Επανάληψη Στατιστικής 📊

Η Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ερμηνεία δεδομένων. Σε αυτή την ενότητα ξαναθυμίζουμε τις βασικές έννοιες που είδαμε σε προηγούμενες τάξεις, οι οποίες θα μας χρησιμεύσουν για τη σύγκριση πληθυσμών και τη μελέτη συσχέτισης. 🔎

Βασική ορολογία

Πληθυσμός: το σύνολο όλων των μονάδων που μας ενδιαφέρουν.
Δείγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού που μελετούμε.
Μεταβλητή: το χαρακτηριστικό που καταγράφουμε (π.χ. ύψος, βαθμός, χρόνος).
Παρατήρηση: η συγκεκριμένη τιμή της μεταβλητής για μια μονάδα.

Συχνότητα και πίνακες συχνοτήτων 🔢

Συχνότητα μιας παρατήρησης ονομάζεται ο φυσικός αριθμός που εκφράζει πόσες φορές εμφανίζεται η παρατήρηση αυτή σε ένα δείγμα. Συμβολίζεται συνήθως με $f_i$ (ή $\nu_i$ ).

Αν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι $x_1, x_2, \ldots, x_k$ με συχνότητες $f_1, f_2, \ldots, f_k$ αντίστοιχα, τότε το πλήθος των παρατηρήσεων είναι:

\nu = f_1 + f_2 + \cdots + f_k = \sum_{i=1}^{k} f_i

Γιατί φτιάχνουμε πίνακα συχνοτήτων;

Όταν το δείγμα είναι μεγάλο, ο πίνακας συχνοτήτων συνοψίζει τα δεδομένα και μας επιτρέπει να υπολογίσουμε γρήγορα μέση τιμή, διάμεσο, επικρατούσα τιμή και διασπορά.

Μέτρα θέσης 🎯

Τα μέτρα θέσης δίνουν μια «αντιπροσωπευτική» ή «κεντρική» τιμή του δείγματος.

Μέση τιμή $\bar{x}$

Μέση τιμή: αν $x_1, x_2, \ldots, x_\nu$ είναι οι παρατηρήσεις, τότε

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_\nu}{\nu} = \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu} x_i

Όταν έχουμε πίνακα συχνοτήτων με τιμές $x_1, \ldots, x_k$ και συχνότητες $f_1, \ldots, f_k$ :

\bar{x} = \frac{f_1 x_1 + f_2 x_2 + \cdots + f_k x_k}{\nu} = \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{k} f_i x_i

Ιδιότητες της μέσης τιμής

Αν σε κάθε παρατήρηση προσθέσουμε σταθερά $c$ , η νέα μέση τιμή είναι $\bar{x} + c$ .
Αν πολλαπλασιάσουμε κάθε παρατήρηση με $c$ , η νέα μέση τιμή είναι $c\bar{x}$ .
Το άθροισμα των αποκλίσεων από τη μέση τιμή είναι μηδέν: $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$ .

Απόδειξη ότι $\sum (x_i - \bar{x}) = 0$ :

\sum_{i=1}^{\nu}(x_i - \bar{x}) = \sum x_i - \nu\bar{x} = \nu\bar{x} - \nu\bar{x} = 0

επειδή $\sum x_i = \nu \bar{x}$ από τον ορισμό. ✅

Διάμεσος $x_\delta$

Διάμεσος: αφού διατάξουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά $x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(\nu)}$ :

x_\delta = \begin{cases} x_{\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}, & \text{αν } \nu \text{ περιττός} \\ \dfrac{x_{\left(\frac{\nu}{2}\right)} + x_{\left(\frac{\nu}{2}+1\right)}}{2}, & \text{αν } \nu \text{ άρτιος} \end{cases}

Προσοχή στη διάταξη!

Πριν βρεις τη διάμεσο, πάντα διάταξε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά. Λάθος σε αυτό το βήμα είναι ο πιο συνηθισμένος πυροσβέστης μηδενικού 😅.

Παράδειγμα: στις παρατηρήσεις $0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,3,3,4,4,4,5,5,5,6,6,7,7,9$ (28 παρατηρήσεις) η διάμεσος είναι:

x_\delta = \frac{x_{(14)} + x_{(15)}}{2} = \frac{2+2}{2} = 2

Επικρατούσα τιμή $x_\varepsilon$

Επικρατούσα τιμή: είναι η παρατήρηση που εμφανίζεται με τη μεγαλύτερη συχνότητα. Σε ένα δείγμα μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μια επικρατούσες τιμές (διτροπική κατανομή).

Μέτρα διασποράς 📏

Τα μέτρα διασποράς δείχνουν πόσο «απλωμένες» είναι οι παρατηρήσεις γύρω από ένα κέντρο (συνήθως τη μέση τιμή).

Εύρος $R$

Εύρος:

R = x_{\max} - x_{\min}

Μειονέκτημα του εύρους

Το εύρος επηρεάζεται πάρα πολύ από ακραίες τιμές. Μία μόνο παράξενη παρατήρηση μπορεί να το εκτινάξει, χωρίς να αντικατοπτρίζει την πραγματική διασπορά.

Διακύμανση (διασπορά) $s^2$

Διακύμανση:

s^2 = \frac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_\nu - \bar{x})^2}{\nu} = \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}(x_i - \bar{x})^2

Με πίνακα συχνοτήτων:

s^2 = \frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2

Γιατί υψώνουμε στο τετράγωνο;

Αν απλά αθροίζαμε τις αποκλίσεις $x_i - \bar{x}$ , θα παίρναμε πάντα μηδέν (είδαμε την απόδειξη παραπάνω). Το τετράγωνο:

Κάνει όλες τις αποκλίσεις θετικές.
«Τιμωρεί» περισσότερο τις μεγάλες αποκλίσεις.

Εναλλακτικός τύπος (πρακτικός για υπολογισμούς):

s^2 = \frac{1}{\nu}\sum x_i^2 - \bar{x}^2

Απόδειξη:

s^2 = \frac{1}{\nu}\sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{\nu}\sum (x_i^2 - 2x_i\bar{x} + \bar{x}^2)

= \frac{1}{\nu}\sum x_i^2 - 2\bar{x}\cdot\frac{1}{\nu}\sum x_i + \bar{x}^2 = \frac{1}{\nu}\sum x_i^2 - 2\bar{x}^2 + \bar{x}^2 = \frac{1}{\nu}\sum x_i^2 - \bar{x}^2

Τυπική απόκλιση $s$

Τυπική απόκλιση:

s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{\nu}\sum_{i=1}^{\nu}(x_i - \bar{x})^2}

Γιατί χρειαζόμαστε την τυπική απόκλιση;

Η διακύμανση $s^2$ μετράται σε τετραγωνικές μονάδες (π.χ. αν τα $x_i$ είναι σε cm, το $s^2$ σε $cm^2$ ). Η τυπική απόκλιση $s$ επιστρέφει στις αρχικές μονάδες, οπότε ερμηνεύεται ευκολότερα.

Πρακτικό παράδειγμα 💡

Έστω τα δεδομένα: $140, 150, 160, 130, 150, 170, 150, 140, 160$ ( $\nu = 9$ ).

Μέση τιμή:

\bar{x} = \frac{140+150+160+130+150+170+150+140+160}{9} = \frac{1350}{9} = 150

Διακύμανση:

s^2 = \frac{(130-150)^2 + 2(140-150)^2 + 3(150-150)^2 + 2(160-150)^2 + (170-150)^2}{9}

= \frac{400 + 200 + 0 + 200 + 400}{9} = \frac{1200}{9} \approx 133{,}33

Τυπική απόκλιση:

s = \sqrt{133{,}33} \approx 11{,}547

Ερμηνεία

Τα δεδομένα «κυμαίνονται» κατά μέσο όρο περίπου $\pm 11{,}5$ μονάδες γύρω από το 150. Όσο μικρότερο το $s$ , τόσο πιο συγκεντρωμένες οι τιμές γύρω από το μέσο όρο.

Σύνοψη όλων των τύπων 📋

Έννοια	Σύμβολο	Τύπος
Μέση τιμή	$\bar{x}$	$\dfrac{1}{\nu}\sum x_i$
Διάμεσος	$x_\delta$	μεσαία διατεταγμένη τιμή
Επικρατούσα	$x_\varepsilon$	τιμή με μέγιστη συχνότητα
Εύρος	$R$	$x_{\max} - x_{\min}$
Διακύμανση	$s^2$	$\dfrac{1}{\nu}\sum (x_i - \bar{x})^2$
Τυπική απόκλιση	$s$	$\sqrt{s^2}$

Το κλειδί για τη συνέχεια

Στις επόμενες ενότητες θα χρησιμοποιήσουμε αυτά τα μέτρα για:

Σύγκριση δύο πληθυσμών (μέση τιμή + τυπική απόκλιση + συντελεστής μεταβλητότητας)
Συσχέτιση μεταβλητών (μέσες τιμές + τυπικές αποκλίσεις + γινόμενα $x_i y_i$ )

Σχήματα και επιπλέον παραδείγματα: σελ. 184 του PDF (Κεφ. 12). 📖

Επανάληψη Στατιστικής 📊

Συχνότητα και πίνακες συχνοτήτων 🔢

Μέτρα θέσης 🎯

Μέση τιμή xˉ\bar{x}xˉ

Διάμεσος xδx_\deltaxδ​

Επικρατούσα τιμή xεx_\varepsilonxε​