Συνάρτηση που Ορίζεται Παραμετρικά

Μέχρι τώρα είδαμε καμπύλες ως $y = f(x)$ ή πεπλεγμένα ως $F(x, y) = 0$ . Υπάρχει όμως και τρίτος τρόπος: να εκφράσουμε και το $x$ και το $y$ ως συναρτήσεις μιας τρίτης μεταβλητής $t$ , που ονομάζουμε παράμετρο. 🎯

🎨 Η διαίσθηση

Φαντάσου ένα σημείο $A$ που κινείται πάνω σε μια καμπύλη. Σε κάθε χρονική στιγμή $t$ , το σημείο βρίσκεται σε συγκεκριμένη θέση $(x, y)$ . Καθώς αλλάζει το $t$ , αλλάζουν και οι συντεταγμένες του:

\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}, \quad t \in \Delta

Φυσική ερμηνεία

Στη βολή μιας μπάλας, η θέση κάθε χρονική στιγμή $t$ δίνεται από:

x(t) = v_0 \cos\theta \cdot t, \quad y(t) = v_0 \sin\theta \cdot t - \frac{1}{2}g t^2

Δεν μπορούμε να γράψουμε απευθείας $y = f(x)$ χωρίς να απαλείψουμε το $t$ . Η παραμετρική μορφή είναι φυσική!

🎯 Ο Ορισμός

Ορισμός — Παραμετρικές εξισώσεις

Οι συντεταγμένες ενός σημείου $(x, y)$ μιας καμπύλης περιγράφονται από εξισώσεις της μορφής:

\begin{cases} x = f(t) \\ y = g(t) \end{cases}, \quad t \in \Delta \subseteq \mathbb{R}

Αυτές ονομάζονται παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης, και η μεταβλητή $t$ λέγεται παράμετρος.

Παρατηρήσεις

Το $\Delta$ είναι το σύνολο στο οποίο παίρνει τιμές η παράμετρος $t$ .
Σε κάποιες περιπτώσεις μπορούμε να απαλείψουμε την παράμετρο και να βρούμε την καρτεσιανή εξίσωση της καμπύλης (της μορφής $y = F(x)$ ή $F(x, y) = 0$ ).

Παράδειγμα απαλοιφής

Για $x = 2t$ , $y = 4t^2$ , $t \in \mathbb{R}$ :

t = \frac{x}{2} \Rightarrow y = 4\left(\frac{x}{2}\right)^2 = x^2

Δηλαδή, παραβολή $y = x^2$ ! 📐

📊 Κατασκευή γραφικής παράστασης — πίνακας τιμών

Δίνοντας τιμές στο $t$ , βρίσκουμε ζεύγη $(x, y)$ που είναι σημεία της καμπύλης:

$t$	$-2$	$-1$	$-\dfrac{1}{2}$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$1$	$2$
$x = 2t$	$-4$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$4$
$y = 4t^2$	$16$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$16$

🔧 Παράγωγος σε παραμετρική μορφή

Εδώ είναι το κλειδί: πώς βρίσκω $\dfrac{dy}{dx}$ χωρίς να έχω $y$ ως άμεση συνάρτηση του $x$ ;

Ιδέα: Η μεταβλητή $y$ είναι έμμεσα συνάρτηση του $x$ (μέσω του $t$ ). Εφαρμόζουμε κανόνα αλυσίδας:

\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}

Λύνοντας για $\dfrac{dy}{dx}$ (όταν $\dfrac{dx}{dt} \neq 0$ ):

Τύπος πρώτης παραγώγου

\boxed{\ \frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}\ }

Ή ισοδύναμα: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt} \cdot \dfrac{dt}{dx}$

Πρακτικά βήματα

Υπολογίζω $\dfrac{dx}{dt}$ (παράγωγος του $x(t)$ ως προς $t$ ).
Υπολογίζω $\dfrac{dy}{dt}$ (παράγωγος του $y(t)$ ως προς $t$ ).
Διαιρώ: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ , εφόσον $\dfrac{dx}{dt} \neq 0$ .
Το αποτέλεσμα είναι συνήθως συνάρτηση του $t$ .

Δουλεμένο παράδειγμα

Για $x = 2t + 3$ , $y = t^2 - 1$ :

$\dfrac{dx}{dt} = 2$
$\dfrac{dy}{dt} = 2t$

\frac{dy}{dx} = \frac{2t}{2} = t

Για $t = 6$ : $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{t=6} = 6$ . ✅

🔢 Δεύτερη παράγωγος $\dfrac{d^2y}{dx^2}$

Η δεύτερη παράγωγος δεν είναι απλά $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ (συχνό λάθος!). Είναι πιο λεπτή.

Σωστός τύπος για τη δεύτερη παράγωγο

\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}

Γιατί έτσι; Επειδή το $\dfrac{dy}{dx}$ είναι συνάρτηση του $t$ . Για να το παραγωγίσουμε ως προς $x$ , εφαρμόζουμε ξανά τον κανόνα αλυσίδας:

\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot \frac{dt}{dx}

Παράδειγμα — δεύτερη παράγωγος

Για $x = t - t^2$ , $y = t - t^3$ :

$\dfrac{dx}{dt} = 1 - 2t$ , $\dfrac{dy}{dt} = 1 - 3t^2$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - 3t^2}{1 - 2t}$
$\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) = \dfrac{-6t(1-2t) - (1-3t^2)(-2)}{(1-2t)^2} = \dfrac{6t^2 - 6t + 2}{(1-2t)^2}$
$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{6t^2 - 6t + 2}{(1-2t)^2 \cdot (1-2t)} = \dfrac{6t^2 - 6t + 2}{(1-2t)^3}$ ✅

🎯 Εφαρμογές

(α) Εφαπτομένη σε παραμετρική καμπύλη

Για την εφαπτομένη στο σημείο $A(x(t_0), y(t_0))$ της καμπύλης:

y - y(t_0) = \frac{dy}{dx}\bigg|_{t=t_0} (x - x(t_0))

(β) Οριζόντιες και κατακόρυφες εφαπτομένες

Οριζόντια εφαπτομένη: $\dfrac{dy}{dx} = 0$ , δηλαδή $\dfrac{dy}{dt} = 0$ (και $\dfrac{dx}{dt} \neq 0$ ).
Κατακόρυφη εφαπτομένη: η παράγωγος «εκρήγνυται», δηλαδή $\dfrac{dx}{dt} = 0$ (και $\dfrac{dy}{dt} \neq 0$ ).

Πολλαπλές εφαπτομένες σε σημείο!

Σε παραμετρικές καμπύλες, το ίδιο σημείο μπορεί να λαμβάνεται για πολλές τιμές του $t$ , και άρα να έχει περισσότερες από μία εφαπτομένες!

Παράδειγμα: Για $x = t^2$ , $y = t^3 - 3t$ , το $(3, 0)$ λαμβάνεται για $t = \sqrt{3}$ και $t = -\sqrt{3}$ . Σε κάθε περίπτωση παίρνουμε διαφορετική κλίση — άρα δύο εφαπτομένες! 📌

(γ) Φυσικές εφαρμογές — κινηματική 🏐

Σε βολή μπάλας με $x(t) = 6t$ , $y(t) = 8t - 5t^2$ :

Οριζόντια ταχύτητα: $v_x = \dfrac{dx}{dt} = 6$ m/s (σταθερή)
Κατακόρυφη ταχύτητα: $v_y = \dfrac{dy}{dt} = 8 - 10t$
Μέτρο ταχύτητας: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Η τροχιά (καμπύλη) και η ταχύτητα (παράγωγος) είναι ξεκάθαρες με παραμετρικό συμβολισμό.

💡 Πότε να επιλέξω παραμετρική μορφή;

Πλεονεκτήματα της παραμετρικής

Κινηματική: όταν περιγράφω κίνηση στο χρόνο. 🏎️
Πολύπλοκες καμπύλες: όπου δεν μπορώ να γράψω $y = f(x)$ (π.χ. κύκλος, έλλειψη, κυκλοειδής).
Απλοποίηση υπολογισμών: μερικές φορές η παραγώγιση είναι ευκολότερη με παραμέτρο.

📌 Κλασικές παραμετρικές καμπύλες

Καμπύλη	Παραμετρικές εξισώσεις
Κύκλος κέντρου $O$ , ακτίνας $R$	$x = R\,συνt, \ y = R\,ημt$
Έλλειψη ημιαξόνων $a, b$	$x = a\,συνt, \ y = b\,ημt$
Παραβολή $y = x^2$	$x = t, \ y = t^2$
Κυκλοειδής	$x = R(t - ημt), \ y = R(1 - συνt)$

Εφαρμογή — Κύκλος

Για τον κύκλο $x = συνt, y = ημt$ :

\frac{dy}{dx} = \frac{συνt}{-ημt} = -\frac{συνt}{ημt} = -σφt

Για $t = \dfrac{\pi}{2}$ (σημείο πάνω-πάνω του κύκλου): $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — οριζόντια εφαπτομένη! ✅

🎓 Συμβουλές

Να προσέχεις

Πάντα να αναφέρεις το πεδίο τιμών του $t$ .
Να ελέγχεις αν $\dfrac{dx}{dt} \neq 0$ πριν διαιρέσεις.
Για δεύτερη παράγωγο, χρησιμοποίησε τον σωστό τύπο (όχι την απλή διαίρεση!).
Σε σημεία όπου η καμπύλη «επιστρέφει» στον εαυτό της, μπορεί να έχεις πολλαπλές εφαπτομένες.

Δες τα παραδείγματα 1–4 (σελίδες 122–125 του Γ' Τεύχους) και τα σχήματα για γραφικές παραστάσεις και εφαρμογές κινηματικής.