Πολλαπλασιασμός και Προπαίδεια (Ι) ✖️

Όταν έχουμε πολλές ίδιες ομάδες αντικειμένων, δεν χρειάζεται να τις προσθέτουμε μία-μία — υπάρχει ένας πιο γρήγορος τρόπος: ο πολλαπλασιασμός. Σε αυτό το κεφάλαιο θα μάθουμε τι είναι ο πολλαπλασιασμός και θα γνωρίσουμε την προπαίδεια του 2, του 3 και του 10.

Ο πολλαπλασιασμός είναι γρήγορη πρόσθεση

Φαντάσου ότι σε μια λίμνη υπάρχουν 5 πάπιες και κάθε πάπια έχει 2 φτερά. Για να βρούμε πόσα φτερά υπάρχουν συνολικά, θα μπορούσαμε να προσθέσουμε:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

Όμως υπάρχει πιο γρήγορος τρόπος, όταν προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό πολλές φορές: ο πολλαπλασιασμός.

5 \times 2 = 10

Το $5 \times 2$ σημαίνει «5 ομάδες των 2» — ακριβώς όπως οι 5 πάπιες με τα 2 φτερά η καθεμία.

Γιατί ο πολλαπλασιασμός είναι χρήσιμος

Φαντάσου ότι έπρεπε να προσθέσουμε το 2, εκατό φορές! Με τον πολλαπλασιασμό γράφουμε απλά $100 \times 2$ και το υπολογίζουμε αμέσως. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των ομάδων, τόσο πιο πολύτιμος γίνεται ο πολλαπλασιασμός.

Οι όροι του πολλαπλασιασμού

Σε μια πράξη πολλαπλασιασμού, κάθε αριθμός έχει το δικό του όνομα. Στο $5 \times 2 = 10$ : το 5 λέγεται πολλαπλασιαστής και δείχνει πόσες ομάδες έχουμε, το 2 λέγεται πολλαπλασιαστέος και δείχνει πόσα έχει η κάθε ομάδα, ενώ το 10 λέγεται γινόμενο και είναι το αποτέλεσμα της πράξης.

Η αντιμεταθετική ιδιότητα

Ένα από τα πιο χρήσιμα «κόλπα» στον πολλαπλασιασμό είναι ότι η σειρά των δύο αριθμών δεν αλλάζει το αποτέλεσμα:

5 \times 2 = 2 \times 5 = 10

Αυτό σημαίνει ότι «5 ομάδες των 2» δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα με «2 ομάδες των 5». Αυτή την ιδιότητα τη λέμε αντιμεταθετική ιδιότητα.

Ένα κόλπο που εξοικονομεί μελέτη

Χάρη στην αντιμεταθετική ιδιότητα, αν θυμάσαι το $2 \times 5$ , αυτόματα ξέρεις και το $5 \times 2$ — δεν χρειάζεται να μάθεις και τα δύο ξεχωριστά!

Η προπαίδεια του 2

Η προπαίδεια του 2 είναι η πιο εύκολη, γιατί είναι απλώς διπλασιασμός — προσθέτουμε τον αριθμό στον εαυτό του.

Πράξη	Γινόμενο	Πράξη	Γινόμενο
1 × 2	2	6 × 2	12
2 × 2	4	7 × 2	14
3 × 2	6	8 × 2	16
4 × 2	8	9 × 2	18
5 × 2	10	10 × 2	20

Κόλπο για το ×2

Όλα τα γινόμενα του 2 είναι ζυγοί αριθμοί — τελειώνουν πάντα σε 0, 2, 4, 6 ή 8. Αν δεις έναν αριθμό που τελειώνει σε αυτά τα ψηφία, ξέρεις ότι είναι πολλαπλάσιο του 2!

Η προπαίδεια του 3

Στην προπαίδεια του 3, κάθε επόμενο γινόμενο είναι 3 περισσότερο από το προηγούμενο.

Πράξη	Γινόμενο	Πράξη	Γινόμενο
1 × 3	3	6 × 3	18
2 × 3	6	7 × 3	21
3 × 3	9	8 × 3	24
4 × 3	12	9 × 3	27
5 × 3	15	10 × 3	30

Αν δεν θυμόμαστε το $4 \times 3$ , το βρίσκουμε από το προηγούμενο γινόμενο: $3 \times 3 = 9$ , και προσθέτουμε ακόμα ένα 3, οπότε $4 \times 3 = 9 + 3 = 12$ . Αυτό το κόλπο λειτουργεί πάντα: κάθε γινόμενο της προπαίδειας προκύπτει από το προηγούμενο, προσθέτοντας τον πολλαπλασιαστέο.

Η προπαίδεια του 10

Η προπαίδεια του 10 είναι η πιο εύκολη απ' όλες!

Πράξη	Γινόμενο	Πράξη	Γινόμενο
1 × 10	10	6 × 10	60
2 × 10	20	7 × 10	70
3 × 10	30	8 × 10	80
4 × 10	40	9 × 10	90
5 × 10	50	10 × 10	100

Το πιο εύκολο κόλπο

Για να πολλαπλασιάσεις οποιονδήποτε αριθμό με το 10, γράφεις απλά τον αριθμό και προσθέτεις ένα 0 στο τέλος του! Έτσι $7 \times 10 = 70$ και $25 \times 10 = 250$ .

Ειδικές περιπτώσεις: πολλαπλασιασμός με 1 και με 0

Πολλαπλασιασμός με το 1 και με το 0

Όταν πολλαπλασιάζουμε οποιονδήποτε αριθμό με το 1, το αποτέλεσμα είναι πάντα ο ίδιος αριθμός, γιατί «μία φορά» έναν αριθμό σημαίνει τον ίδιο τον αριθμό: $7 \times 1 = 7$ .

Όταν πολλαπλασιάζουμε οποιονδήποτε αριθμό με το 0, το αποτέλεσμα είναι πάντα 0, γιατί «καμία φορά» έναν αριθμό σημαίνει τίποτα: $7 \times 0 = 0$ .

Συνήθη λάθη που πρέπει να αποφεύγουμε

Να ξεχνάμε τον κανόνα του 0. Πολλοί μαθητές νομίζουν λανθασμένα ότι $αριθμός \times 0$ δίνει τον ίδιο αριθμό — στην πραγματικότητα δίνει πάντα 0.
Να μπερδεύουν το ×1 με το ×0. Το ×1 διατηρεί τον αριθμό ίδιο, ενώ το ×0 τον μηδενίζει — είναι εντελώς διαφορετικά.

Ανακεφαλαίωση

Ο πολλαπλασιασμός είναι ένας γρήγορος τρόπος να προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό πολλές φορές. Στην πράξη $πολλαπλασιαστής \times πολλαπλασιαστέος = γινόμενο$ , η σειρά των δύο πρώτων αριθμών δεν αλλάζει το αποτέλεσμα, χάρη στην αντιμεταθετική ιδιότητα. Στην προπαίδεια του 2 τα γινόμενα είναι πάντα ζυγά, στην προπαίδεια του 10 προσθέτουμε απλώς ένα 0 στο τέλος του αριθμού. Κάθε αριθμός επί 1 παραμένει ο ίδιος, ενώ κάθε αριθμός επί 0 γίνεται πάντα 0.