Η Προπαίδεια του 4, του 5, του 6, του 7, του 8 και του 9 ✖️

Ο πολλαπλασιασμός είναι σαν μια γρήγορη πρόσθεση: αντί να προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό ξανά και ξανά, τον πολλαπλασιάζουμε. Η προπαίδεια είναι το «λεξικό» των πολλαπλασιασμών — όταν τη θυμάσαι, βρίσκεις αμέσως το αποτέλεσμα χωρίς να μετράς. Σε αυτό το μάθημα θα θυμηθούμε γιατί ο πολλαπλασιασμός είναι γρήγορη πρόσθεση και θα μάθουμε κόλπα για τις προπαίδειες του 4 έως του 9.

Ο πολλαπλασιασμός ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση

Κάθε πολλαπλασιασμός κρύβει μέσα του μια πρόσθεση με ίδιους αριθμούς. Αν έχουμε 4 σαλιγκάρια και κάθε σαλιγκάρι έχει 4 πόδια-κεραίες, τότε ο συνολικός αριθμός γράφεται ως πρόσθεση ή ως πολλαπλασιασμός:

4 + 4 + 4 = 12 \quad \text{ή} \quad 3 \times 4 = 12

Ο πρώτος αριθμός (3) δείχνει πόσες ομάδες έχουμε, ο δεύτερος (4) δείχνει πόσα είναι σε κάθε ομάδα. Το αποτέλεσμα λέγεται γινόμενο.

Η αντιμεταθετική ιδιότητα

Στον πολλαπλασιασμό η σειρά των αριθμών δεν αλλάζει το αποτέλεσμα: $3 \times 4 = 4 \times 3 = 12$ . Αυτό σημαίνει ότι όποτε μαθαίνεις ένα γινόμενο, μαθαίνεις αυτόματα και το αντίστροφό του!

Η προπαίδεια του 4

Πράξη	Γινόμενο
1 × 4	4
2 × 4	8
3 × 4	12
4 × 4	16
5 × 4	20
6 × 4	24
7 × 4	28
8 × 4	32
9 × 4	36
10 × 4	40

Για να πολλαπλασιάσεις γρήγορα με το 4, μπορείς να διπλασιάσεις δύο φορές: $6 \times 4$ γίνεται πρώτα $6 \times 2 = 12$ και μετά $12 \times 2 = 24$ .

Η προπαίδεια του 5

Πράξη	Γινόμενο
1 × 5	5
2 × 5	10
3 × 5	15
4 × 5	20
5 × 5	25
6 × 5	30
7 × 5	35
8 × 5	40
9 × 5	45
10 × 5	50

Ένα μοτίβο που βοηθάει

Όλα τα γινόμενα του 5 τελειώνουν πάντα σε 0 ή σε 5. Αν πολλαπλασιάζεις το 5 με ζυγό αριθμό, το αποτέλεσμα τελειώνει σε 0 ( $8 \times 5 = 40$ ). Αν πολλαπλασιάζεις με μονό αριθμό, τελειώνει σε 5 ( $9 \times 5 = 45$ ).

Η προπαίδεια του 6 και του 7

Πράξη	Γινόμενο του 6	Γινόμενο του 7
×1	6	7
×2	12	14
×3	18	21
×4	24	28
×5	30	35
×6	36	42
×7	42	49
×8	48	56
×9	54	63
×10	60	70

Πρόσεξε την προπαίδεια του 7

Η προπαίδεια του 7 δυσκολεύει συχνά, γιατί δεν έχει τόσο εύκολο κόλπο όσο άλλες. Ο καλύτερος τρόπος είναι να στηριχθείς στην αντιμεταθετική ιδιότητα: αν θυμάσαι $4 \times 7 = 28$ , τότε ξέρεις αυτόματα και $7 \times 4 = 28$ . Εξασκήσου λίγο κάθε μέρα αντί να προσπαθήσεις να τη μάθεις όλη μαζί.

Η προπαίδεια του 8

Πράξη	Γινόμενο
1 × 8	8
2 × 8	16
3 × 8	24
4 × 8	32
5 × 8	40
6 × 8	48
7 × 8	56
8 × 8	64
9 × 8	72
10 × 8	80

Το κόλπο εδώ μοιάζει με του 4, αλλά με έναν διπλασιασμό παραπάνω: διπλασίασε τρεις φορές. Για $5 \times 8$ : $5 \times 2 = 10$ , $10 \times 2 = 20$ , $20 \times 2 = 40$ .

Η προπαίδεια του 9

Πράξη	Γινόμενο
1 × 9	9
2 × 9	18
3 × 9	27
4 × 9	36
5 × 9	45
6 × 9	54
7 × 9	63
8 × 9	72
9 × 9	81
10 × 9	90

Ένα μυστικό των ψηφίων

Αν προσθέσεις τα δύο ψηφία κάθε γινομένου του 9, θα βρεις πάντα το 9. Για παράδειγμα $9 \times 6 = 54$ , και $5 + 4 = 9$ . Το ίδιο ισχύει και για $9 \times 8 = 72$ , αφού $7 + 2 = 9$ . Είναι ένας γρήγορος τρόπος να ελέγχεις αν το γινόμενο του 9 που βρήκες είναι σωστό.

Πώς να θυμάσαι την προπαίδεια χωρίς να μπερδεύεσαι

Οι μαθητές μπερδεύονται συχνά σε δύο σημεία:

Ξεχνούν την αντιμεταθετική. Αν δεν θυμάσαι το $8 \times 6$ , σκέψου το $6 \times 8$ — είναι το ίδιο αποτέλεσμα.
Μπερδεύουν κοντινά γινόμενα. Το $7 \times 8 = 56$ και το $7 \times 9 = 63$ μοιάζουν εύκολο να μπερδευτούν. Βοηθάει να θυμάσαι ότι κάθε φορά που αυξάνεις τον έναν παράγοντα κατά 1, το γινόμενο αυξάνεται κατά όσο είναι ο άλλος παράγοντας. Το $7 \times 9$ είναι το $7 \times 8$ συν 7 ακόμα, δηλαδή $56 + 7 = 63$ .

Το γινόμενο δεν είναι πάντα μεγαλύτερος αριθμός

Μην ξεχνάς ότι όταν πολλαπλασιάζεις με το 1, το αποτέλεσμα μένει ίδιο: $9 \times 1 = 9$ . Το 1 δεν αλλάζει τον αριθμό, απλώς δείχνει ότι έχουμε μία μόνο ομάδα.

Ανακεφαλαίωση

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια γρήγορη πρόσθεση ίσων ομάδων, και η αντιμεταθετική ιδιότητα μάς βοηθάει να μαθαίνουμε λιγότερα γινόμενα από όσα φαίνονται. Οι προπαίδειες του 4 και του 8 λύνονται με διαδοχικούς διπλασιασμούς, του 5 έχουν σταθερό μοτίβο στο τελευταίο ψηφίο, και του 9 κρύβουν το κόλπο των ψηφίων που αθροίζουν πάντα στο 9. Η προπαίδεια του 7 χρειάζεται περισσότερη εξάσκηση, αλλά στηρίζεται στις υπόλοιπες που ήδη ξέρουμε.