Παράγωγος Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι παντού: από τον ήχο και την κίνηση ελατηρίου, μέχρι τους ηλεκτρικούς κυματισμούς. ⚡ Εδώ θα αποδείξουμε τους τύπους των παραγώγων τους, με εργαλείο δύο βασικά όρια που ξέρουμε ήδη: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{ημx}{x} = 1$ και $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{συνx - 1}{x} = 0$ . 📐

🌊 Παράγωγος του ημx

Θεώρημα — (ημx)' = συνx

Για $f(x) = ημx$ , $x \in \mathbb{R}$ :

f'(x) = συνx, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Απόδειξη: Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $ημ(A+B) = ημA\,συνB + συνA\,ημB$ και $συνA - 1 = -2ημ^2(A/2)$ .

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ημ(x+\Delta x) - ημx}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{ημx\,συν\Delta x + συνx\,ημ\Delta x - ημx}{\Delta x}

= ημx \cdot \underbrace{\lim_{\Delta x \to 0}\frac{συν\Delta x - 1}{\Delta x}}_{= \ 0} + συνx \cdot \underbrace{\lim_{\Delta x \to 0}\frac{ημ\Delta x}{\Delta x}}_{= \ 1}

= ημx \cdot 0 + συνx \cdot 1 = συνx \ ✅

Σημασία των βασικών ορίων

Τα όρια $\lim_{x\to 0}\frac{ημx}{x}=1$ και $\lim_{x\to 0}\frac{συνx-1}{x}=0$ είναι οι «πρωταγωνιστές» όλων των αποδείξεων. Τα ξαναχρησιμοποιούμε κάθε φορά.

🌊 Παράγωγος του συνx

Θεώρημα — (συνx)' = −ημx

Για $f(x) = συνx$ , $x \in \mathbb{R}$ :

f'(x) = -ημx, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Απόδειξη: Με την ταυτότητα $συν(A+B) = συνA\,συνB - ημA\,ημB$ :

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{συν(x+\Delta x) - συνx}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{συνx\,συν\Delta x - ημx\,ημ\Delta x - συνx}{\Delta x}

= συνx \cdot \underbrace{\lim_{\Delta x \to 0}\frac{συν\Delta x - 1}{\Delta x}}_{=\ 0} - ημx \cdot \underbrace{\lim_{\Delta x \to 0}\frac{ημ\Delta x}{\Delta x}}_{=\ 1}

= συνx \cdot 0 - ημx \cdot 1 = -ημx \ ✅

Μνημονικό

Όταν παραγωγίζεις το συνx, εμφανίζεται ένα «μειον» σαν να «χαλά η κοινωνική» του διάθεση. 😅 Δηλαδή: (ημx)' = συνx, αλλά (συνx)' = −ημx.

📐 Παράγωγος του εφx

Θεώρημα — (εφx)' = τεμ²x

Για $f(x) = εφx$ , $x \in A = \mathbb{R} - \{x \mid συνx = 0\}$ :

f'(x) = \frac{1}{συν^2 x} = τεμ^2 x

Απόδειξη: Γράφουμε $εφx = \dfrac{ημx}{συνx}$ και εφαρμόζουμε τον κανόνα πηλίκου:

(εφx)' = \frac{(ημx)'\,συνx - ημx\,(συνx)'}{συν^2 x} = \frac{συνx\,συνx - ημx\,(-ημx)}{συν^2 x}

= \frac{συν^2 x + ημ^2 x}{συν^2 x} = \frac{1}{συν^2 x} = τεμ^2 x \ ✅

Χρησιμοποιήσαμε την βασική ταυτότητα $ημ^2 x + συν^2 x = 1$ . 🎯

📐 Παράγωγος του σφx

Με ανάλογο τρόπο (γράφοντας $σφx = \dfrac{συνx}{ημx}$ ):

(σφx)' = \frac{(συνx)'\,ημx - συνx\,(ημx)'}{ημ^2 x} = \frac{-ημ^2 x - συν^2 x}{ημ^2 x} = -\frac{1}{ημ^2 x} = -στεμ^2 x

Τύπος

(σφx)' = -στεμ^2 x, \quad x \in A = \mathbb{R} - \{x \mid ημx = 0\}

📐 Παράγωγοι τεμx και στεμx

Τέμνουσα $τεμx = \dfrac{1}{συνx}$ :

(τεμx)' = \left(\frac{1}{συνx}\right)' = \frac{0 \cdot συνx - 1 \cdot (-ημx)}{συν^2 x} = \frac{ημx}{συν^2 x} = τεμx \cdot εφx

Συντέμνουσα $στεμx = \dfrac{1}{ημx}$ :

(στεμx)' = \left(\frac{1}{ημx}\right)' = \frac{0\cdot ημx - 1\cdot συνx}{ημ^2 x} = -\frac{συνx}{ημ^2 x} = -στεμx \cdot σφx

Τύποι

(τεμx)' = τεμx\,εφx, \quad (στεμx)' = -στεμx\,σφx

📊 Συνοπτικός πίνακας

Συνάρτηση	Παράγωγος	Πεδίο
$ημx$	$συνx$	$\mathbb{R}$
$συνx$	$-ημx$	$\mathbb{R}$
$εφx$	$τεμ^2 x$	$\mathbb{R} - \{x \mid συνx=0\}$
$σφx$	$-στεμ^2 x$	$\mathbb{R} - \{x \mid ημx=0\}$
$τεμx$	$τεμx\,εφx$	$\mathbb{R} - \{x \mid συνx=0\}$
$στεμx$	$-στεμx\,σφx$	$\mathbb{R} - \{x \mid ημx=0\}$

Πρότυπο συμμετρίας

Παρατήρησε: όλες οι «συν-» συναρτήσεις (συνx, σφx, στεμx) έχουν αρνητικό πρόσημο στις παραγώγους τους, ενώ οι «ημ-» (ημx, εφx, τεμx) έχουν θετικό. Ένας όμορφος μνημονικός κανόνας! 🎯

🛠️ Δουλεμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Για $f(x) = στεμx - \sqrt{3}\,σφx$ :

f'(x) = -στεμx\,σφx - \sqrt{3}(-στεμ^2 x) = -στεμx(σφx - \sqrt{3}\,στεμx)

Παράδειγμα 2

Για $y = \dfrac{ημx}{1 + συνx}$ (κανόνας πηλίκου):

y' = \frac{συνx(1 + συνx) - ημx(-ημx)}{(1+συνx)^2} = \frac{συνx + συν^2 x + ημ^2 x}{(1+συνx)^2} = \frac{συνx + 1}{(1+συνx)^2} = \frac{1}{1+συνx}

Παράδειγμα 3 — Σύνθετο γινόμενο

Για $y = x^2 e^x συνx$ (κανόνας γινομένου 3 συναρτήσεων):

y' = 2x\,e^x\,συνx + x^2 e^x\,συνx + x^2 e^x(-ημx) = xe^x(2συνx + xσυνx - xημx)

💡 Πρακτικές συμβουλές

Πριν παραγωγίσεις

Κοίτα τον τύπο: είναι άθροισμα, γινόμενο ή πηλίκο;
Απλοποίησε αν μπορείς (π.χ. $\dfrac{ημx}{συνx}$ γίνεται εφx).
Θυμήσου τα πρόσημα στο συνx (αρνητικό), σφx (αρνητικό), στεμx (αρνητικό).
Χρησιμοποίησε ταυτότητες (π.χ. $ημ^2x+συν^2x=1$ ) για απλοποίηση.

Σύνδεση με Φυσική

Η κίνηση ενός ελατηρίου ή ενός εκκρεμούς περιγράφεται με $x(t) = A\,ημ(\omega t)$ . Τότε:

Ταχύτητα: $v(t) = x'(t) = A\omega\,συν(\omega t)$
Επιτάχυνση: $a(t) = v'(t) = -A\omega^2\,ημ(\omega t) = -\omega^2 x(t)$

Η τελευταία εξίσωση είναι ο νόμος της αρμονικής ταλάντωσης! 🌊

Δες τα παραδείγματα 1–4 (σελίδες 92–95 του Γ' Τεύχους) για περισσότερες λυμένες εφαρμογές και αποδείξεις.