Μήκος κύκλου – Μήκος τόξου

Η ενότητα αυτή συνδέει την εμπειρική ιδέα ότι «ο κύκλος είναι σαν πολύγωνο με πολύ πολλές πλευρές» με μια αυστηρή απόδειξη μέσω ορίων. Θα φτάσουμε στον θεμελιώδη τύπο $\Gamma = 2\pi R$ και στον τύπο του μήκους τόξου. 🎯

🌀 Ορισμός μήκους κύκλου

Θεωρούμε κύκλο $(K, R)$ και την ακολουθία των κανονικών πολυγώνων που είναι εγγεγραμμένα σε αυτόν και έχουν $3, 4, 5, \ldots, \nu, \ldots$ πλευρές. Οι περίμετροί τους σχηματίζουν την αύξουσα ακολουθία:

\Pi_3, \Pi_4, \Pi_5, \ldots, \Pi_\nu, \ldots \quad (1)

Η ακολουθία είναι φραγμένη από πάνω (π.χ. από την περίμετρο οποιουδήποτε περιγεγραμμένου πολυγώνου), άρα συγκλίνει.

Ορισμός

Το όριο της ακολουθίας (1) ονομάζεται μήκος κύκλου και συμβολίζεται με $\Gamma$ :

\Gamma = \lim_{\nu \to \infty} \Pi_\nu.

Αποδεικνύεται ότι αν τα εγγεγραμμένα πολύγωνα δεν είναι κανονικά, η ακολουθία των περιμέτρων τους τείνει στο ίδιο όριο $\Gamma$ , αρκεί οι πλευρές τους να μικραίνουν απεριόριστα. ✨

📐 Θεώρημα του Ιπποκράτη του Χίου

Ο λόγος του μήκους κύκλου προς τη διάμετρό του είναι ο ίδιος σε όλους τους κύκλους.

Απόδειξη

Θεωρούμε δύο τυχαίους κύκλους $(K, R)$ και $(O, \rho)$ με μήκη $\Gamma$ και $\gamma$ αντίστοιχα. Συμβολίζουμε $\Pi_\nu$ και $\pi_\nu$ τις περιμέτρους των εγγεγραμμένων σε αυτούς κανονικών $\nu$ -γώνων.

Επειδή δύο κανονικά πολύγωνα με ίδιο πλήθος πλευρών είναι όμοια (Θεώρημα 2 από προηγούμενη ενότητα), ο λόγος των περιμέτρων τους ισούται με τον λόγο των ακτίνων τους:

\frac{\Pi_\nu}{\pi_\nu} = \frac{R}{\rho} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{\Pi_\nu}{2R} = \frac{\pi_\nu}{2\rho}, \quad \forall \nu \geq 3.

Άρα οι ακολουθίες $\left\{\dfrac{\Pi_\nu}{2R}\right\}$ και $\left\{\dfrac{\pi_\nu}{2\rho}\right\}$ είναι ίσες, επομένως έχουν το ίδιο όριο:

\lim_{\nu \to \infty} \frac{\Pi_\nu}{2R} = \lim_{\nu \to \infty} \frac{\pi_\nu}{2\rho} \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{\Gamma}{2R} = \frac{\gamma}{2\rho}. \quad \blacksquare

Συνέπεια — ορισμός του $ \pi $

Ο σταθερός αυτός λόγος συμβολίζεται διεθνώς με το ελληνικό γράμμα $\pi$ :

\frac{\Gamma}{2R} = \pi \quad \Longleftrightarrow \quad \boxed{\Gamma = 2\pi R}.

🔢 Υπολογισμός του $\pi$ — η ιδέα του Αρχιμήδη

Για να προσεγγίσουμε το $\pi$ , θεωρούμε κύκλο ακτίνας $R = \tfrac{1}{2}$ . Τότε $\Gamma = 2\pi \cdot \tfrac{1}{2} = \pi$ . Η ακολουθία των περιμέτρων των εγγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων τείνει στο $\pi$ .

Ο Αρχιμήδης υπολόγισε διαδοχικά τις περιμέτρους για $\nu = 6, 12, 24, 48, 96$ (εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα) και κατέληξε στο φράγμα:

3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac{1}{7}.

Διαχρονικές προσεγγίσεις

Βαβυλώνιοι: $\pi \approx 3{,}125$ .
Αιγύπτιοι (Rhind Papyrus): $\pi \approx 3{,}16$ .
Αρχιμήδης: $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$ .
Σήμερα: $\pi = 3{,}14159265358979\ldots$ (με τρισεκατομμύρια ψηφία!). 🤯

Σχήματα: βλ. PDF σελ. 39 (εγγεγραμμένο/περιγεγραμμένο εξάγωνο και 12-γωνο), σελ. 40 (σχεδιάγραμμα υπολογισμού).

🎯 Παράδειγμα υπολογισμού

Πρόβλημα: Να υπολογιστεί η ακτίνα κύκλου που έχει μήκος $\Gamma = \dfrac{\pi}{4}$ cm.

Λύση: Από τον τύπο $\Gamma = 2\pi R$ :

\frac{\pi}{4} = 2\pi R \Longleftrightarrow R = \frac{1}{8} \text{ cm} = 0{,}125 \text{ cm}.

📏 Μήκος τόξου

Ο κύκλος αντιστοιχεί σε τόξο μέτρου $360°$ και έχει μήκος $\Gamma = 2\pi R$ . Άρα τόξο μέτρου $1°$ έχει μήκος $\dfrac{\Gamma}{360°} = \dfrac{2\pi R}{360°}$ .

Συνεπώς, τόξο μέτρου $\mu°$ έχει μήκος:

\boxed{\gamma = \frac{2\pi R \cdot \mu°}{360°}.}

Σε ακτίνια (rad)

Αν το τόξο έχει μέτρο $\alpha$ rad (όπου $\alpha = \dfrac{\pi \mu°}{180°}$ ), τότε ο τύπος απλοποιείται ωραία:

\gamma = R \alpha.

Γι' αυτό τα ακτίνια είναι η «φυσική» μονάδα μέτρησης γωνιών. 🎯

🎯 Παραδείγματα

Παράδειγμα 1. Τρεις ίσοι κύκλοι ακτίνας $R$ εφάπτονται ανά δύο εξωτερικά στα σημεία $A, B, Γ$ . Να βρεθεί η περίμετρος του καμπυλόγραμμου τριγώνου $ABΓ$ .

Λύση: Τα κέντρα $K, \Lambda, M$ των τριών κύκλων είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς $2R$ . Κάθε μικρό τόξο $\widehat{AB}, \widehat{BΓ}, \widehat{ΓA}$ έχει μέτρο $60°$ :

\gamma = \frac{2\pi R \cdot 60°}{360°} = \frac{\pi R}{3}.

Άρα η περίμετρος του καμπυλόγραμμου τριγώνου είναι $3\gamma = \pi R$ . 🎯

Παράδειγμα 2. Σε κύκλο $(O, R)$ θεωρούμε διάμετρο $AB$ και χορδές $AΓ = 2$ , $BΓ = 2\sqrt{3}$ . Να υπολογιστεί το μήκος του κύκλου.

Λύση: Αφού $AB$ διάμετρος, η $\angle AΓB = 90°$ (εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο). Από Πυθαγόρειο:

AB^2 = AΓ^2 + BΓ^2 \Rightarrow (2R)^2 = 4 + 12 = 16 \Rightarrow R = 2.

Μήκος κύκλου: $\Gamma = 2\pi R = 4\pi$ cm.

🧭 Πρακτική στρατηγική

Για μήκος κύκλου, θυμήσου τον τύπο $\Gamma = 2\pi R$ (ισοδύναμα $\Gamma = \pi d$ όπου $d = 2R$ ).
Για μήκος τόξου, βρες πρώτα το μέτρο $\mu°$ του τόξου (ή την επίκεντρη γωνία) και εφάρμοσε $\gamma = \dfrac{2\pi R \mu°}{360°}$ .
Σε προβλήματα με περιστροφές τροχών: αν ένας τροχός κάνει $n$ στροφές, διανύει απόσταση $n \cdot 2\pi R$ . 🚴
Σε καμπυλόγραμμα σχήματα, διέσπασε το σχήμα σε τόξα και ευθύγραμμα τμήματα και άθροισε τα μήκη.

Κοινά λάθη

Μην ξεχνάς το μέτρο τόξου στη μονάδα που δουλεύεις (μοίρες ή rad).
Ο τύπος $\gamma = R\alpha$ μόνο για rad!
Σε ημικύκλιο, το τόξο έχει μέτρο $180°$ και μήκος $\pi R$ (όχι $2\pi R$ ).