Εγγράψιμα τετράπλευρα

Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε τις ιδιότητες που έχει ήδη ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο. Εδώ αντιστρέφουμε την ερώτηση: πότε ένα τυχαίο τετράπλευρο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο; Θα δούμε τέσσερα ισοδύναμα κριτήρια. 🔎

📖 Ορισμός

Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιμο σε κύκλο, όταν υπάρχει κύκλος που διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του.

📐 Θεώρημα (Κριτήρια εγγραψιμότητας)

Ένα τετράπλευρο $ABΓΔ$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις:

(α) Οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο.

(β) Δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές:

\angle A + \angle Γ = 180° \quad (\text{ή ισοδύναμα}\ \angle B + \angle Δ = 180°).

(γ) Μια εξωτερική γωνία του ισούται με την απέναντι εσωτερική.

(δ) Μια πλευρά του φαίνεται από τις δύο απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες.

Ισοδυναμία

Τα κριτήρια (α), (β), (γ), (δ) είναι ισοδύναμα μεταξύ τους και ισοδύναμα με την πρόταση «το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο». Άρα αρκεί να επαληθευτεί ένα από αυτά.

🧪 Αποδείξεις (για τα (γ) και (δ))

Απόδειξη της (γ)

Υποθέτουμε ότι στο τετράπλευρο $ABΓΔ$ μια εξωτερική γωνία ισούται με την απέναντι εσωτερική. Έστω $\angle \omega = \angle A$ (όπου $\angle \omega$ η εξωτερική στην κορυφή $Γ$ , βλ. PDF σελ. 13).

Όμως $\angle \omega$ και $\angle ΔΓB$ είναι παραπληρωματικές:

\angle \omega + \angle ΔΓB = 180°.

Αντικαθιστώντας $\angle \omega = \angle A$ :

\angle A + \angle ΔΓB = 180°.

Άρα πληρείται το κριτήριο (β), επομένως το $ABΓΔ$ είναι εγγράψιμο. ✅

Απόδειξη της (δ) — εις άτοπον απαγωγή

Υποθέτουμε ότι η πλευρά $ΓΔ$ φαίνεται από τα $A, B$ υπό ίσες γωνίες:

\angle \omega = \angle \varphi \quad (1)

Θέλουμε να δείξουμε ότι τα $A, B, Γ, Δ$ είναι ομοκυκλικά. Έστω ότι δεν ισχύει: τότε ο κύκλος που περνά από τα $B, Γ, Δ$ δεν διέρχεται από το $A$ . Ο κύκλος αυτός θα τέμνει την ημιευθεία $ΓA$ σε ένα σημείο $A'$ .

Στο τετράπλευρο $A'BΓΔ$ που είναι εγγεγραμμένο, η πλευρά $ΓΔ$ φαίνεται από τα $A', B$ υπό ίσες γωνίες (ιδιότητα εγγεγραμμένου):

\angle \omega = \angle \theta \quad (2),

όπου $\angle \theta$ η γωνία στο $A'$ .

Από (1) και (2): $\angle \varphi = \angle \theta$ . Στο τρίγωνο $ΔA'A$ όμως η εξωτερική γωνία $\theta$ θα έπρεπε να ισούται με την απέναντι εσωτερική — άτοπο (η εξωτερική γωνία τριγώνου είναι αυστηρά μεγαλύτερη από κάθε απέναντη εσωτερική).

Άρα το αρχικό επιχείρημα είναι λάθος: ο κύκλος διέρχεται και από το $A$ , και το $ABΓΔ$ είναι εγγράψιμο. ✅

Σχήματα απόδειξης: βλ. PDF σελ. 13–14.

💡 Κλασικές εφαρμογές

Εφαρμογή 1 — Τραπέζιο

Ένα τραπέζιο είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν είναι ισοσκελές.

Απόδειξη (μία κατεύθυνση): Έστω ισοσκελές τραπέζιο $ABΓΔ$ με $AB \parallel ΓΔ$ . Τότε οι «παρά τη βάση» γωνίες είναι ίσες: $\angle B = \angle A$ . Επίσης $\angle B + \angle Γ = 180°$ (εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη — συμπληρωματικές λόγω παραλληλίας). Συνδυάζοντας: $\angle A + \angle Γ = 180°$ , άρα εγγράψιμο. ✅

Αντίστροφα: Αν εγγράψιμο και τραπέζιο, από παραπληρωματικές απέναντι γωνίες και τη σχέση $\angle B + \angle Γ = 180°$ (από παραλληλία), προκύπτει $\angle A = \angle B$ , άρα ισοσκελές. ✅

Εφαρμογή 2 — Ορθογωνισμοί

Αν $Δ, E, Z$ είναι τα ίχνη των υψών τριγώνου $ABΓ$ , το τετράπλευρο $EZBΓ$ είναι εγγράψιμο, επειδή οι γωνίες στα $E, Z$ είναι ορθές και άρα παραπληρωματικές. (Στην πραγματικότητα το ίδιο ισχύει και για πολλά άλλα τετράπλευρα που σχηματίζονται από ύψη — «ορθοκεντρικά» τετράπλευρα.) 🧠

🧭 Στρατηγική για ασκήσεις

Αναγνώρισε αν το σχήμα σου έχει δύο γωνίες των οποίων το άθροισμα είναι $180°$ → κριτήριο (β).
Αν βλέπεις ότι η ίδια πλευρά φαίνεται υπό ίσες γωνίες από δύο σημεία → κριτήριο (δ).
Αν έχεις ορθές γωνίες σε δύο απέναντι κορυφές, είναι αυτόματα εγγράψιμο (π.χ. διάμετρος).
Σε τραπέζια, έλεγξε αν είναι ισοσκελές (Εφαρμογή 1).

Συνοπτικά

Εγγεγραμμένο ⇒ παραπληρωματικές απέναντι γωνίες.
Παραπληρωματικές απέναντι γωνίες ⇒ εγγράψιμο.
Τα δύο μαζί: το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές. 🎉