

Ένα ανάπτυγμα δείχνει πώς θα φαινόταν ένα στερεό αν το ανοίγαμε προσεκτικά κατά μήκος των ακμών του και το απλώναμε σε ένα τραπέζι. Κάθε στερεό έχει το δικό του ανάπτυγμα, φτιαγμένο από τις έδρες του:

• Το ανάπτυγμα ενός κύβου αποτελείται πάντα από 6 ίσα τετράγωνα.
• Το ανάπτυγμα ενός στερεού ορθογωνίου αποτελείται από 6 ορθογώνια, τα οποία δεν είναι όλα ίσα — έχουμε τρία ζευγάρια ίσων ορθογωνίων.

Ο πιο σίγουρος τρόπος να αναγνωρίσεις σε ποιο στερεό ανήκει ένα ανάπτυγμα είναι να μετρήσεις τις έδρες του και να δεις αν είναι όλες ίσες (τότε είναι κύβος) ή όχι (τότε είναι στερεό ορθογώνιο).

Η συμμετρία: όταν ένα σχήμα «διπλώνει» ακριβώς στα δύο

Ένα σχήμα είναι συμμετρικό ως προς μια γραμμή όταν, αν το διπλώναμε κατά μήκος αυτής της γραμμής, τα δύο κομμάτια θα ταίριαζαν απόλυτα, σαν καθρέφτης. Αυτή η γραμμή λέγεται άξονας συμμετρίας.

Για να ελέγξουμε ή να συμπληρώσουμε ένα σχήμα ώστε να γίνει συμμετρικό, ακολουθούμε αυτόν τον κανόνα: κάθε σημείο στη μία πλευρά του άξονα πρέπει να έχει το «αντίστοιχό» του στην άλλη πλευρά, στην ίδια ακριβώς απόσταση από τον άξονα.

Για παράδειγμα, αν σε ένα τετραγωνισμένο σχέδιο υπάρχει ένα χρωματισμένο τετραγωνάκι δύο θέσεις αριστερά από τον άξονα, πρέπει να υπάρχει ένα ίδιο χρωματισμένο τετραγωνάκι δύο θέσεις δεξιά από τον άξονα, στο ίδιο ύψος.

Σχήματα σε μοτίβα: το ψηφιδωτό

Ένα ψηφιδωτό χρησιμοποιεί πολλά μικρά σχήματα —τετράγωνα, εξάγωνα, τρίγωνα— τοποθετημένα σε επαναλαμβανόμενο μοτίβο. Για να συνεχίσουμε ένα μοτίβο σωστά, εντοπίζουμε πρώτα τον κανόνα που ακολουθεί η επανάληψη: ίσως τα χρώματα εναλλάσσονται πάντα με την ίδια σειρά, ή ίσως κάθε τρίτο σχήμα έχει το ίδιο χρώμα. Μόλις βρούμε τον κανόνα, τον εφαρμόζουμε συνεχίζοντας το μοτίβο.

Πώς αναγνωρίζουμε σχήματα από περιγραφή

Μερικές φορές πρέπει να ξεχωρίσουμε ένα σχήμα ανάμεσα σε άλλα χρησιμοποιώντας μόνο λεκτικά στοιχεία, χωρίς να το βλέπουμε απευθείας. Η στρατηγική είναι να διαβάζουμε κάθε στοιχείο προσεκτικά και να αποκλείουμε ό,τι δεν ταιριάζει, ξεκινώντας από τα πιο σαφή στοιχεία. Αν, για παράδειγμα, ξέρουμε ότι ένα σχήμα «δεν έχει καθόλου κύκλους», μπορούμε αμέσως να αποκλείσουμε κάθε επιλογή που περιέχει έστω και έναν κύκλο, μειώνοντας σταδιακά τις πιθανές απαντήσεις.

Ανακεφαλαίωση

Τα επίπεδα σχήματα έχουν μόνο δύο διαστάσεις, ενώ τα στερεά σώματα έχουν και βάθος. Ο κύβος έχει έξι ίσες τετράγωνες έδρες, το στερεό ορθογώνιο έξι ορθογώνιες έδρες όχι όλες ίσες, η σφαίρα είναι στρογγυλή παντού χωρίς επίπεδη έδρα, και ο κύλινδρος έχει δύο κύκλους και μία καμπύλη επιφάνεια. Το ανάπτυγμα δείχνει πώς ανοίγει ένα στερεό σε επίπεδο σχήμα, και μας βοηθάει να αναγνωρίζουμε το στερεό μετρώντας τις έδρες του. Ένα σχήμα είναι συμμετρικό όταν διπλώνει ακριβώς στα δύο γύρω από έναν άξονα, με κάθε σημείο να έχει το αντίστοιχό του στην ίδια απόσταση από την άλλη πλευρά.