Χαρακτηριστικά σημεία τριγώνου

Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τέσσερα χαρακτηριστικά σημεία που προκύπτουν από τη συντρέχουσα τομή ειδικών ευθειών ή ευθυγράμμων τμημάτων (μεσοκαθέτων, υψών, διαμέσων, διχοτόμων). Τα σημεία αυτά έχουν μεγάλη γεωμετρική σημασία και συνδέονται με τον εγγεγραμμένο και περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. 📐

📐 Περίκεντρο τριγώνου

Θεώρημα: Οι μεσοκάθετοι των πλευρών τριγώνου $ABΓ$ συντρέχουν σε ένα σημείο $O$, το οποίο ισαπέχει από τις τρεις κορυφές του τριγώνου. Το σημείο $O$ λέγεται περίκεντρο του τριγώνου.

Απόδειξη (σκεπτικό Β' Λυκείου)

Θυμίζουμε τη θεμελιώδη ιδιότητα της μεσοκαθέτου: ένα σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο ενός τμήματος $αν και μόνο αν$ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος.

Έστω $(\epsilon_1)$ η μεσοκάθετος της $AB$ και $(\epsilon_2)$ η μεσοκάθετος της $BΓ$. Επειδή το τρίγωνο δεν είναι εκφυλισμένο, οι δύο αυτές ευθείες δεν είναι παράλληλες, άρα τέμνονται σε ένα σημείο $O$.

• Αφού $O \in (\epsilon_1)$: $OA = OB$.
• Αφού $O \in (\epsilon_2)$: $OB = OΓ$.

Συνεπώς $OA = OB = OΓ$, και επομένως το $O$ ισαπέχει και από τα $A, Γ$, άρα ανήκει και στη μεσοκάθετο της $AΓ$. Δηλαδή και οι τρεις μεσοκάθετοι διέρχονται από το $O$. ✅

Γιατί στο ορθογώνιο το περίκεντρο είναι μέσο της υποτείνουσας;

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $ABΓ$ με $\angle A = 90°$, από το Θεώρημα του Θαλή (στον κύκλο: η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή) προκύπτει ότι η υποτείνουσα $BΓ$ είναι διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου. Άρα το κέντρο του βρίσκεται στο μέσο της $BΓ$. 🎯

Σχήματα: βλ. PDF σελ. 9 (οι τρεις τύποι τριγώνου με το περίκεντρό τους).

📏 Ορθόκεντρο τριγώνου

Θεώρημα: Οι ευθείες που περιέχουν τα ύψη τριγώνου $ABΓ$ συντρέχουν σε ένα σημείο $H$. Το $H$ λέγεται ορθόκεντρο του τριγώνου.

Σκεπτικό απόδειξης

Από κάθε κορυφή φέρουμε παράλληλη προς την απέναντι πλευρά. Σχηματίζεται νέο τρίγωνο $A'B'Γ'$ στο οποίο τα $A, B, Γ$ είναι τα μέσα των πλευρών. Οι τρεις παράλληλες με τις πλευρές, μαζί με τα ύψη του $ABΓ$, γίνονται μεσοκάθετοι του νέου τριγώνου $A'B'Γ'$. Οι μεσοκάθετοι όμως συντρέχουν (στο περίκεντρο του $A'B'Γ'$), άρα και τα ύψη του $ABΓ$ συντρέχουν. ✅

Σχήμα: βλ. PDF σελ. 9.

⚖️ Βαρύκεντρο (κέντρο βάρους)

Θεώρημα: Οι διάμεσοι κάθε τριγώνου συντρέχουν σε ένα σημείο $\Theta$, το οποίο απέχει από κάθε κορυφή απόσταση ίση με τα $\dfrac{2}{3}$ της αντίστοιχης διαμέσου.

Αν $AE, B\Eta, Γ\Zeta$ είναι οι διάμεσοι, ισχύει:

Γεωμετρική διαίσθηση

Το $\Theta$ είναι το κέντρο βάρους μιας ομογενούς τριγωνικής πλάκας: αν στήριζες το τρίγωνο στο $\Theta$, θα ισορροπούσε τέλεια. ⚖️

🔵 Έγκεντρο τριγώνου

Θεώρημα: Οι διχοτόμοι των εσωτερικών γωνιών τριγώνου $ABΓ$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $I$. Το $I$ λέγεται έγκεντρο.

Απόδειξη (σκεπτικό)

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα: κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της.

Έστω $I$ το σημείο τομής των διχοτόμων των $\angle A, \angle B$. Τότε:

• $I$ ισαπέχει από τις $AB, AΓ$ (ανήκει στη διχοτόμο της $\angle A$).
• $I$ ισαπέχει από τις $AB, BΓ$ (ανήκει στη διχοτόμο της $\angle B$).

Άρα το $I$ ισαπέχει και από τις $AΓ, BΓ$, επομένως ανήκει και στη διχοτόμο της $\angle Γ$. ✅

🧭 Συνοπτικός πίνακας