Διαιρέσεις: Μοιράζουμε με Υπόλοιπο ➗
Η διαίρεση είναι η πράξη που χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να μοιράσουμε κάτι σε ίσα μέρη. Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε τα ονόματα των αριθμών σε μια διαίρεση, τι σημαίνει «υπόλοιπο» και πώς ελέγχουμε αν μια διαίρεση είναι σωστή.
Τα μέρη μιας διαίρεσης
Όταν γράφουμε , οι αριθμοί αυτοί έχουν ονόματα:
- Ο διαιρετέος είναι ο αριθμός που μοιράζουμε (εδώ το 20).
- Ο διαιρέτης είναι ο αριθμός των ομάδων ή ατόμων στα οποία μοιράζουμε (εδώ το 3).
- Το πηλίκο είναι το αποτέλεσμα — πόσα παίρνει ο καθένας.
- Το υπόλοιπο είναι ό,τι περισσεύει, όταν ο διαιρετέος δεν μοιράζεται ακριβώς.
Αν έχουμε 20 κάρτες και τις μοιράζουμε σε 3 παιδιά, κάθε παιδί παίρνει 6 κάρτες, και περισσεύουν 2 κάρτες που δεν μπορούν να μοιραστούν άλλο:
Ο έλεγχος μιας διαίρεσης
Κάθε διαίρεση με υπόλοιπο μπορεί να ξαναγραφτεί ως πολλαπλασιασμός με πρόσθεση, και αυτό μας βοηθάει να ελέγξουμε αν τη λύσαμε σωστά:
Για το παράδειγμα των καρτών:
Ας δούμε τα βήματα για να λύσουμε το και να το ελέγξουμε.
Βήμα 1. Ψάχνουμε πόσες φορές χωράει το 8 μέσα στο 43. Δοκιμάζουμε: , που είναι κοντά στο 43 αλλά όχι πάνω από αυτό.
Βήμα 2. Το πηλίκο είναι 5.
Βήμα 3. Βρίσκουμε το υπόλοιπο: .
Βήμα 4. Ελέγχουμε: . ✓ Σωστά!
Άρα υπόλοιπο .
Η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός είναι αντίστροφες πράξεις. Αν 8 παιδιά πάρουν 5 κάρτες το καθένα, μαζεύτηκαν κάρτες. Αν πρόσθεσουμε το υπόλοιπο 3 που δεν μοιράστηκε, φτάνουμε ξανά στις αρχικές 43 κάρτες. Γι' αυτό ο πολλαπλασιασμός «ξεκάνει» τη διαίρεση.
Ο κανόνας του υπολοίπου
Υπάρχει ένας κανόνας που ισχύει πάντα σε κάθε διαίρεση με υπόλοιπο: το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από τον διαιρέτη.
Αν βρεις υπόλοιπο ίσο ή μεγαλύτερο από τον διαιρέτη, κάτι πήγε στραβά — σημαίνει ότι το πηλίκο χωράει ακόμα μία φορά. Για παράδειγμα, αν στο βρεις υπόλοιπο 13, αυτό είναι λάθος, γιατί το 13 είναι μεγαλύτερο από το 10. Στην πραγματικότητα υπόλοιπο , γιατί και , που είναι μικρότερο από το 10.
Διαίρεση χωρίς υπόλοιπο (τέλεια διαίρεση)
Μερικές φορές ο διαιρετέος μοιράζεται ακριβώς, χωρίς να περισσεύει τίποτα. Τότε λέμε ότι το υπόλοιπο είναι 0. Για παράδειγμα:
Εδώ όλα τα 36 αντικείμενα μοιράστηκαν εξίσου σε 6 ομάδες, χωρίς να μείνει τίποτα απ' έξω.
Η διαίρεση στην πράξη: πόσα φύλλα χρειάζομαι;
Η διαίρεση με υπόλοιπο μας βοηθάει και σε ένα ιδιαίτερο πρόβλημα: όταν χρειαζόμαστε έναν παραπάνω χώρο για ό,τι περισσεύει. Φαντάσου ότι έχεις 53 αυτοκόλλητα και θέλεις να τα βάλεις σε ένα άλμπουμ, με 10 αυτοκόλλητα σε κάθε φύλλο.
Θα γεμίσεις 5 φύλλα εντελώς, αλλά θα σου περισσέψουν 3 αυτοκόλλητα. Αφού αυτά τα 3 χρειάζονται κι αυτά ένα φύλλο, θα χρειαστείς 6 φύλλα συνολικά — ένα παραπάνω από το πηλίκο, ειδικά για το υπόλοιπο.
Δεν χρειάζεται πάντα να προσθέσουμε ένα «παραπάνω» φύλλο ή κομμάτι. Αν το πρόβλημα ρωτάει «πόσα φύλλα χρειάζομαι για να χωρέσουν ΟΛΑ τα αυτοκόλλητα», τότε ναι, προσθέτουμε ένα ακόμη φύλλο για το υπόλοιπο. Αν όμως ρωτάει «πόσα γεμάτα φύλλα έχω», τότε η απάντηση είναι απλώς το πηλίκο. Διάβασε πάντα προσεκτικά τι ζητάει η ερώτηση.
Συνήθη λάθη που πρέπει να αποφεύγουμε
- Υπόλοιπο μεγαλύτερο ή ίσο με τον διαιρέτη. Αυτό σημαίνει ότι το πηλίκο είναι πολύ μικρό — πρέπει να αυξηθεί κατά 1.
- Ξέχασμα του υπολοίπου στο άλμπουμ ή σε παρόμοια προβλήματα. Όταν κάτι περισσεύει, συχνά χρειάζεται ένας ακόμα χώρος γι' αυτό.
- Μπέρδεμα διαιρετέου και διαιρέτη. Ο πρώτος αριθμός (πριν τα δύο τελείες) είναι πάντα αυτός που μοιράζουμε, όχι ο αριθμός των ομάδων.
Ανακεφαλαίωση
Η διαίρεση μοιράζει έναν αριθμό (διαιρετέο) σε ίσα μέρη, όσα δείχνει ο διαιρέτης, δίνοντας πηλίκο και, συχνά, υπόλοιπο. Ο κανόνας που ισχύει πάντα είναι: το υπόλοιπο πρέπει να είναι μικρότερο από τον διαιρέτη. Μπορούμε να ελέγξουμε κάθε διαίρεση με τον τύπο διαιρετέος = (πηλίκο × διαιρέτης) + υπόλοιπο, αφού η διαίρεση και ο πολλαπλασιασμός είναι αντίστροφες πράξεις.