Περιγράψιμα τετράπλευρα

Όπως στη μελέτη των εγγραψίμων, αντιστρέφουμε και τώρα την ερώτηση: πότε ένα τετράπλευρο μπορεί να περιγραφεί γύρω από κύκλο (δηλαδή να δεχθεί εγγεγραμμένο κύκλο); Θα δούμε δύο ισοδύναμα κριτήρια. 🔎

📖 Ορισμός

Ένα τετράπλευρο λέγεται περιγράψιμο σε κύκλο, όταν μπορεί να γραφεί κύκλος ο οποίος εφάπτεται σε όλες τις πλευρές του.

📐 Θεώρημα (Κριτήρια περιγραψιμότητας)

Ένα τετράπλευρο $ABΓΔ$ είναι περιγράψιμο σε κύκλο όταν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

(α) Οι διχοτόμοι των γωνιών του τετραπλεύρου διέρχονται από το ίδιο σημείο.

(β) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών του είναι ίσα:

🧪 Αποδείξεις

Απόδειξη της (α)

Έστω ότι οι διχοτόμοι των γωνιών $ABΓΔ$ διέρχονται από το σημείο $K$. Από το $K$ φέρουμε τα κάθετα τμήματα $KE, KZ, KH, K\Theta$ προς τις πλευρές $AB, BΓ, ΓΔ, AΔ$ αντίστοιχα.

Γνωρίζουμε την ιδιότητα: κάθε σημείο διχοτόμου γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας.

• Από $\angle A$: $KE = K\Theta$.
• Από $\angle B$: $KE = KZ$.
• Από $\angle Γ$: $KZ = KH$.
• Από $\angle Δ$: $KH = K\Theta$.

Όλες οι αποστάσεις είναι ίσες με κάποιο κοινό $\rho$. Άρα το $K$ ισαπέχει από όλες τις πλευρές του τετραπλεύρου. Ο κύκλος $(K, \rho)$ εφάπτεται σε κάθε πλευρά → το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο. ✅

Απόδειξη της (β) — εις άτοπον απαγωγή

Υποθέτουμε ότι:

Έστω $K$ το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών $\angle Δ$ και $\angle Γ$, και $KZ, KH, K\Theta$ οι αποστάσεις του από τις $ΓB, ΓΔ, ΔA$ αντίστοιχα. Από το σκεπτικό της (α) έχουμε $KZ = KH = K\Theta = \rho$. Άρα ο κύκλος $(K, \rho)$ εφάπτεται σε τρεις πλευρές του.

Ισχυριζόμαστε ότι εφάπτεται και στην τέταρτη $AB$. Έστω το αντίθετο: τότε φέρουμε την εφαπτομένη $AB'$ από το $A$ στον κύκλο. Το τετράπλευρο $AB'ΓΔ$ είναι περιγεγραμμένο, άρα από την ιδιότητα της προηγούμενης ενότητας:

Αφαιρώντας κατά μέλη την (2) από την (1):

Δηλαδή $AB = AB' + BB'$, όμως αυτό λέει ότι τα $A, B', B$ είναι συνευθειακά και το $B'$ ανάμεσά τους — άτοπο (τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο $AB'B$: μία πλευρά ίση με άθροισμα των άλλων δύο).

Άρα ο κύκλος εφάπτεται και στην $AB$, και το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο. ✅

Σχήματα απόδειξης: βλ. PDF σελ. 19–20.

💡 Εφαρμογές

🧭 Στρατηγική ασκήσεων

1. Αν έχεις τις τέσσερις πλευρές, υπολόγισε $AB + ΓΔ$ και $BΓ + AΔ$: αν είναι ίσα, το τετράπλευρο είναι περιγράψιμο.
2. Αν θέλεις να υπολογίσεις άγνωστη πλευρά υπό την προϋπόθεση περιγραψιμότητας, χρησιμοποίησε την ίδια σχέση ως εξίσωση.
3. Για να δείξεις ότι ένα σχήμα είναι ρόμβος, συνδύασε παραλληλογραμμικότητα + περιγραψιμότητα.