Παράγωγος Αντίστροφης Συνάρτησης

Αν μια συνάρτηση $f$ αντιστρέφεται, πώς μπορούμε να βρούμε την παράγωγο της αντίστροφης $f^{-1}$ ; Αυτή η ενότητα είναι η «κλειδαριά» που ανοίγει τις παραγώγους των λογαριθμικών και εκθετικών συναρτήσεων! 🔓

🎯 Η γεωμετρική διαίσθηση

Η γραφική παράσταση της $f^{-1}$ είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της $f$ ως προς την ευθεία $y = x$ . 🪞

Γεωμετρική ερμηνεία

Αν η εφαπτομένη της $f$ στο $A(a, b)$ έχει κλίση $\lambda = f'(a)$ , τότε η εφαπτομένη της $f^{-1}$ στο συμμετρικό σημείο $A'(b, a)$ έχει κλίση $\dfrac{1}{\lambda}$ .

Είναι λογικό: η συμμετρία ως προς $y = x$ ανταλλάσσει τους άξονες $x$ και $y$ , οπότε οι ρόλοι του $\Delta x$ και του $\Delta y$ αλλάζουν — άρα και η κλίση αντιστρέφεται!

📜 Το Θεώρημα Ύπαρξης

Θεώρημα 1 — Συνέχεια και Παραγωγισιμότητα της $ f^{-1} $

Έστω $f$ ορισμένη σε διάστημα $\Delta \subseteq \mathbb{R}$ . Αν η $f$ είναι αντιστρέψιμη, τότε:

(α) Αν η $f$ είναι συνεχής στο $\Delta$ , τότε η $f^{-1}$ είναι συνεχής στο $f(\Delta)$ .

(β) Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα που περιέχει το $x_0 \in \Delta$ με $f'(x_0) \neq 0$ , τότε η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $f(x_0)$ .

(Η απόδειξη είναι εκτός στόχων της Β' Λυκείου και παραλείπεται.)

🔄 Το Θεμελιώδες Θεώρημα

Θεώρημα 2 — Παράγωγος Αντίστροφης

Έστω $f$ παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα $\Delta \subseteq \mathbb{R}$ , αντιστρέψιμη. Τότε η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x$ για το οποίο $f'(f^{-1}(x)) \neq 0$ , και:

\boxed{\ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}\ }

Απόδειξη 🧠

Ξεκινούμε από τη βασική ταυτότητα:

f(f^{-1}(x)) = x

Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη ως προς $x$ . Στο αριστερό μέλος εφαρμόζουμε κανόνα αλυσίδας:

f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1

Λύνοντας:

(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}, \quad f'(f^{-1}(x)) \neq 0 \ ✅

Εναλλακτικός τρόπος (Leibniz) ✍️

Αν γράψουμε $y = f^{-1}(x) \\Leftrightarrow x = f(y)$ , τότε παραγωγίζοντας τη δεύτερη ως προς $y$ :

\frac{dx}{dy} = f'(y) \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

Κλασική μνημονική φράση

«Παράγωγος αντίστροφης = 1 διά παράγωγος αρχικής στο αντίστοιχο σημείο.»

Ή πιο απλά: $\dfrac{dy}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dy} = 1$ .

📝 Δουλεμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1 — Ρίζα

Για $f(x) = x^2$ , $x \in [0, +\infty)$ , η αντίστροφη είναι $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ .

f'(x) = 2x \Rightarrow f'(f^{-1}(x)) = f'(\sqrt{x}) = 2\sqrt{x}

(f^{-1})'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Αυτό ταιριάζει με τον γνωστό τύπο $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . ✅

Παράδειγμα 2 — Με αριθμητικά δεδομένα

Αν $f$ αντιστρέψιμη με $f(2) = 4$ και $f'(2) = \dfrac{1}{3}$ , ποια είναι η κλίση της $f^{-1}$ στο $x = 4$ ;

f^{-1}(4) = 2 \Rightarrow (f^{-1})'(4) = \frac{1}{f'(f^{-1}(4))} = \frac{1}{f'(2)} = \frac{1}{1/3} = 3

Άρα η εφαπτομένη της $f^{-1}$ στο σημείο $(4, 2)$ έχει κλίση $3$ . 📐

🌟 Παράγωγος της λογαριθμικής συνάρτησης

Η ξεχωριστότερη εφαρμογή του θεωρήματος! Η $f(x) = e^x$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x) = e^x$ , και αντιστρέφεται με $f^{-1}(x) = \ln x$ , $x \in (0, +\infty)$ .

Θεώρημα — Παράγωγος του $ \ln x $

\boxed{\ (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad \forall x \in (0, +\infty)\ }

Απόδειξη: Από το θεώρημα αντίστροφης συνάρτησης:

(\ln x)' = (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{f'(\ln x)} = \frac{1}{e^{\ln x}} = \frac{1}{x} \ ✅

Εκπληκτικό πόσο απλός είναι ο τύπος!

Ο λογάριθμος $\ln x$ είναι μία «σύνθετη» συνάρτηση (αντίστροφη του $e^x$ ), όμως η παράγωγός του είναι απλά $\dfrac{1}{x}$ — από τους πιο απλούς τύπους σε όλη την ανάλυση!

Παράγωγος του $\log_a x$

Με όμοιο τρόπο, για τη $f(x) = a^x$ , $a > 0, a \neq 1$ (παραγωγίσιμη με $f'(x) = a^x \ln a$ ) και αντίστροφη $f^{-1}(x) = \log_a x$ :

(\log_a x)' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} = \frac{1}{a^{\log_a x} \ln a} = \frac{1}{x \ln a}

Λογαριθμικές παράγωγοι

(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad x > 0

(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}, \quad x > 0,\ a > 0,\ a \neq 1

🔗 Επέκταση με κανόνα αλυσίδας

Αν έχουμε σύνθετο λογάριθμο $\ln(g(x))$ , συνδυάζουμε με τον κανόνα αλυσίδας:

(\ln g(x))' = \frac{g'(x)}{g(x)}

Παραδείγματα

$(\ln(2x - 5))' = \dfrac{2}{2x-5}$
$(\ln(ημx))' = \dfrac{συνx}{ημx} = σφx$
$(\ln(x^2 - 5x))' = \dfrac{2x - 5}{x^2 - 5x}$

🧙 Λογαριθμική παραγώγιση — Ένα πανίσχυρο εργαλείο

Για συναρτήσεις της μορφής $y = f(x)^{g(x)}$ (π.χ. $x^x$ ), η απευθείας παραγώγιση είναι δύσκολη, γιατί δεν είναι ούτε δύναμη ούτε εκθετική με σταθερή βάση.

Τεχνική: Παίρνουμε λογάριθμο και στα δύο μέλη, και μετά παραγωγίζουμε πεπλεγμένα. ✨

Παράδειγμα — $ f(x) = x^x $, $ x \in \mathbb{R}^+ - \{1\} $

y = x^x \Rightarrow \ln y = \ln(x^x) \Rightarrow \ln y = x \ln x

Παραγωγίζουμε και τα δύο μέλη ως προς $x$ :

\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1

Άρα:

\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)

💎 Απόδειξη του $(a^x)' = a^x \ln a$ μέσω αντίστροφης

Μπορούμε να αποδείξουμε τον τύπο $(a^x)' = a^x \ln a$ χρησιμοποιώντας τη σχέση $a^x = e^{x\ln a}$ και τον κανόνα αλυσίδας:

(a^x)' = (e^{x\ln a})' = e^{x\ln a} \cdot (x\ln a)' = e^{x\ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a \ ✅

💡 Πρακτικές συμβουλές

Πώς να εφαρμόζεις το θεώρημα

Βρες το «αντίστοιχο σημείο» $f^{-1}(x)$ όταν είναι δυνατό.
Υπολόγισε τη $f'$ γενικά.
Αντικατάστησε στον τύπο $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ .
Έλεγξε ότι $f'(f^{-1}(x)) \neq 0$ !

Πότε δεν εφαρμόζεται;

Αν $f'(f^{-1}(x_0)) = 0$ , τότε η $f^{-1}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ . Γεωμετρικά: η γραφική παράσταση της $f^{-1}$ έχει εκεί κατακόρυφη εφαπτομένη.

Π.χ. για $f(x) = x^2, x \geq 0$ : $f'(0) = 0$ , άρα η $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 (ξέρουμε ότι έχει κατακόρυφη εφαπτομένη εκεί).

📊 Συνοπτικός πίνακας λογαριθμικών παραγώγων

Συνάρτηση	Παράγωγος
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$
$\ln(f(x))$	$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$
$e^{f(x)}$	$f'(x) e^{f(x)}$
$a^{f(x)}$	$f'(x) a^{f(x)} \ln a$
$f(x)^{g(x)}$	λογαριθμική παραγώγιση

Δες τα παραδείγματα 1–3 (σελίδες 130–132 του Γ' Τεύχους) για πλήρεις λυμένους ασκητές με αντίστροφες, λογαρίθμους και λογαριθμική παραγώγιση.