Παράγωγος Συνάρτηση

Μέχρι τώρα μελετήσαμε την παράγωγο σε ένα σημείο. Η ιδέα αυτής της ενότητας είναι απλή αλλά σημαντική: αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη σε πολλά σημεία, τότε το $x \mapsto f'(x)$ ορίζει μια νέα συνάρτηση, την παράγωγο συνάρτηση. 🔄

🧭 Από το σημείο στη συνάρτηση

Έστω $f$ με πεδίο ορισμού $\Delta \subseteq \mathbb{R}$ . Αν σε κάθε σημείο $x_0 \in \Delta$ υπάρχει η $f'(x_0)$ , τότε καθένα $x$ αντιστοιχίζεται με μοναδικό τρόπο στο $f'(x) \in \mathbb{R}$ . Αυτή η αντιστοίχιση είναι συνάρτηση! ✨

Ορισμός (Παραγωγισιμότητα σε σύνολο)

Η συνάρτηση $f$ λέγεται παραγωγίσιμη στο $\Delta$ , όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο $x_0 \in \Delta$ .

Παραγωγισιμότητα σε διάφορα σύνολα

Σε υποσύνολο $A \subseteq \Delta$ : όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x_0 \in A$ .
Σε ανοικτό διάστημα $(a, \beta) \subseteq \Delta$ : όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x_0 \in (a, \beta)$ .
Σε κλειστό διάστημα $[a, \beta] \subseteq \Delta$ : όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε $x_0 \in (a, \beta)$ και επιπλέον υπάρχουν (ως πραγματικοί) τα πλευρικά όρια στα άκρα:

\lim_{x \to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \in \mathbb{R}, \quad \lim_{x \to \beta^-}\frac{f(x)-f(\beta)}{x-\beta} \in \mathbb{R}

Γιατί στα άκρα μόνο πλευρικό όριο;

Στα άκρα ενός κλειστού διαστήματος δεν μπορείς να πλησιάσεις από τις δύο πλευρές — μόνο από μέσα. Έτσι, χρησιμοποιούμε τη μόνη διαθέσιμη «πλευρά» του ορίου.

🔄 Η πρώτη παράγωγος συνάρτηση

Ορισμός (Πρώτη παράγωγος)

Έστω $f : \Delta \to \mathbb{R}$ και $A$ το σύνολο των σημείων του $\Delta$ στα οποία η $f$ είναι παραγωγίσιμη. Η συνάρτηση:

f' : A \to \mathbb{R}, \quad x \mapsto f'(x)

ονομάζεται πρώτη παράγωγος της $f$ (ή απλά παράγωγος της $f$ ).

Ο τύπος είναι:

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Συμβολισμοί

Την $f'$ μπορούμε να τη γράψουμε και ως:

$\dfrac{df}{dx}$ (συμβολισμός Leibniz) ✍️
$y'$ , όταν $y = f(x)$
$Df$ (συμβολισμός τελεστή, σπανιότερος στο Λύκειο)

📊 Παράγωγοι ανώτερης τάξης

Η παράγωγος της παραγώγου έχει ξεχωριστό όνομα και δική της σημασία.

Ορισμός (Δεύτερη παράγωγος)

Αν το $A$ είναι διάστημα (ή ένωση διαστημάτων) και η $f'$ είναι παραγωγίσιμη στο $A$ , τότε η παράγωγος της $f'$ ονομάζεται δεύτερη παράγωγος της $f$ και συμβολίζεται:

f''(x), \quad \frac{d^2 f}{dx^2}, \quad f^{(2)}(x)

Γενικότερα, ορίζουμε επαγωγικά την νιοστή παράγωγο:

f^{(\nu)}(x) = \left[f^{(\nu-1)}(x)\right]', \quad \nu \in \mathbb{N}, \ \nu \geq 2

δηλαδή παραγωγίζουμε $\nu$ φορές διαδοχικά.

Φυσική ερμηνεία

Αν $s(t)$ είναι η θέση ενός κινητού:

$s'(t) = v(t)$ ⟹ ταχύτητα
$s''(t) = v'(t) = a(t)$ ⟹ επιτάχυνση
$s'''(t)$ ⟹ «jerk» (ρυθμός αλλαγής της επιτάχυνσης) — κρίσιμο στον σχεδιασμό οχημάτων για την άνεση των επιβατών! 🚗

🧮 Παράδειγμα εύρεσης παραγώγου συνάρτησης

Ας βρούμε την παράγωγο της $f(x) = x^2$ σε τυχαίο $x \in \mathbb{R}$ :

f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}(2x + \Delta x) = 2x

Άρα $f'(x) = 2x$ , για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . ✅

Αντίστοιχα, για $f(x) = x^3 - x$ παίρνουμε $f'(x) = 3x^2 - 1$ (δες τις πράξεις στο παράδειγμα 2 της σελίδας 78).

⚠️ Διακλαδισμένες συναρτήσεις — προσοχή στα σημεία σύνδεσης

Για συνάρτηση της μορφής:

f(x) = \begin{cases} g(x), & x < c \\ h(x), & x \geq c \end{cases}

υπολογίζουμε την παράγωγο σε κάθε ανοικτό διάστημα χωριστά (ως $g'(x)$ και $h'(x)$ ) και χωριστά ελέγχουμε αν υπάρχει $f'(c)$ μέσω των πλευρικών ορίων. Συχνά η $f$ είναι παραγωγίσιμη παντού εκτός του $c$ .

Δουλεμένο παράδειγμα

Για $f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ \sqrt{x}, & x \geq 1 \end{cases}$ :

Για $x < 1$ : $f'(x) = 2x$
Για $x > 1$ : $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
Στο $x_0 = 1$ : πλευρικά όρια του λόγου μεταβολής δίνουν $2 \neq \dfrac{1}{2}$ ⟹ δεν υπάρχει $f'(1)$ .

🎯 Σύνοψη διαδικασίας

Γράφω το όριο του λόγου $\dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$ .
Απλοποιώ και υπολογίζω το όριο καθώς $\Delta x \to 0$ .
Αν το όριο υπάρχει για κάθε $x$ σε ένα σύνολο $A$ , τότε $f'$ ορίζεται στο $A$ .
Για ανώτερες παραγώγους, παραγωγίζω ξανά.

Σημαντική παρατήρηση

Η εύρεση της παραγώγου με τον ορισμό είναι διδακτικά χρήσιμη, αλλά πρακτικά δύσκολη για πιο σύνθετες συναρτήσεις. Γι' αυτό στην επόμενη ενότητα θα δούμε τους κανόνες παραγώγισης που μας επιτρέπουν να βρίσκουμε παραγώγους χωρίς να χρησιμοποιούμε τον ορισμό κάθε φορά. 🚀

Δες τα παραδείγματα 1–3 (σελίδες 78–79 του Γ' Τεύχους) για πλήρεις υπολογισμούς.