Ανακεφαλαίωση: Το Ταξίδι στους Δεκαδικούς Αριθμούς 🔄

Κάναμε ένα μεγάλο ταξίδι στον κόσμο των δεκαδικών αριθμών. Ξεκινήσαμε από το κόλπο με τα μηδενικά, περάσαμε από τα δεκαδικά κλάσματα, φτάσαμε στους δεκαδικούς αριθμούς και μάθαμε να κάνουμε πράξεις μαζί τους. Σε αυτό το μάθημα θα δέσουμε όλες αυτές τις γνώσεις μαζί, ώστε να τις βλέπουμε ως ένα ενιαίο σύνολο.

Το κόλπο με τα μηδενικά

Όλο το ταξίδι ξεκίνησε από έναν απλό κανόνα: όταν πολλαπλασιάζουμε με το 10, το 100 ή το 1.000, προσθέτουμε στο τέλος τόσα μηδενικά όσα έχει ο πολλαπλασιαστής. Όταν διαιρούμε, αφαιρούμε τόσα μηδενικά.

Αυτός ο κανόνας δεν είναι απλώς ένα κόλπο — είναι το θεμέλιο πάνω στο οποίο χτίστηκε όλη η υπόλοιπη ενότητα, γιατί οι δεκαδικοί αριθμοί είναι στην ουσία διαιρέσεις με το 10, το 100 ή το 1.000.

Δεκαδικά κλάσματα: δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά

Ένα δεκαδικό κλάσμα είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή 10, 100 ή 1.000. Τα ονομάζουμε δέκατα, εκατοστά και χιλιοστά αντίστοιχα, και συνδέονται μεταξύ τους:

Ένα δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αναλυθεί σε μικρότερα κομμάτια, όπως $\frac{54}{100} = \frac{5}{10} + \frac{4}{100}$, δηλαδή 5 δέκατα και 4 εκατοστά.

Από κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό και αντίστροφα

Ο δεκαδικός αριθμός είναι ένας άλλος τρόπος γραφής του ίδιου δεκαδικού κλάσματος, με υποδιαστολή αντί για γραμμή κλάσματος. Η μετατροπή γίνεται με διαίρεση, ή —πιο γρήγορα— μετακινώντας την υποδιαστολή:

Και αντίστροφα: μετρώντας πόσα ψηφία έχει ένας δεκαδικός αριθμός μετά την υποδιαστολή, ξέρουμε αμέσως τον παρονομαστή του κλάσματος. Το $0{,}6$ γίνεται $\frac{6}{10}$, το $3{,}45$ γίνεται $\frac{345}{100}$.

Οι θέσεις μετά την υποδιαστολή

Κάθε ψηφίο μετά την υποδιαστολή έχει συγκεκριμένη αξία, ακριβώς όπως κάθε ψηφίο πριν από αυτήν έχει τη δική του θέση (μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες).

Στον αριθμό $345{,}006$: οι εκατοντάδες, δεκάδες και μονάδες είναι 3, 4, 5, ενώ τα δέκατα, εκατοστά και χιλιοστά είναι 0, 0, 6.

Δεκαδικοί αριθμοί με χρήματα

Το πιο φυσικό μέρος όπου συναντάμε δεκαδικούς αριθμούς είναι οι τιμές στα μαγαζιά, γιατί 1 ευρώ = 100 λεπτά. Ένα ποσό όπως $2{,}30$ ευρώ σημαίνει 2 ολόκληρα ευρώ και 30 λεπτά.

Σύγκριση και ταξινόμηση δεκαδικών αριθμών

Για να συγκρίνουμε δύο δεκαδικούς αριθμούς, ακολουθούμε πάντα την ίδια σειρά:

Βήμα 1. Συγκρίνουμε πρώτα το ακέραιο μέρος (πριν την υποδιαστολή). Ο αριθμός με το μεγαλύτερο ακέραιο μέρος είναι ο μεγαλύτερος.

Βήμα 2. Αν τα ακέραια μέρη είναι ίσα, συγκρίνουμε τα δέκατα (το πρώτο ψηφίο μετά την υποδιαστολή).

Βήμα 3. Αν και τα δέκατα είναι ίσα, συγκρίνουμε τα εκατοστά (το δεύτερο ψηφίο).

Για παράδειγμα, ο $3{,}40$ είναι μεγαλύτερος από τον $3{,}04$, γιατί έχουν το ίδιο ακέραιο μέρος (3), αλλά ο πρώτος έχει 4 δέκατα ενώ ο δεύτερος έχει 0 δέκατα.

Πρόσθεση και αφαίρεση δεκαδικών

Οι πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς γίνονται όπως με τους ακέραιους, με έναν επιπλέον κανόνα: ευθυγραμμίζουμε πάντα τις υποδιαστολές πριν ξεκινήσουμε.

Προσθέτουμε ή αφαιρούμε από δεξιά προς αριστερά, με κρατούμενο ή δανεισμό όπου χρειάζεται, όπως ακριβώς στους ακέραιους αριθμούς.

Ένα ολοκληρωμένο παράδειγμα

Ας δούμε πώς όλες αυτές οι γνώσεις δουλεύουν μαζί σε ένα μήκος. Ένα ζώο έχει ύψος 110 εκατοστά. Μπορούμε να το εκφράσουμε με πολλούς τρόπους:

Όλα αυτά είναι το ίδιο μήκος, γραμμένο με δεκαδικό κλάσμα, με δεκαδικό αριθμό ή με λόγια — γιατί ξέρουμε πλέον πώς να περνάμε από τη μία μορφή στην άλλη.

Ανακεφαλαίωση

Σε αυτή την ενότητα μάθαμε ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση με το 10, το 100 και το 1.000 είναι το κλειδί για να κατανοήσουμε τους δεκαδικούς αριθμούς. Τα δεκαδικά κλάσματα (δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά) μετατρέπονται σε δεκαδικούς αριθμούς με υποδιαστολή, και το αντίστροφο. Κάθε θέση μετά την υποδιαστολή έχει δική της αξία. Οι δεκαδικοί αριθμοί εμφανίζονται φυσικά στα χρήματα, συγκρίνονται ψηφίο-ψηφίο ξεκινώντας από το ακέραιο μέρος, και προστίθενται ή αφαιρούνται με ευθυγραμμισμένες υποδιαστολές.