Κανονικά πολύγωνα — Εισαγωγή

Πριν μελετήσουμε τα κανονικά πολύγωνα, χρειάζεται να θυμηθούμε τι είναι ένα κυρτό πολύγωνο, πώς ορίζονται οι γωνίες του και πώς υπολογίζεται το άθροισμά τους. Η ενότητα αυτή θεμελιώνει τη γλώσσα που θα χρησιμοποιήσουμε παρακάτω. 📐

📖 Βασικές έννοιες

Κυρτή πολυγωνική γραμμή: πολυγωνική γραμμή στην οποία όλες οι κορυφές βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο από τα δύο που ορίζει κάθε πλευρά της.

Κλειστή κυρτή πολυγωνική γραμμή: κυρτή γραμμή με τουλάχιστον τρεις πλευρές, όπου η πρώτη και η τελευταία κορυφή ταυτίζονται.

Κυρτό πολύγωνο: το πολύγωνο που περικλείεται από κυρτή κλειστή πολυγωνική γραμμή.

Χαρακτηριστικά κυρτού πολυγώνου

Όλες οι γωνίες του είναι κυρτές (δηλ. μέτρου < $180°$ ή $2L$ = δύο ορθές).
Πλήθος πλευρών = πλήθος κορυφών = πλήθος γωνιών.
Ένα πολύγωνο με $\nu$ κορυφές λέγεται $\nu$ -γωνο (τρίγωνο, πεντάγωνο, εξάγωνο…). Εξαίρεση: το πολύγωνο με $4$ κορυφές λέγεται τετράπλευρο (όχι «τετράγωνο», που έχει ειδική σημασία).

Σχήματα: βλ. PDF σελ. 23 (κυρτή και μη κυρτή πολυγωνική γραμμή).

📐 Άθροισμα εσωτερικών γωνιών

Πρόταση: Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών κυρτού πολυγώνου $\nu$ πλευρών ισούται με:

\boxed{S = (\nu - 2) \cdot 180° \quad \big(\text{ή } (2\nu-4)L\big).}

Απόδειξη — διαμερισμός σε τρίγωνα

Από μία σταθερή κορυφή του πολυγώνου φέρουμε τις διαγωνίους προς όλες τις άλλες μη γειτονικές κορυφές. Το πολύγωνο χωρίζεται σε ακριβώς $\nu - 2$ τρίγωνα που δεν επικαλύπτονται.

Γιατί $\nu - 2$ ; Επειδή η επιλεγμένη κορυφή δεν συνδέεται διαγώνια με τον εαυτό της και με τις δύο γειτονικές κορυφές, άρα οι διαγώνιοι καταλήγουν σε $\nu - 3$ κορυφές, σχηματίζοντας $\nu - 2$ τριγωνικές περιοχές.

Κάθε τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών $180°$ . Τα τρίγωνα «μοιράζονται» συνολικά όλες τις εσωτερικές γωνίες του πολυγώνου χωρίς επικάλυψη, άρα:

S = (\nu - 2) \cdot 180°. \quad \blacksquare

Παραδείγματα

Τρίγωνο ( $\nu = 3$ ): $S = 1 \cdot 180° = 180°$ . ✓
Τετράπλευρο ( $\nu = 4$ ): $S = 2 \cdot 180° = 360°$ . ✓
Πεντάγωνο ( $\nu = 5$ ): $S = 3 \cdot 180° = 540°$ .
Εξάγωνο ( $\nu = 6$ ): $S = 4 \cdot 180° = 720°$ .
Δεκάγωνο ( $\nu = 10$ ): $S = 8 \cdot 180° = 1440°$ .

🎯 Εξωτερικές γωνίες

Στο κάθε $\nu$ -γωνο, κάθε εσωτερική γωνία $\varphi_i$ έχει παραπληρωματική της την εξωτερική $\epsilon_i$ ( $\varphi_i + \epsilon_i = 180°$ ). Συνολικά:

\sum_{i=1}^{\nu} \epsilon_i = \nu \cdot 180° - \sum_{i=1}^{\nu} \varphi_i = \nu \cdot 180° - (\nu - 2) \cdot 180° = 2 \cdot 180° = 360°.

Έκπληξη!

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου (τρίγωνο, πεντάγωνο, 100-γωνο…) είναι πάντα $360°$ , ανεξαρτήτως πλήθους πλευρών. Αυτή η «αμετάβλητη» ιδιότητα χρησιμεύει σε πολλές ασκήσεις. 🎯

🧭 Γιατί χρειαζόμαστε όλα αυτά;

Στην επόμενη ενότητα θα ορίσουμε τα κανονικά πολύγωνα (ίσες πλευρές και ίσες γωνίες) και θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $(\nu - 2) \cdot 180°$ για να υπολογίσουμε τη γωνία κάθε κανονικού $\nu$ -γώνου. Επίσης, θα δούμε πώς τα κανονικά πολύγωνα «τετραγωνίζουν» τον κύκλο (μέθοδος Αρχιμήδη). ✨