Ο Αλγόριθμος του Γραπτού Πολλαπλασιασμού ✖️

Γνωρίζουμε ήδη πώς να πολλαπλασιάζουμε δύο διψήφιους αριθμούς χρησιμοποιώντας έναν πίνακα ανάλυσης. Τώρα θα μάθουμε έναν πιο γρήγορο τρόπο: τον αλγόριθμο του γραπτού πολλαπλασιασμού, όπου γράφουμε τους αριθμούς κάθετα, όπως κάναμε και στην πρόσθεση και στην αφαίρεση.

Από τον πίνακα στον κάθετο πολλαπλασιασμό

Ο πίνακας ανάλυσης και ο κάθετος πολλαπλασιασμός κάνουν την ίδια δουλειά — απλώς τη γράφουμε διαφορετικά. Ας δούμε το $47 \times 25$ και με τους δύο τρόπους.

Με πίνακα:

	40	7
20	$20 \times 40 = 800$	$20 \times 7 = 140$
5	$5 \times 40 = 200$	$5 \times 7 = 35$

800 + 140 + 200 + 35 = 1.175

Παρατήρησε ότι μπορούμε να ομαδοποιήσουμε τα γινόμενα ανά γραμμή:

Γραμμή του 5: $5 \times 47 = 235$
Γραμμή του 20: $20 \times 47 = 940$
Άθροισμα: $235 + 940 = 1.175$

Αυτά τα δύο αθροίσματα (235 και 940) λέγονται μερικά γινόμενα, και είναι ακριβώς αυτά που υπολογίζουμε στον κάθετο πολλαπλασιασμό.

Δύο τρόποι, ίδιο αποτέλεσμα

Μπορούμε να αναλύσουμε μόνο τον έναν παράγοντα (π.χ. το 25 σε 20 + 5) και να πολλαπλασιάσουμε κάθε κομμάτι με ολόκληρο τον άλλο αριθμό (47). Αυτό δίνει τα δύο μερικά γινόμενα: $5 \times 47 = 235$ και $20 \times 47 = 940$ , που προστιθέμενα δίνουν πάλι $1.175$ .

Ο αλγόριθμος βήμα-βήμα

Ας πολλαπλασιάσουμε $53 \times 26$ γράφοντάς τους κάθετα.

\begin{array}{r} 53 \\ \times\ 26 \\ \hline \end{array}

Βήμα 1 — Πολλαπλασιάζουμε με το ψηφίο των μονάδων (6):

$6 \times 3 = 18$ → γράφω 8, κρατώ 1
$6 \times 5 = 30$ , $+1$ κρατούμενο $= 31$ → γράφω 31

Πρώτο μερικό γινόμενο: 318

Βήμα 2 — Πολλαπλασιάζουμε με το ψηφίο των δεκάδων (2):

Γράφουμε πρώτα 0 στη θέση των μονάδων, γιατί πολλαπλασιάζουμε με δεκάδες.
$2 \times 3 = 6$ → γράφω 6
$2 \times 5 = 10$ → γράφω 10

Δεύτερο μερικό γινόμενο: 1.360

Βήμα 3 — Προσθέτουμε τα δύο μερικά γινόμενα:

318 + 1.360 = 1.678

Αποτέλεσμα: $53 \times 26 = 1.678$

Το μηδενικό στο δεύτερο μερικό γινόμενο είναι υποχρεωτικό

Όταν πολλαπλασιάζουμε με το ψηφίο των δεκάδων, στην πραγματικότητα πολλαπλασιάζουμε με έναν αριθμό όπως 20 ή 30, όχι με 2 ή 3. Γι' αυτό πρέπει πάντα να βάζουμε 0 στη θέση των μονάδων του δεύτερου μερικού γινομένου — αλλιώς το αποτέλεσμα θα βγει δέκα φορές μικρότερο από το σωστό.

Ένα ακόμη παράδειγμα, με κρατούμενα και στις δύο σειρές

Ας υπολογίσουμε $68 \times 34$ .

Βήμα 1 — Πολλαπλασιάζουμε με το 4 (μονάδες):

$4 \times 8 = 32$ → γράφω 2, κρατώ 3
$4 \times 6 = 24$ , $+3 = 27$ → γράφω 27

Πρώτο μερικό γινόμενο: 272

Βήμα 2 — Πολλαπλασιάζουμε με το 3 (δεκάδες):

Γράφουμε 0 στις μονάδες.
$3 \times 8 = 24$ → γράφω 4, κρατώ 2
$3 \times 6 = 18$ , $+2 = 20$ → γράφω 20

Δεύτερο μερικό γινόμενο: 2.040

Βήμα 3 — Προσθέτουμε:

272 + 2.040 = 2.312

Αποτέλεσμα: $68 \times 34 = 2.312$

Πίνακας σύνοψης παραδειγμάτων

Πράξη	1ο μερικό γινόμενο	2ο μερικό γινόμενο	Αποτέλεσμα
$47 \times 25$	$5 \times 47 = 235$	$20 \times 47 = 940$	1.175
$53 \times 26$	$6 \times 53 = 318$	$20 \times 53 = 1.060$	1.378
$68 \times 34$	$4 \times 68 = 272$	$30 \times 68 = 2.040$	2.312

Πώς ελέγχω αν το αποτέλεσμα βγαίνει λογικό

Πριν κάνουμε ακριβή πολλαπλασιασμό, μπορούμε να στρογγυλοποιήσουμε τους αριθμούς για να πάρουμε μια εκτίμηση. Στο $53 \times 26$ , σκεφτόμαστε $50 \times 30 = 1.500$ — άρα περιμένουμε αποτέλεσμα κοντά στο 1.500. Το $1.378$ που βρήκαμε είναι λογικό.

Συνήθη λάθη που πρέπει να προσέχουμε

Ξεχασμένο μηδενικό. Το πιο συχνό λάθος: παράλειψη του 0 στη θέση των μονάδων του δεύτερου μερικού γινομένου.
Λάθος κρατούμενο. Στα μερικά γινόμενα, όπως και στην πρόσθεση, πρέπει να θυμόμαστε το κρατούμενο και να το προσθέτουμε στο επόμενο γινόμενο.
Λάθος ευθυγράμμιση στην τελική πρόσθεση. Το δεύτερο μερικό γινόμενο έχει ένα ψηφίο παραπάνω (λόγω του 0) — πρέπει να ευθυγραμμιστεί σωστά με το πρώτο πριν προστεθούν.

Σειρά βημάτων: πρώτα μονάδες, μετά δεκάδες

Στον κάθετο πολλαπλασιασμό πολλαπλασιάζουμε πάντα πρώτα με το ψηφίο των μονάδων του κάτω αριθμού, και μετά με το ψηφίο των δεκάδων. Αν αλλάξουμε τη σειρά, μπερδευόμαστε με το πού μπαίνει το μηδενικό.

Ανακεφαλαίωση

Ο αλγόριθμος του γραπτού πολλαπλασιασμού κάνει την ίδια δουλειά με τον πίνακα ανάλυσης, αλλά πιο γρήγορα. Πολλαπλασιάζουμε πρώτα ολόκληρο τον πάνω αριθμό με το ψηφίο των μονάδων του κάτω αριθμού, παίρνοντας το πρώτο μερικό γινόμενο. Μετά πολλαπλασιάζουμε με το ψηφίο των δεκάδων, γράφοντας πρώτα ένα 0 στις μονάδες, και παίρνουμε το δεύτερο μερικό γινόμενο. Τέλος, προσθέτουμε τα δύο μερικά γινόμενα για να βρούμε το τελικό αποτέλεσμα.