Περιγεγραμμένα τετράπλευρα

Στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα οι κορυφές ακουμπούν τον κύκλο. Στα περιγεγραμμένα τετράπλευρα οι πλευρές εφάπτονται στον κύκλο. Η αλλαγή αυτή μετατοπίζει το κέντρο βάρους της θεωρίας από τις γωνίες στις πλευρές και τα εφαπτόμενα τμήματα. 🔵

📖 Ορισμός

Ένα τετράπλευρο λέγεται περιγεγραμμένο σε κύκλο, όταν όλες οι πλευρές του είναι εφαπτόμενες του κύκλου. Ο κύκλος τότε λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος στο τετράπλευρο.

Γιατί «εφαπτόμενες»

Η εφαπτομένη κύκλου είναι κάθετη στην ακτίνα στο σημείο επαφής. Αυτή η ορθογωνιότητα δίνει πολλές ισότητες ορθογωνίων τριγώνων, τις οποίες θα αξιοποιήσουμε στις αποδείξεις.

Σχήμα: βλ. PDF σελ. 18 (τετράπλευρο εφαπτόμενο σε κύκλο με σημεία επαφής $E, Z, H, \Theta$ ).

📐 Θεώρημα — Ιδιότητες

Κάθε περιγεγραμμένο σε κύκλο τετράπλευρο $ABΓΔ$ έχει τις εξής ιδιότητες:

(α) Τα αθροίσματα των απέναντι πλευρών είναι ίσα:

\boxed{AB + ΓΔ = BΓ + AΔ.}

(β) Οι διχοτόμοι των γωνιών του τετραπλεύρου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

🧪 Αποδείξεις

Απόδειξη της (α) — τα εφαπτόμενα τμήματα

Από τον ορισμό, οι πλευρές $AB, BΓ, ΓΔ, ΔA$ εφάπτονται στον κύκλο $(K, \rho)$ . Έστω $E, Z, H, \Theta$ τα αντίστοιχα σημεία επαφής στις πλευρές $AB, BΓ, ΓΔ, ΔA$ .

Χρησιμοποιούμε τη θεμελιώδη ιδιότητα: τα δύο εφαπτόμενα τμήματα που φέρονται από ένα σημείο προς έναν κύκλο είναι ίσα. Άρα:

AE = A\Theta, \qquad BE = BZ, \qquad ΓH = ΓZ, \qquad ΔH = Δ\Theta.

Προσθέτοντας κατά μέλη:

AE + BE + ΓH + ΔH = A\Theta + BZ + ΓZ + Δ\Theta.

Αλλά το αριστερό μέλος είναι ακριβώς $AB + ΓΔ$ (αφού $AB = AE + EB$ και $ΓΔ = ΓH + HΔ$ ) και το δεξί είναι $AΔ + BΓ$ . Άρα:

AB + ΓΔ = AΔ + BΓ. \quad \blacksquare

Απόδειξη της (β) — διχοτόμοι γωνιών

Στα ορθογώνια τρίγωνα $AEK$ και $AK\Theta$ :

$KE = K\Theta = \rho$ (ακτίνες στα σημεία επαφής),
$AK$ κοινή υποτείνουσα,
οι γωνίες στα $E, \Theta$ είναι ορθές.

Από το κριτήριο Υποτείνουσα–Κάθετη (ή ισοδύναμα Πυθαγόρειο), τα δύο τρίγωνα είναι ίσα. Επομένως $\angle EAK = \angle \Theta AK$ , δηλαδή το $AK$ είναι διχοτόμος της $\angle A$ .

Ομοίως αποδεικνύεται ότι $BK, ΓK, ΔK$ είναι διχοτόμοι των αντίστοιχων γωνιών. Άρα και οι τέσσερις διχοτόμοι συντρέχουν στο $K$ . ✅

💡 Εφαρμογές

Εφαρμογή — Περιγεγραμμένο παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος

Έστω $ABΓΔ$ παραλληλόγραμμο περιγεγραμμένο σε κύκλο. Τότε:

$AB = ΓΔ$ και $BΓ = AΔ$ (αντικείμενες πλευρές).
Από την ιδιότητα (α): $AB + ΓΔ = BΓ + AΔ \Rightarrow 2 AB = 2 BΓ \Rightarrow AB = BΓ$ .

Άρα δύο διαδοχικές πλευρές είναι ίσες, επομένως όλες οι πλευρές ίσες — ρόμβος! Επιπλέον, οι διαγώνιοι διχοτομούν τις γωνίες του ρόμβου, άρα περνούν από το $K$ . 🎯

Πλεονέκτημα υπολογισμών

Η σχέση $AB + ΓΔ = BΓ + AΔ$ είναι εξαιρετικά χρήσιμη στις ασκήσεις: αν σου δώσουν τρεις από τις τέσσερις πλευρές ενός περιγεγραμμένου τετραπλεύρου, η τέταρτη υπολογίζεται άμεσα. ✨

📝 ό.έ.δ.

Η συντομογραφία ό.έ.δ. (= «ὅπερ ἔδει δεῖξαι» — δηλ. «αυτό ακριβώς που έπρεπε να αποδείξουμε») μπαίνει στο τέλος μιας μαθηματικής απόδειξης. Τη χρησιμοποιούσε ήδη ο Ευκλείδης! 📜

🧭 Συνοπτικά

Περιγεγραμμένο τετράπλευρο ⇒ πλευρές εφαπτόμενες του κύκλου.
Αθροίσματα απέναντι πλευρών: ίσα.
Διχοτόμοι: συντρέχουν στο κέντρο του κύκλου.
Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου συμβολίζεται με $\rho$ .

Θυμήσου!

AB + ΓΔ = BΓ + AΔ

Αυτή είναι η «χρυσή σχέση» των περιγεγραμμένων τετραπλεύρων. 🏆