Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης

Τι γίνεται όταν θέλω να παραγωγίσω συναρτήσεις όπως $(2x+1)^3$ , $ημ(3x^2)$ ή $\sqrt{x^2+2x+5}$ ; Δεν εφαρμόζεται ο απλός κανόνας δύναμης — εδώ έχουμε σύνθετες συναρτήσεις και μας χρειάζεται ένας νέος κανόνας: ο περίφημος Κανόνας Αλυσίδας (Chain Rule). ⛓️

🎯 Η διαίσθηση πίσω από τον κανόνα

Σκέψου μια αλυσίδα γεγονότων:

«Όταν το $x$ αλλάζει, αλλάζει το $u = g(x)$ , και επειδή αλλάζει το $u$ , αλλάζει το $y = f(u)$ .»

Ο ρυθμός μεταβολής του τελικού αποτελέσματος ως προς $x$ είναι το γινόμενο των ενδιάμεσων ρυθμών!

Παράδειγμα διαίσθησης

Αν το αμάξι σου τρέχει 2 φορές πιο γρήγορα από το ποδήλατο, και το ποδήλατο 3 φορές πιο γρήγορα από τον περπατητή, τότε το αμάξι τρέχει 2·3 = 6 φορές πιο γρήγορα από τον περπατητή. Το ίδιο συμβαίνει με τις παραγώγους! 🚀

⛓️ Ο Κανόνας Αλυσίδας

Θεώρημα — Κανόνας Αλυσίδας

Αν η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $\Delta \subseteq \mathbb{R}$ και η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(\Delta)$ , τότε η σύνθετη συνάρτηση $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $\Delta$ και:

(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Σε γλώσσα Leibniz, αν $y = f(u)$ και $u = g(x)$ :

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Γιατί το $ du $ «διαγράφεται»

Στον συμβολισμό Leibniz, μοιάζει ότι τα $du$ στον αριθμητή και παρονομαστή «απλοποιούνται» κλασματικά. Φυσικά η παράγωγος δεν είναι πραγματικό κλάσμα — είναι όμως μνημονικά τόσο χρήσιμος ο συμβολισμός!

🧠 Απόδειξη-σκίτσο (ιδέα)

Γράφουμε τον λόγο μεταβολής της $f \circ g$ στο $x_0$ :

\frac{(f\circ g)(x_0+\Delta x) - (f\circ g)(x_0)}{\Delta x} = \frac{f(g(x_0+\Delta x)) - f(g(x_0))}{\Delta x}

Θέτουμε $\Delta u = g(x_0+\Delta x) - g(x_0)$ και πολλαπλασιάζουμε/διαιρούμε με αυτό:

= \frac{f(g(x_0)+\Delta u) - f(g(x_0))}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}

Καθώς $\Delta x \to 0$ , έχουμε $\Delta u \to 0$ (επειδή η $g$ είναι συνεχής στο $x_0$ ), άρα:

\to f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0) \ ✅

Σημείωση: Η πλήρης αυστηρή απόδειξη απαιτεί χειρισμό της περίπτωσης $\Delta u = 0$ , αλλά είναι πέρα από τους στόχους της Β' Λυκείου.

📊 Πίνακας παραγώγων σύνθετων συναρτήσεων

Συνάρτηση	Παράγωγος
$[f(x)]^\nu$	$\nu[f(x)]^{\nu-1} \cdot f'(x)$
$\sqrt{f(x)}$ , $f(x)>0$	$\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$
$ημf(x)$	$f'(x)\cdot συνf(x)$
$συνf(x)$	$-f'(x)\cdot ημf(x)$
$εφf(x)$	$f'(x)\cdot τεμ^2 f(x)$
$σφf(x)$	$-f'(x)\cdot στεμ^2 f(x)$
$τεμf(x)$	$f'(x)\cdot τεμf(x)\cdot εφf(x)$
$στεμf(x)$	$-f'(x)\cdot στεμf(x)\cdot σφf(x)$
$e^{f(x)}$	$f'(x)\cdot e^{f(x)}$
$a^{f(x)}$	$f'(x)\cdot a^{f(x)}\cdot \ln a$

Κοινή δομή

Παρατήρησε: κάθε σύνθετη παράγωγος ακολουθεί τη μορφή

(\text{εξωτερική}\,')(\text{εσωτερική}) \cdot (\text{εσωτερική})'

Αυτή είναι η καρδιά του κανόνα αλυσίδας!

🛠️ Πώς εφαρμόζουμε τον κανόνα — βήματα

Αναγνωρίζουμε την «εξωτερική» $f$ και την «εσωτερική» $g$ . Ρωτάμε: «ποια πράξη γίνεται τελευταία;».
Παραγωγίζουμε την εξωτερική αντικαθιστώντας με $g(x)$ , δηλαδή υπολογίζουμε $f'(g(x))$ .
Πολλαπλασιάζουμε με $g'(x)$ (την παράγωγο της εσωτερικής).
Απλοποιούμε το αποτέλεσμα.

Παράδειγμα βήμα-βήμα

Για $h(x) = (2x+1)^3$ :

Εξωτερική: $f(u) = u^3$ ⟹ $f'(u) = 3u^2$
Εσωτερική: $g(x) = 2x+1$ ⟹ $g'(x) = 2$

h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2

🎯 Περισσότερα δουλεμένα παραδείγματα

(α) $h(x) = ημ(3x^2)$

Εξωτερική: $ημu$ . Εσωτερική: $3x^2$ .

h'(x) = συν(3x^2) \cdot (3x^2)' = 6x\,συν(3x^2)

(β) $h(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 5}$

Εξωτερική: $\sqrt{u}$ . Εσωτερική: $x^2+2x+5$ .

h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+2x+5}} \cdot (2x+2) = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+5}}

(γ) $h(x) = συν(ημx)$ (διπλή σύνθεση!)

Εξωτερική: $συνu$ . Εσωτερική: $ημx$ .

h'(x) = -ημ(ημx) \cdot συνx

🔗 Αλυσίδες με πολλούς κρίκους

Ο κανόνας γενικεύεται: αν $y = f(g(h(x)))$ :

y' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)

Παράδειγμα πολλαπλής αλυσίδας

Για $y = ημ^2(3x) = [ημ(3x)]^2$ :

Τρεις κρίκοι: $(\cdot)^2$ , $ημ(\cdot)$ , $3x$ .

y' = 2\,ημ(3x) \cdot συν(3x) \cdot 3 = 6\,ημ(3x)\,συν(3x) = 3\,ημ(6x)

(χρησιμοποιήσαμε $2\,ημA\,συνA = ημ(2A)$ )

🚀 Εφαρμογές σε ρυθμούς μεταβολής

Ο κανόνας αλυσίδας είναι το κλειδί για συνδεδεμένους ρυθμούς. Π.χ. αν η ακτίνα ενός κύκλου $R(t)$ αλλάζει με ρυθμό $R'(t)$ , τότε το μήκος $\Gamma = 2\pi R$ και το εμβαδόν $E = \pi R^2$ έχουν ρυθμούς:

\Gamma'(t) = 2\pi R'(t), \quad E'(t) = 2\pi R(t)\cdot R'(t)

Δουλεμένο — Κύκλος που μεγαλώνει

Αν $R'(t) = 2$ cm/min:

$\Gamma'(t) = 4\pi$ cm/min (σταθερός ρυθμός, ανεξάρτητος της στιγμής!)
$E'(t) = 4\pi R(t)$ cm²/min (εξαρτάται από την τρέχουσα ακτίνα)

Όταν $R = 10$ cm: $E'(t) = 40\pi$ cm²/min. 📈

💡 Πρακτικές συμβουλές

Όταν μπλέκεσαι...

Αν δυσκολεύεσαι, ονόμασε εσωτερικά τη σύνθετη συνάρτηση:

Θέσε $u = g(x)$
Γράψε $y = f(u)$
Παραγώγισε το $y$ ως προς $u$ (απλό!)
Παραγώγισε το $u$ ως προς $x$
Πολλαπλασίασε: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$

Είναι η ίδια ιδέα με τον Leibniz, πιο ήπια στον νου σου. 🌸

Συνηθισμένα λάθη

ΜΗΝ ξεχνάς να πολλαπλασιάσεις με $g'(x)$ (την παράγωγο του «μέσα»).
ΠΡΟΣΟΧΗ στο πρόσημο στο $(συνf(x))'$ : είναι αρνητικό.
ΜΗΝ μπερδεύεις $(ημx)^2 = ημ^2 x$ με $ημ(x^2)$ — είναι διαφορετικές συναρτήσεις!

Δες τα παραδείγματα 1–3 (σελίδες 98–100 του Γ' Τεύχους) για λυμένους ασκητές και ρυθμούς μεταβολής σε γεωμετρικά προβλήματα (κύκλος, κύβος).