Παράγωγος Βασικών Συναρτήσεων – Κανόνες Παραγώγισης

Ο ορισμός της παραγώγου είναι θεωρητικά σημαντικός, αλλά πρακτικά άβολος. Εδώ θα αποδείξουμε τύπους για τις παραγώγους των πιο βασικών συναρτήσεων και θα δούμε τους κανόνες παραγώγισης: άθροισμα, σταθερά, γινόμενο, πηλίκο. Μαζί δίνουν ένα ισχυρό «εργαλείο» για τον γρήγορο υπολογισμό παραγώγων. 🛠️

📋 Οι βασικές παράγωγοι

1. Σταθερή συνάρτηση: $(c)' = 0$

Θεώρημα — Σταθερή συνάρτηση

Έστω $c \in \mathbb{R}$ και $f(x) = c$ , $x \in \mathbb{R}$ . Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και:

f'(x) = 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Απόδειξη:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{c - c}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{0}{\Delta x} = 0

Γεωμετρικά: η γραφική παράσταση $y = c$ είναι οριζόντια ευθεία με κλίση 0. 📐

2. Ταυτοτική συνάρτηση: $(x)' = 1$

Για $f(x) = x$ :

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta x} = 1

Γεωμετρικά: η $y = x$ είναι ευθεία κλίσης 1.

3. Δύναμη: $(x^\nu)' = \nu x^{\nu-1}$

Θεώρημα — Δύναμη (φυσικός εκθέτης)

Για $f(x) = x^\nu$ , $\nu \in \mathbb{N}$ , η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και:

f'(x) = \nu x^{\nu-1}, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Απόδειξη: Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα $a^\nu - \beta^\nu = (a - \beta)(a^{\nu-1} + a^{\nu-2}\beta + \cdots + \beta^{\nu-1})$ με $a = x + \Delta x$ , $\beta = x$ :

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^\nu - x^\nu}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\underbrace{[(x+\Delta x)^{\nu-1} + (x+\Delta x)^{\nu-2}x + \cdots + x^{\nu-1}]}_{\nu \text{ προσθετέοι}}

Καθώς $\Delta x \to 0$ , καθένας από τους $\nu$ προσθετέους τείνει στο $x^{\nu-1}$ , οπότε:

f'(x) = \underbrace{x^{\nu-1} + x^{\nu-1} + \cdots + x^{\nu-1}}_{\nu \text{ φορές}} = \nu x^{\nu-1} \ ✅

Επεκτάσεις του τύπου

Για $\nu$ αρνητικό ακέραιο: ισχύει στο $\mathbb{R} - \{0\}$ , με τον ίδιο τύπο $\nu x^{\nu-1}$ .
Για $r$ πραγματικό: ισχύει στο $(0, +\infty)$ , $(x^r)' = r x^{r-1}$ .

Έτσι, ο «κανόνας δύναμης» γενικεύεται για κάθε εκθέτη!

4. Τετραγωνική ρίζα: $\left(\sqrt{x}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Για $f(x) = \sqrt{x}$ , $x \in [0, +\infty)$ , η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ :

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x} - \sqrt{x}}{\Delta x}

Πολλαπλασιάζουμε με το συζυγές $\dfrac{\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+\Delta x} + \sqrt{x}}$ :

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x) - x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Προσοχή στο 0!

Η $\sqrt{x}$ δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0:

\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{x} - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x}} = +\infty

Γεωμετρικά: η γραφική παράσταση έχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο 0.

Εναλλακτική απόδειξη: Αφού $\sqrt{x} = x^{1/2}$ , από τον κανόνα δύναμης:

\left(x^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ ✅

5. Εκθετική: $(e^x)' = e^x$

Θεώρημα — $ e^x $

Η $f(x) = e^x$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ και:

f'(x) = e^x, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Απόδειξη: Γράφουμε:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0}\frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}

Κρίσιμο όριο: $\displaystyle\lim_{u \to 0}\frac{e^u - 1}{u} = 1$ . Αποδεικνύεται με την ανισότητα Bernoulli και το κριτήριο παρεμβολής (δες σελίδα 83 του Γ' Τεύχους). 💡

Άρα $f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x$ . ✅

Γενίκευση: Για $a > 0, a \neq 1$ :

(a^x)' = a^x \ln a

Γιατί τόσο ξεχωριστή η $ e^x $;

Η $e^x$ είναι η μόνη (ουσιαστικά) συνάρτηση που είναι ίση με την παράγωγό της. Αυτή η ιδιότητα την κάνει θεμελιώδη στα μαθηματικά και στη φυσική (π.χ. εκθετική αύξηση/μείωση, ραδιενεργός διάσπαση, ανατοκισμός).

🔧 Κανόνες Παραγώγισης

Εδώ είναι τα τέσσερα «αξιώματα» του λογισμού που αλλάζουν τα πάντα. 🚀

Κανόνας αθροίσματος

Θεώρημα — Παράγωγος αθροίσματος

Αν οι $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$ , τότε:

(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)

Απόδειξη:

(f+g)'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{[f(x_0+\Delta x) + g(x_0+\Delta x)] - [f(x_0)+g(x_0)]}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0) + g'(x_0) \ ✅

Ο κανόνας επεκτείνεται και σε περισσότερες συναρτήσεις:

(f_1 + f_2 + \cdots + f_\nu)'(x) = f_1'(x) + f_2'(x) + \cdots + f_\nu'(x)

Κανόνας γινομένου (Leibniz)

Θεώρημα — Παράγωγος γινομένου

Αν οι $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$ , τότε:

(f \cdot g)'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0)

Απόδειξη (σκελετός): Προσθέτουμε και αφαιρούμε $f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0)$ στον αριθμητή, ώστε να εμφανιστούν οι δύο λόγοι μεταβολής:

(fg)'(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0+\Delta x) - f(x_0)g(x_0)}{\Delta x}

= \lim\frac{[f(x_0+\Delta x) - f(x_0)]}{\Delta x}\cdot g(x_0) + \lim f(x_0+\Delta x)\cdot\frac{g(x_0+\Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}

= f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0) \ ✅

Πόρισμα (σταθερά επί συνάρτηση): Για $c \in \mathbb{R}$ :

(c \cdot f)'(x) = c \cdot f'(x)

διότι $(c)' = 0$ .

Επέκταση σε πολλαπλά γινόμενα

Για $\nu$ συναρτήσεις:

(f_1 f_2 \cdots f_\nu)' = f_1' f_2 \cdots f_\nu + f_1 f_2' \cdots f_\nu + \cdots + f_1 f_2 \cdots f_\nu'

Δηλαδή: παραγωγίζουμε μία-μία τη κάθε συνάρτηση κρατώντας τις υπόλοιπες αμετάβλητες και αθροίζουμε.

Κανόνας πηλίκου

Θεώρημα — Παράγωγος πηλίκου

Αν οι $f, g$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0$ και $g(x_0) \neq 0$ :

\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0) \cdot g(x_0) - f(x_0) \cdot g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}

Ιδέα απόδειξης: Γράφουμε τον λόγο μεταβολής του πηλίκου, φέρουμε κοινό παρονομαστή $g(x_0)\cdot g(x_0+\Delta x)$ , προσθαφαιρούμε $f(x_0)g(x_0)$ στον αριθμητή και καταλήγουμε στους λόγους μεταβολής των $f$ και $g$ . Πλήρης απόδειξη στη σελίδα 87 του Γ' Τεύχους. 📖

Μνημονικός κανόνας

Για να θυμάσαι τη σειρά στον αριθμητή του πηλίκου:

«πάνω παράγωγος επί κάτω, μείον πάνω επί κάτω παράγωγος, δια κάτω στο τετράγωνο»

ή πιο ποιητικά: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

📊 Συνοπτικός πίνακας

Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων

Συνάρτηση	Παράγωγος	Πεδίο
$f(x) = c$	$0$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x$	$1$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^\nu$ , $\nu \in \mathbb{N}$	$\nu x^{\nu-1}$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^r$ , $r \in \mathbb{R}$	$r x^{r-1}$	$(0,+\infty)$
$f(x) = \sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$(0,+\infty)$
$f(x) = e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$f(x) = a^x$ , $a>0, a\neq 1$	$a^x \ln a$	$\mathbb{R}$

Κανόνες παραγώγισης

Κανόνας	Τύπος
Άθροισμα	$(f+g)' = f' + g'$
Σταθερά	$(cf)' = c f'$
Γινόμενο	$(fg)' = f'g + fg'$
Πηλίκο	$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$

💡 Στρατηγική επίλυσης

Αναγνώριση μορφής: είναι άθροισμα; γινόμενο; πηλίκο;
Εφαρμογή κατάλληλου κανόνα (ή συνδυασμού).
Απλοποίηση του αποτελέσματος.
Επαλήθευση (π.χ. για τιμή σε συγκεκριμένο σημείο).

Δουλεμένο παράδειγμα

Για $f(x) = x e^x$ , εφαρμόζουμε τον κανόνα γινομένου:

f'(x) = (x)' e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x)

Δουλεμένο παράδειγμα 2

Για $f(x) = \dfrac{x}{x-2}$ , $x \neq 2$ :

f'(x) = \frac{(x)'(x-2) - x(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{(x-2) - x}{(x-2)^2} = \frac{-2}{(x-2)^2}

Δες τα παραδείγματα 1–5 (σελίδες 81–87 του Γ' Τεύχους) για περισσότερους λυμένους ασκητές.