Καμπυλόγραμμα και μικτόγραμμα επίπεδα σχήματα

Όταν ένα σχήμα σχηματίζεται από τόξα κύκλων ή από συνδυασμό τόξων και ευθυγράμμων τμημάτων, χρειαζόμαστε νέα ορολογία και τεχνικές υπολογισμού. Αυτή η ενότητα συγκεντρώνει την εμπειρία από μήκη τόξων και εμβαδά τομέων/τμημάτων για να αντιμετωπίσουμε σύνθετα σχήματα. 🌙

📖 Ορολογία

Καμπυλόγραμμο σχήμα: κάθε επίπεδο κλειστό σχήμα που περικλείεται μεταξύ καμπύλων γραμμών. Στην ενότητα αυτή οι καμπύλες είναι τόξα κύκλων.

Μικτόγραμμο σχήμα: κάθε επίπεδο κλειστό σχήμα που περικλείεται μεταξύ καμπύλων γραμμών και ευθυγράμμων τμημάτων.

Παραδείγματα

Καμπυλόγραμμο: μηνίσκος, καμπυλόγραμμο τρίγωνο από τρία τόξα.
Μικτόγραμμο: κυκλικό τμήμα, μικτόγραμμο τρίγωνο από χορδή και τόξο.

🌙 Μηνίσκος

Μηνίσκος: το καμπυλόγραμμο σχήμα που περικλείεται από δύο τόξα κύκλων που έχουν κοινή χορδή και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της χορδής.

Ετυμολογία

Η λέξη «μηνίσκος» είναι υποκοριστικό της αρχαίας ελληνικής λέξης «μήνη», που σημαίνει «σελήνη» 🌙 — λόγω του σχήματος που θυμίζει μισοφέγγαρο.

Τύπος εμβαδού μηνίσκου

Αν συμβολίσουμε με $E_{\kappa.\tau\mu.1}$ το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος του μεγάλου κύκλου (από το ίδιο μέρος) και με $E_{\kappa.\tau\mu.2}$ το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος του μικρού κύκλου:

\boxed{E_{\mu\eta\nu} = E_{\kappa.\tau\mu.1} - E_{\kappa.\tau\mu.2}.}

Σχήμα: βλ. PDF σελ. 50.

🎨 Τετραγωνισμός καμπυλόγραμμου σχήματος

Όταν ένα καμπυλόγραμμο ή μικτόγραμμο κλειστό χωρίο είναι ισοδύναμο με ένα ευθύγραμμο κλειστό σχήμα (δηλαδή έχουν ίσα εμβαδά), λέμε ότι το καμπυλόγραμμο χωρίο «τετραγωνίζεται».

Ιστορική νύξη

Το γενικό πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου (βρες τετράγωνο ισοδύναμο με δεδομένο κύκλο, μόνο με κανόνα και διαβήτη) δεν λύνεται (Lindemann, 1882, από την υπερβατικότητα του $\pi$ ). Ωστόσο, συγκεκριμένοι μηνίσκοι τετραγωνίζονται! 🎯

🌟 Παράδειγμα — ο μηνίσκος που τετραγωνίζεται

Σε κύκλο $(K, R)$ θεωρούμε δύο κάθετες διαμέτρους $AB, ΓΔ$ . Με κέντρο $A$ και ακτίνα $AΓ = \rho$ γράφουμε το τόξο $\widehat{ΓHΔ}$ , που τέμνει την $AB$ στο $H$ . Ζητάμε το εμβαδόν του μηνίσκου $ΓHΔBΓ$ .

Λύση: Το εμβαδόν του μηνίσκου είναι η διαφορά του εμβαδού του ημικυκλίου διαμέτρου $ΓΔ$ από το εμβαδόν του κυκλικού τμήματος $ΓHΔΓ$ του κύκλου $(A, \rho)$ .

Η ακτίνα του κύκλου $(A, \rho)$ :

\rho = AΓ = \sqrt{AK^2 + KΓ^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}.

Η γωνία $\angle ΓAΔ = 90°$ (αφού το $AΓKΔ$ είναι τετράγωνο με πλευρά $R$ ).
Εμβαδόν κυκλικού τμήματος $ΓHΔΓ$ :

E_{\kappa.\tau\mu.2} = E_{\tau o\mu(AΓHΔ)} - E_{\triangle AΓΔ} = \frac{\pi \rho^2 \cdot 90°}{360°} - \frac{ΓA \cdot AΔ}{2} = \frac{\pi (R\sqrt{2})^2}{4} - \frac{R\sqrt{2} \cdot R\sqrt{2}}{2}.

Υπολογίζοντας:

E_{\kappa.\tau\mu.2} = \frac{\pi \cdot 2R^2}{4} - R^2 = \frac{\pi R^2}{2} - R^2.

Εμβαδόν ημικυκλίου διαμέτρου $ΓΔ = 2R$ :

E_{\kappa.\tau\mu.1} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{\pi R^2}{2}.

Άρα:

E_{\mu\eta\nu} = E_{\kappa.\tau\mu.1} - E_{\kappa.\tau\mu.2} = \frac{\pi R^2}{2} - \left(\frac{\pi R^2}{2} - R^2\right) = R^2.

Παρατήρηση!

Ο μηνίσκος έχει εμβαδόν ακριβώς $R^2$ — είναι δηλαδή ισοδύναμος με τετράγωνο πλευράς $R$ ! Ο $\pi$ εξαφανίστηκε από τον τύπο. Το καμπυλόγραμμο σχήμα τετραγωνίστηκε! 🌟

📜 Οι μηνίσκοι του Ιπποκράτη

Θεώρημα (Ιπποκράτη του Χίου): Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABΓ$ με υποτείνουσα $BΓ$ , γράφουμε ημικύκλια με διαμέτρους τις τρεις πλευρές, στο ημιεπίπεδο $(BΓ, A)$ . Τότε:

\mu_1 + \mu_2 = E_{\triangle ABΓ},

όπου $\mu_1, \mu_2$ τα εμβαδά των μηνίσκων που σχηματίζονται πάνω στις κάθετες πλευρές $AB, AΓ$ .

Απόδειξη

Αν $\tau_1, \tau_2$ τα εμβαδά των κυκλικών τμημάτων χορδών $AB, AΓ$ στο ημικύκλιο διαμέτρου $BΓ$ , τότε:

\mu_1 = (\mu_1 + \tau_1) - \tau_1 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{AB}{2}\right)^2 - \tau_1,

\mu_2 = (\mu_2 + \tau_2) - \tau_2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{AΓ}{2}\right)^2 - \tau_2.

Προσθέτοντας:

\mu_1 + \mu_2 = \frac{\pi}{8}(AB^2 + AΓ^2) - (\tau_1 + \tau_2) = \frac{\pi}{8}(BΓ)^2 - (\tau_1 + \tau_2),

χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα $AB^2 + AΓ^2 = BΓ^2$ .

Όμως:

\frac{\pi}{8}(BΓ)^2 = \frac{1}{2}\pi\left(\frac{BΓ}{2}\right)^2 = E_{\text{ημικυκλίου διαμέτρου } BΓ} = \tau_1 + \tau_2 + E_{\triangle ABΓ}.

Αντικαθιστώντας:

\mu_1 + \mu_2 = (\tau_1 + \tau_2 + E_{\triangle ABΓ}) - (\tau_1 + \tau_2) = E_{\triangle ABΓ}. \quad \blacksquare

Ιστορική σημασία

Οι μηνίσκοι αυτοί είναι γνωστοί ως «μηνίσκοι του Ιπποκράτη». Αποτελούν το πρώτο μη ευθύγραμμο επίπεδο σχήμα που τετραγωνίστηκε από τον Ιπποκράτη το Χίο (470 – 400 π.Χ.). Η ανακάλυψη αυτή γέννησε τις ελπίδες ότι ίσως και ο ίδιος ο κύκλος τετραγωνίζεται — ελπίδες που κατέρρευσαν 23 αιώνες αργότερα! 📜

Σχήμα: βλ. PDF σελ. 51.

🧭 Στρατηγική για καμπυλόγραμμα/μικτόγραμμα

Διέσπασε το σχήμα σε απλά κομμάτια: τομείς, τμήματα, τρίγωνα, παραλληλόγραμμα, δίσκους, ημικύκλια.
Εντόπισε συμμετρίες: αν δύο τμήματα είναι συμμετρικά, υπολογίζεις το ένα.
Εφάρμοσε Πρόσθεση/Αφαίρεση εμβαδών ανάλογα με το αν το κομμάτι περιλαμβάνεται ή αφαιρείται.
Υπολόγισε ξεχωριστά περίμετρο και εμβαδόν — η περίμετρος αθροίζει μήκη τόξων και ευθυγράμμων τμημάτων.

Τυπικά σχήματα

Καμπυλόγραμμο τρίγωνο από 3 τόξα (τα κέντρα των κύκλων σε κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου).
Μικτόγραμμο τρίγωνο από χορδή + τόξο.
Μηνίσκοι σε ορθογώνιο τρίγωνο.
Διάφορα «σκιασμένα» σχήματα σε ορθογώνια/τετράγωνα με τόξα στις γωνίες τους.

Τυπικός τύπος για μηνίσκο

E_{\mu\eta\nu} = E_{\kappa.\tau\mu.1} - E_{\kappa.\tau\mu.2}.

Συχνά ο ένας από τους δύο όρους είναι ημικύκλιο, άρα πολύ απλός. 🎯