Στερεά από Περιστροφή 🔄

Στο κεφάλαιο αυτό θα γνωρίσουμε τέσσερα θεμελιώδη στερεά που προκύπτουν, όταν ένα επίπεδο σχήμα περιστραφεί πλήρη στροφή (360°) γύρω από μια ευθεία, τον άξονα περιστροφής.

Γενική αρχή περιστροφής

Σημείο που δεν ανήκει στον άξονα ➜ παράγει κύκλο.
Ευθύγραμμο τμήμα κάθετο στον άξονα ➜ παράγει κυκλικό δίσκο.
Ευθύγραμμο τμήμα παράλληλο στον άξονα ➜ παράγει κυρτή επιφάνεια κυλίνδρου.
Ευθύγραμμο τμήμα που τέμνει τον άξονα υπό οξεία γωνία ➜ παράγει κυρτή επιφάνεια κώνου.
Ευθύγραμμο τμήμα πλάγιο (δεν τέμνει τον άξονα, ούτε είναι παράλληλο/κάθετο) ➜ παράγει κυρτή επιφάνεια κόλουρου κώνου.

🥫 Κύλινδρος

Ορισμός

Ορθός κύλινδρος (ή κύλινδρος εκ περιστροφής) λέγεται το στερεό που παράγεται όταν ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο περιστραφεί πλήρη στροφή γύρω από μία πλευρά του.

Στοιχεία του κυλίνδρου 🔎

Άξονας περιστροφής: η πλευρά γύρω από την οποία περιστρέφεται το ορθογώνιο.
Γενέτειρα ( $\Beta\Gamma$ ): η απέναντι πλευρά, παράλληλη με τον άξονα.
Κυρτή επιφάνεια: η "πλαϊνή" επιφάνεια που παράγει η γενέτειρα.
Βάσεις: οι δύο κυκλικοί δίσκοι (πάνω και κάτω).
Ακτίνα $R$ : η ακτίνα των βάσεων.
Ύψος $\upsilon$ : η απόσταση μεταξύ των δύο βάσεων.

Τύποι εμβαδού και όγκου

Θεώρημα — Εμβαδόν και όγκος κυλίνδρου

Για κύλινδρο με ακτίνα $R$ και ύψος $\upsilon$ :

E_\kappa = 2\pi R\upsilon

E_{\text{ολ}} = E_\kappa + 2E_\beta = 2\pi R\upsilon + 2\pi R^2

V = \pi R^2 \upsilon

Απόδειξη για $E_\kappa$ 🧩

Αν «ξετυλίξουμε» την κυρτή επιφάνεια του κυλίνδρου, παίρνουμε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με:

μία πλευρά ίση με το ύψος $\upsilon$ ,
την άλλη πλευρά ίση με το μήκος της βάσης $2\pi R$ .

Άρα:

E_\kappa = \text{μήκος} \cdot \text{πλάτος} = 2\pi R \cdot \upsilon

Απόδειξη για $V$ 🧩

Θεωρούμε κανονικό πρίσμα εγγεγραμμένο στον κύλινδρο, με βάση κανονικό $\nu$ -γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας $R$ και ύψος $\upsilon$ . Καθώς το $\nu \to \infty$ , το πρίσμα «γεμίζει» τον κύλινδρο.

Το εμβαδόν της βάσης του $\nu$ -γωνου είναι $E_\beta = \dfrac{\nu}{2}R^2 \:\mathrm{ημ}\!\left(\dfrac{2\pi}{\nu}\right)$ , άρα:

V = \lim_{\nu\to\infty}\left(\frac{\nu}{2}R^2\:\mathrm{ημ}\!\left(\frac{2\pi}{\nu}\right)\cdot \upsilon\right) = \pi R^2 \upsilon \cdot \lim_{\nu\to\infty}\frac{\mathrm{ημ}\!\left(\frac{2\pi}{\nu}\right)}{\frac{2\pi}{\nu}} = \pi R^2 \upsilon

καθώς $\dfrac{2\pi}{\nu}\to 0$ και $\lim_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{ημ}\,x}{x} = 1$ . ✓

Διαισθητικά

Ο όγκος του κυλίνδρου είναι «εμβαδόν βάσης $\times$ ύψος», όπως ακριβώς και στα πρίσματα. Αυτό ισχύει γιατί ο κύλινδρος είναι η «οριακή» μορφή ενός κανονικού πρίσματος με άπειρες πλευρές.

Σχήμα: σελ. 150 του PDF.

🍦 Κώνος

Ορισμός

Ορθός κώνος (ή απλά κώνος) λέγεται το στερεό που παράγεται όταν ένα ορθογώνιο τρίγωνο περιστραφεί πλήρη στροφή γύρω από μία κάθετη πλευρά του.

Στοιχεία του κώνου 🔎

Άξονας περιστροφής: η κάθετη πλευρά γύρω από την οποία περιστρέφεται το τρίγωνο.
Γενέτειρα $\lambda$ : η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου.
Κορυφή: το ανώτερο σημείο (άκρο του άξονα).
Βάση: ο κυκλικός δίσκος που προκύπτει από την άλλη κάθετη πλευρά.
Ακτίνα $R$ : η ακτίνα της βάσης.
Ύψος $\upsilon$ : η απόσταση κορυφής – βάσης.

Θεμελιώδης σχέση (Πυθαγόρειο)

\lambda^2 = R^2 + \upsilon^2

Η γενέτειρα, η ακτίνα και το ύψος σχηματίζουν πάντοτε ορθογώνιο τρίγωνο!

Τύποι εμβαδού και όγκου

Θεώρημα — Εμβαδόν και όγκος κώνου

Για κώνο με ακτίνα $R$ , ύψος $\upsilon$ και γενέτειρα $\lambda$ :

E_\kappa = \pi R\lambda

E_{\text{ολ}} = E_\kappa + E_\beta = \pi R\lambda + \pi R^2 = \pi R(\lambda + R)

V = \frac{1}{3}\pi R^2 \upsilon

Απόδειξη για $E_\kappa$ 🧩

Αν «ξετυλίξουμε» την κυρτή επιφάνεια του κώνου, παίρνουμε έναν κυκλικό τομέα με:

ακτίνα ίση με τη γενέτειρα $\lambda$ ,
τόξο ίσο με την περιφέρεια της βάσης: $2\pi R$ .

Αν $\varphi$ είναι η επίκεντρη γωνία του τομέα (σε ακτίνια), τότε το μήκος τόξου είναι:

2\pi R = \lambda \varphi \;\Rightarrow\; \varphi = \frac{2\pi R}{\lambda}

Το εμβαδόν του κυκλικού τομέα είναι:

E = \frac{1}{2}\lambda^2 \varphi = \frac{1}{2}\lambda^2 \cdot \frac{2\pi R}{\lambda} = \pi R\lambda

Άρα $E_\kappa = \pi R \lambda$ . ✓

Απόδειξη για $V$ 🧩

Όπως στον κύλινδρο, θεωρούμε κανονική πυραμίδα εγγεγραμμένη στον κώνο. Ο όγκος πυραμίδας είναι $\dfrac{1}{3}E_\beta \cdot \upsilon$ . Καθώς οι πλευρές του πολυγώνου της βάσης $\nu \to \infty$ :

V = \lim_{\nu\to\infty}\frac{1}{3}\left(\frac{\nu}{2}R^2\:\mathrm{ημ}\!\left(\frac{2\pi}{\nu}\right)\right)\upsilon = \frac{1}{3}\pi R^2 \upsilon

Γιατί το $ \dfrac{1}{3} $;

Ο κώνος χωράει ακριβώς 3 φορές λιγότερο από τον κύλινδρο με ίδια βάση και ύψος. Αν γεμίσετε τρεις φορές έναν κωνικό κύπελλο με άμμο και το αδειάσετε σε κυλινδρικό κύπελλο της ίδιας βάσης και ύψους, θα γεμίσει ακριβώς! 🏖️

Σχήμα: σελ. 154–156 του PDF.

⬡ Κόλουρος Κώνος

Αν «κόψουμε» έναν κώνο με ένα επίπεδο παράλληλο προς τη βάση του και αφαιρέσουμε το μικρό κώνο στην κορυφή, το στερεό που μένει λέγεται κόλουρος κώνος 🔺➜🔻.

Ορισμός

Κόλουρος κώνος λέγεται το στερεό που παράγεται όταν ένα ορθογώνιο τραπέζιο περιστραφεί πλήρη στροφή γύρω από την πλευρά που είναι κάθετη στις βάσεις του.

Στοιχεία του κόλουρου κώνου 🔎

Άξονας περιστροφής: η κάθετη πλευρά του τραπεζίου.
Γενέτειρα $\lambda$ : η πλάγια πλευρά του τραπεζίου.
Βάσεις: δύο κυκλικοί δίσκοι με ακτίνες $R$ (μεγάλη) και $\rho$ (μικρή).
Ύψος $\upsilon$ : η απόσταση των δύο βάσεων.

Σχέση Πυθαγόρα

\lambda^2 = \upsilon^2 + (R - \rho)^2

Τύποι εμβαδού και όγκου

Θεώρημα — Τύποι κόλουρου κώνου

V = \frac{\pi\upsilon}{3}\left(R^2 + R\rho + \rho^2\right)

E_\kappa = \pi(R + \rho)\lambda

E_{\text{ολ}} = E_\kappa + E_{\beta_1} + E_{\beta_2} = \pi(R + \rho)\lambda + \pi R^2 + \pi \rho^2

Απόδειξη για $V$ 🧩

Ο όγκος του κόλουρου κώνου είναι η διαφορά των όγκων δύο κώνων: του αρχικού (μεγάλου) και του αφαιρούμενου (μικρού).

Έστω $\Kappa\Alpha$ η απόσταση της κορυφής του μικρού κώνου από τη μικρή βάση. Από ομοιότητα τριγώνων:

\frac{\Kappa\Alpha}{\Kappa\Alpha + \upsilon} = \frac{\rho}{R} \;\Rightarrow\; \Kappa\Alpha = \frac{\upsilon\rho}{R-\rho}, \quad R\neq\rho

Έτσι:

V = \frac{\pi}{3}\left(R^2(\upsilon + \Kappa\Alpha) - \rho^2 \Kappa\Alpha\right) = \frac{\pi\upsilon}{3}\cdot\frac{R^3 - \rho^3}{R - \rho}

Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα $R^3 - \rho^3 = (R-\rho)(R^2 + R\rho + \rho^2)$ :

V = \frac{\pi\upsilon}{3}\left(R^2 + R\rho + \rho^2\right) \checkmark

Απόδειξη για $E_\kappa$ 🧩

Παρόμοια, $E_\kappa = \pi R(\lambda + \Kappa\Beta) - \pi \rho \Kappa\Beta$ . Από ομοιότητα, $\Kappa\Beta = \dfrac{\rho\lambda}{R-\rho}$ , οπότε:

E_\kappa = \pi\lambda\cdot\frac{R^2 - \rho^2}{R - \rho} = \pi\lambda(R + \rho) \checkmark

Έλεγχος συνέπειας

Αν $\rho = 0$ , ο κόλουρος γίνεται κώνος: οι τύποι δίνουν $V = \dfrac{\pi\upsilon R^2}{3}$ , $E_\kappa = \pi R\lambda$ ✓
Αν $\rho = R$ , ο κόλουρος γίνεται κύλινδρος: ο τύπος δίνει $V = \pi R^2\upsilon$ ✓

Σχήμα: σελ. 163–164 του PDF.

🌍 Σφαίρα

Ορισμός (δύο ισοδύναμοι)

Ως στερεό περιστροφής: Σφαίρα ονομάζεται το στερεό που παράγεται όταν ένα ημικύκλιο περιστραφεί πλήρη στροφή γύρω από τη διάμετρό του.
Ως γεωμετρικός τόπος: Σφαίρα είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του χώρου που απέχουν σταθερή απόσταση $R$ από ένα σταθερό σημείο $\Kappa$ (το κέντρο).

Στοιχεία της σφαίρας 🔎

Κέντρο $\Kappa$ : το σταθερό σημείο περιστροφής.
Ακτίνα $R$ : η σταθερή απόσταση από το κέντρο.
Χορδή: τμήμα που συνδέει δύο σημεία της σφαίρας.
Διάμετρος: μήκος $2R$ , η μεγαλύτερη χορδή.

Όγκος και εμβαδόν

Θεώρημα — Σφαίρα

Για σφαίρα ακτίνας $R$ :

V = \frac{4\pi R^3}{3}, \qquad E = 4\pi R^2

Παρατήρηση — Παράγωγος σχέση!

Αν παραγωγίσουμε τον όγκο ως προς $R$ , παίρνουμε ακριβώς το εμβαδόν: $\dfrac{dV}{dR} = 4\pi R^2 = E$ . Αυτό ισχύει γιατί κάθε «στρώμα» της σφαίρας πάχους $dR$ έχει όγκο περίπου $E\cdot dR$ . 🎯

Θέσεις ευθείας – σφαίρας στον χώρο 📍

Θεωρούμε σφαίρα ακτίνας $R$ και ευθεία που απέχει απόσταση $d$ από το κέντρο.

Τρεις περιπτώσεις

$d > R$ : Η ευθεία και η σφαίρα δεν έχουν κοινά σημεία.
$d = R$ : Η ευθεία εφάπτεται στη σφαίρα (ένα κοινό σημείο).
$d < R$ : Η ευθεία τέμνει τη σφαίρα (δύο κοινά σημεία).

Θέσεις επιπέδου – σφαίρας στον χώρο 🪟

Για σφαίρα ακτίνας $R$ και επίπεδο $\Pi$ που απέχει απόσταση $d$ από το κέντρο:

Τρεις περιπτώσεις

$d > R$ : Επίπεδο και σφαίρα δεν έχουν κοινά σημεία.
$d = R$ : Το επίπεδο εφάπτεται στη σφαίρα (ένα κοινό σημείο).
$d < R$ : Το επίπεδο τέμνει τη σφαίρα σε κύκλο ακτίνας:

\rho = \sqrt{R^2 - d^2}

Απόδειξη του κύκλου τομής 🧩

Έστω $\Sigma$ το ίχνος της καθέτου από το κέντρο $\Kappa$ στο επίπεδο, $d = \Kappa\Sigma$ , και $\Tau$ τυχαίο σημείο της τομής. Το τρίγωνο $\Kappa\Sigma\Tau$ είναι ορθογώνιο στο $\Sigma$ . Από Πυθαγόρειο Θεώρημα:

(\Kappa\Tau)^2 = (\Kappa\Sigma)^2 + (\Sigma\Tau)^2 \;\Rightarrow\; (\Sigma\Tau)^2 = R^2 - d^2 \;\Rightarrow\; \Sigma\Tau = \sqrt{R^2 - d^2}

Αφού το $R$ και το $d$ είναι σταθερά, κάθε σημείο $\Tau$ της τομής απέχει σταθερή απόσταση από το $\Sigma$ . Άρα η τομή είναι κύκλος με κέντρο $\Sigma$ και ακτίνα $\rho = \sqrt{R^2 - d^2}$ . ✓

Μέγιστος και μικρός κύκλος

Ορισμοί

Μέγιστος κύκλος: η τομή της σφαίρας με επίπεδο που περνά από το κέντρο. Έχει ακτίνα ίση με την ακτίνα της σφαίρας (δηλαδή $\rho = R$ , όταν $d = 0$ ).
Μικρός κύκλος: η τομή με επίπεδο που δεν περνά από το κέντρο.
Πόλοι ενός κύκλου της σφαίρας: τα άκρα της διαμέτρου που είναι κάθετη στο επίπεδο του κύκλου.

Σχήματα: σελ. 166–168 του PDF.

Περιστροφή επίπεδων σχημάτων γύρω από άξονα 🌀

Οδηγός — Ποιο τμήμα παράγει τι;

Τμήμα παράλληλο με τον άξονα ➜ κυρτή επιφάνεια κυλίνδρου.
Τμήμα κάθετο στον άξονα (δεν τον τέμνει) ➜ κυκλικός δίσκος (δακτύλιος αν απέχει από τον άξονα).
Τμήμα που τέμνει τον άξονα υπό οξεία γωνία ➜ κυρτή επιφάνεια κώνου.
Τμήμα μη-παράλληλο και μη-τέμνον ➜ κυρτή επιφάνεια κόλουρου κώνου.

Στρατηγική επίλυσης 🧭

Όταν μας ζητείται ο όγκος ή η επιφάνεια στερεού που παράγεται από περιστροφή ενός σύνθετου σχήματος:

Αναγνωρίζουμε τα επιμέρους στερεά (κύλινδρος, κώνος, κόλουρος, σφαίρα).
Υπολογίζουμε ακτίνες, ύψη, γενέτειρες (συχνά με Πυθαγόρειο Θεώρημα).
Προσθέτουμε ή αφαιρούμε όγκους και εμβαδά ανάλογα με τη γεωμετρία.
Προσοχή στις επιφάνειες: Στα σύνθετα στερεά, μόνο οι εξωτερικές επιφάνειες συμβάλλουν στο ολικό εμβαδόν — βάσεις που «συναντώνται» δεν μετρούν! 🚫

Συνήθη λάθη

Σύγχυση ύψους $\upsilon$ με γενέτειρα $\lambda$ στον κώνο. Να θυμάστε: $\lambda^2 = R^2 + \upsilon^2$ .
Ξεχνάμε να αφαιρέσουμε βάσεις που είναι εσωτερικές σε σύνθετο στερεό.
Στον κόλουρο κώνο, συγχέουμε τη διαφορά ακτίνων $(R-\rho)$ με την ακτίνα.

Σχήματα και διερευνήσεις: σελ. 172–182 του PDF.

Σύνοψη τύπων 📋

Πίνακας τύπων — Στα ακροδάκτυλά σας!

Στερεό	Όγκος $V$	Κυρτή επιφάνεια $E_\kappa$	Ολική $E_{\text{ολ}}$
Κύλινδρος	$\pi R^2 \upsilon$	$2\pi R\upsilon$	$2\pi R(\upsilon + R)$
Κώνος	$\dfrac{1}{3}\pi R^2 \upsilon$	$\pi R\lambda$	$\pi R(\lambda + R)$
Κόλουρος κώνος	$\dfrac{\pi\upsilon}{3}(R^2 + R\rho + \rho^2)$	$\pi(R+\rho)\lambda$	$\pi(R+\rho)\lambda + \pi R^2 + \pi\rho^2$
Σφαίρα	$\dfrac{4\pi R^3}{3}$	$4\pi R^2$	$4\pi R^2$

Στερεά από Περιστροφή 🔄

🥫 Κύλινδρος

Στοιχεία του κυλίνδρου 🔎

Τύποι εμβαδού και όγκου

Απόδειξη για EκE_\kappaEκ​ 🧩

Απόδειξη για VVV 🧩

🍦 Κώνος

Στοιχεία του κώνου 🔎

Τύποι εμβαδού και όγκου

Απόδειξη για EκE_\kappaEκ​ 🧩

Απόδειξη για VVV 🧩

⬡ Κόλουρος Κώνος

Στοιχεία του κόλουρου κώνου 🔎

Τύποι εμβαδού και όγκου

Απόδειξη για VVV 🧩

Απόδειξη για EκE_\kappaEκ​ 🧩

🌍 Σφαίρα

Στοιχεία της σφαίρας 🔎

Όγκος και εμβαδόν

Θέσεις ευθείας – σφαίρας στον χώρο 📍

Θέσεις επιπέδου – σφαίρας στον χώρο 🪟

Απόδειξη του κύκλου τομής 🧩

Μέγιστος και μικρός κύκλος

Περιστροφή επίπεδων σχημάτων γύρω από άξονα 🌀

Στρατηγική επίλυσης 🧭

Σύνοψη τύπων 📋

Απόδειξη για $E_\kappa$ 🧩

Απόδειξη για $V$ 🧩

Απόδειξη για $E_\kappa$ 🧩

Απόδειξη για $V$ 🧩

Απόδειξη για $V$ 🧩

Απόδειξη για $E_\kappa$ 🧩