Λογαριθμική Συνάρτηση — Θεωρία σε βάθος

Η λογαριθμική συνάρτηση είναι η αντίστροφη της εκθετικής. Αν η εκθετική απαντά στην ερώτηση «πόσο γίνεται το $a$ υψωμένο στο $x$ ;», ο λογάριθμος απαντά στο αντίστροφο: «σε ποιον εκθέτη πρέπει να υψώσω το $a$ για να πάρω τον αριθμό $\theta$ ;». Αυτός είναι και ο πιο εύκολος τρόπος να θυμόμαστε τον ορισμό.

Η μεγάλη ιδέα

Ο λογάριθμος είναι εκθέτης. Όταν γράφουμε $\log_{a}\theta$ εννοούμε «ο εκθέτης στον οποίο υψώνω το $a$ για να πάρω το $\theta$ ». Κάθε φορά που κολλάς σε μια άσκηση, μετέτρεψε τη λογαριθμική σχέση σε εκθετική και αντίστροφα.

Ορισμός λογαρίθμου

Ορισμός

Αν $\theta>0$ και $a>0,\ a\neq 1$ , ονομάζουμε λογάριθμο του $\\theta$ με βάση $a$ , συμβολικά $\log_{a}\theta$ , τον εκθέτη στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον $a$ ώστε να πάρουμε τον $\theta$ . Δηλαδή:

\boxed{\ \log_{a}\theta=x\iff a^{x}=\theta\ }

Γιατί $\theta>0$ και γιατί $a>0,\ a\neq 1$ ;

Για οποιοδήποτε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει $a^{x}>0$ όταν $a>0$ . Άρα το $\theta=a^{x}$ δεν γίνεται $0$ ή αρνητικό → ο λογάριθμος ορίζεται μόνο για $\theta>0$ . 🚫
Αν $a=1$ : $1^{x}=1$ για κάθε $x$ . Ο λογάριθμος δεν θα ήταν μονοσήμαντα ορισμένος.
Αν $a\leq 0$ : η δύναμη $a^{x}$ δεν ορίζεται για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Πρώτα παραδείγματα

$\log_{2}16=4$ γιατί $2^{4}=16$
$\log_{5}125=3$ γιατί $5^{3}=125$
$\log_{10}0{,}01=-2$ γιατί $10^{-2}=0{,}01$
$\log_{\frac{1}{3}}81=-4$ γιατί $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-4}=3^{4}=81$

Δύο θεμελιώδεις ιδιότητες

Βασικές τιμές

Για κάθε $a>0,\ a\neq 1$ :

\log_{a}1=0\qquad\text{γιατί}\qquad a^{0}=1

\log_{a}a=1\qquad\text{γιατί}\qquad a^{1}=a

Δύο ειδικές βάσεις

Δεκαδικοί / κοινοί λογάριθμοι: βάση 10. Γράφουμε $\\log\\theta$ χωρίς δείκτη:

\log\theta=x\iff 10^{x}=\theta

Φυσικοί / Νεπέριοι λογάριθμοι: βάση $e$ . Γράφουμε $\\ln\\theta$ :

\ln\theta=x\iff e^{x}=\theta

Στην καθημερινή χρήση (σεισμοί, ντεσιμπέλ, pH) συναντάμε τον δεκαδικό λογάριθμο· στον απειροστικό λογισμό και στη φυσική κυριαρχεί ο φυσικός $\ln$ . 🎯

Η λογαριθμική συνάρτηση ως αντίστροφη της εκθετικής

Η εκθετική $f:\mathbb{R}\to(0,+\infty)$ με $f(x)=a^{x}$ είναι 1-1 και επί, άρα αντιστρέψιμη. Η αντίστροφή της είναι η λογαριθμική συνάρτηση:

f^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\qquad f^{-1}(x)=\log_{a}x,\ a>0,\ a\neq 1

Από τη σύνθεση αντιστρόφων συναρτήσεων $(f\circ f^{-1})(x)=x$ και $(f^{-1}\circ f)(x)=x$ παίρνουμε τις λεγόμενες ιδιότητες ακύρωσης:

Ιδιότητες σύνθεσης (cancellation)

\log_{a}a^{x}=x,\quad \forall x\in\mathbb{R}

a^{\log_{a}x}=x,\quad \forall x>0

Απόδειξη. Θέτουμε $f(x)=\log_{a}x$ , οπότε $f^{-1}(x)=a^{x}$ .

$(f\circ f^{-1})(x)=f(a^{x})=\log_{a}a^{x}=x$
$(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(\log_{a}x)=a^{\log_{a}x}=x$ ✅

Μερικοί γρήγοροι υπολογισμοί με αυτές τις ιδιότητες:

$\log_{2}2^{3}=3$
$\log_{5}\tfrac{1}{5}=\log_{5}5^{-1}=-1$
$2^{\log_{2}4}=4$
$3^{\log_{3}\frac{1}{2}}=\tfrac{1}{2}$

Γραφική παράσταση

Σχήματα: βλ. σχολικό βιβλίο, σελ. 173–174 (PDF).

Επειδή $y=\log_{a}x$ είναι αντίστροφη της $y=a^{x}$ , οι γραφικές παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x$ . 🪞

Περίπτωση $a>1$ (π.χ. $y=\log_{2}x$ , $y=\ln x$ )

Πεδίο ορισμού: $(0,+\infty)$ , σύνολο τιμών: $\mathbb{R}$ 📈
Γνησίως αύξουσα: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log_{a}x_{1}<\log_{a}x_{2}$
$0<x<1\Rightarrow \log_{a}x<0$
$x=1\Rightarrow \log_{a}x=0$ (τέμνει τον $x'x$ στο $(1,0)$ )
$x>1\Rightarrow \log_{a}x>0$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\log_{a}x=+\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\log_{a}x=-\infty$ (κατακόρυφη ασύμπτωτη ο $y'y$ )

Περίπτωση $0<a<1$ (π.χ. $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ )

Πεδίο ορισμού: $(0,+\infty)$ , σύνολο τιμών: $\mathbb{R}$ 📉
Γνησίως φθίνουσα: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log_{a}x_{1}>\log_{a}x_{2}$
$0<x<1\Rightarrow \log_{a}x>0$
$x>1\Rightarrow \log_{a}x<0$
Τέμνει πάντα τον $x'x$ στο $(1,0)$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\log_{a}x=-\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\log_{a}x=+\infty$

Γιατί $ (1,0) $ πάντα;

Επειδή $\log_{a}1=0$ για κάθε βάση $a$ , όλες οι λογαριθμικές καμπύλες περνούν από το σημείο $(1,0)$ . Είναι ένα «αγκυροβόλιο» που σε βοηθάει να σκιτσάρεις γρήγορα.

Μετατοπίσεις

$y=\log_{a}x+c$ : κατακόρυφη μετατόπιση κατά $c$ .
$y=\log_{a}(x-h)$ : οριζόντια μετατόπιση κατά $h$ . Προσοχή: το πεδίο ορισμού γίνεται $(h,+\infty)$ και η κατακόρυφη ασύμπτωτη μετατοπίζεται στο $x=h$ .
$y=-\log_{a}x$ ή, ισοδύναμα, $y=\log_{\frac{1}{a}}x$ : συμμετρική ως προς $x'x$ .

Η λογαριθμική είναι 1-1

Αφού η εκθετική είναι 1-1 και η αντίστροφη συνάρτησης 1-1 είναι επίσης 1-1:

\forall x_{1},x_{2}\in(0,+\infty),\ a>0,\ a\neq 1:\quad \log_{a}x_{1}=\log_{a}x_{2}\iff x_{1}=x_{2}

Αυτό είναι το κλειδί για να λύνουμε λογαριθμικές εξισώσεις. 🔑

Ιδιότητες λογαρίθμων — οι τρεις θεμελιώδεις

Βασικές ιδιότητες

Αν $A>0,\ B>0,\ a>0,\ a\neq 1$ :

(α) $\log_{a}(AB)=\log_{a}A+\log_{a}B$ — λογάριθμος γινομένου = άθροισμα λογαρίθμων

(β) $\log_{a}\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\log_{a}A-\log_{a}B$ — λογάριθμος πηλίκου = διαφορά λογαρίθμων

(γ) $\log_{a}A^{\nu}=\nu\,\log_{a}A$ , $\nu\in\mathbb{R}$ — ο εκθέτης «βγαίνει έξω»

Αποδείξεις

Έστω $x_{1}=\log_{a}A$ , $x_{2}=\log_{a}B$ . Τότε $A=a^{x_{1}}$ και $B=a^{x_{2}}$ .

(α) $AB=a^{x_{1}}\cdot a^{x_{2}}=a^{x_{1}+x_{2}}\Rightarrow \log_{a}(AB)=x_{1}+x_{2}=\log_{a}A+\log_{a}B$ ✅

(β) $\dfrac{A}{B}=\dfrac{a^{x_{1}}}{a^{x_{2}}}=a^{x_{1}-x_{2}}\Rightarrow \log_{a}\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=x_{1}-x_{2}=\log_{a}A-\log_{a}B$ ✅

(γ) Έστω $x=\log_{a}A$ , δηλαδή $A=a^{x}$ . Τότε $A^{\nu}=(a^{x})^{\nu}=a^{\nu x}\Rightarrow \log_{a}A^{\nu}=\nu x=\nu\log_{a}A$ ✅

Χρήσιμες συνέπειες

Επειδή $\sqrt[\nu]{A}=A^{\frac{1}{\nu}}$ :

\log_{a}\sqrt[\nu]{A}=\frac{1}{\nu}\log_{a}A

Ειδικά για $\nu=2$ : $\log_{a}\sqrt{A}=\tfrac{1}{2}\log_{a}A$ .

Προσοχή — συνηθισμένα ΛΑΘΗ!

Τα παρακάτω δεν ισχύουν:

\log_{a}(A+B)\neq \log_{a}A+\log_{a}B

(\log_{a}A)^{2}\neq 2\log_{a}A

\frac{\log_{a}A}{\log_{a}B}\neq \log_{a}A-\log_{a}B

Η ιδιότητα (α) αφορά γινόμενο, όχι άθροισμα· η (γ) αφορά δύναμη μέσα στον λογάριθμο, όχι δύναμη ολόκληρου του λογαρίθμου.

Αλλαγή βάσης

Τύπος αλλαγής βάσης

Αν $a,\beta>0$ και $a,\beta\neq 1$ , $\theta>0$ :

\log_{\beta}\theta=\frac{\log_{a}\theta}{\log_{a}\beta}

Απόδειξη. Έστω $\log_{\beta}\theta=x$ . Τότε $\theta=\beta^{x}$ . Παίρνουμε λογάριθμο με βάση $a$ και στα δύο μέλη:

\log_{a}\theta=\log_{a}\beta^{x}=x\log_{a}\beta

Άρα $x=\dfrac{\log_{a}\theta}{\log_{a}\beta}$ . ✅

Πρακτική χρήση

Οι υπολογιστές «ξέρουν» μόνο $\log$ (βάση 10) και $\ln$ (βάση $e$ ). Για να υπολογίσουμε π.χ. $\log_{3}4$ γράφουμε:

\log_{3}4=\frac{\ln 4}{\ln 3}\simeq\frac{1{,}386}{1{,}099}\simeq 1{,}262

Ειδικές περιπτώσεις

$\log_{a}\beta\cdot\log_{\beta}a=1$ (δηλαδή $\log_{\beta}a=\dfrac{1}{\log_{a}\beta}$ )
$\log_{\frac{1}{a}}x=-\log_{a}x$
$\log_{a^{\rho}}x^{\rho}=\log_{a}x$ , για $\rho\neq 0$

Λογαριθμικές εξισώσεις

Λογαριθμική λέγεται κάθε εξίσωση με τουλάχιστον έναν όρο της μορφής $\log_{a}f(x)$ .

Βασική ισοδυναμία

\log_{a}f(x_{1})=\log_{a}f(x_{2})\iff f(x_{1})=f(x_{2})

με $f(x_{1}),\,f(x_{2})>0$ και $a>0,\ a\neq 1$ .

Οι περιορισμοί είναι ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΟΙ

Σε κάθε λογαριθμική εξίσωση πρώτα γράφουμε τους περιορισμούς ώστε όλες οι παραστάσεις μέσα στους λογαρίθμους να είναι θετικές. Στο τέλος ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς — αλλιώς απορρίπτονται. 🚫

Μεθοδολογία βήμα-βήμα

Βρίσκουμε τους περιορισμούς: κάθε έκφραση μέσα σε $\log$ πρέπει να είναι $>0$ .
Ενοποιούμε τους λογαρίθμους χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες (άθροισμα → γινόμενο, διαφορά → πηλίκο, συντελεστής → δύναμη).
Αφαιρούμε τον λογάριθμο χάρη στο «1-1».
Λύνουμε την πολυωνυμική (ή άλλη) εξίσωση που προκύπτει.
Ελέγχουμε τους περιορισμούς και κρατάμε μόνο τις αποδεκτές λύσεις.

Παράδειγμα. $\log x+\log(x-1)=\log 2$ .

Περιορισμοί: $x>0$ και $x-1>0 \Rightarrow x>1$ .

\log[x(x-1)]=\log 2\Rightarrow x(x-1)=2\Rightarrow x^{2}-x-2=0\Rightarrow (x-2)(x+1)=0

Άρα $x=2$ ή $x=-1$ . Απορρίπτουμε το $x=-1$ (παραβιάζει $x>1$ ). Αποδεκτή: $x=2$ .

Όταν δεν «κάθεται» ο ίδιος πυθμένας

Όταν έχουμε π.χ. $3^{x}=4$ , ο $4$ δεν γράφεται ως δύναμη του 3 με ρητό εκθέτη. Παίρνουμε λογάριθμο και στα δύο μέλη (φυσικό ή δεκαδικό):

3^{x}=4\Rightarrow \ln 3^{x}=\ln 4\Rightarrow x\ln 3=\ln 4\Rightarrow x=\frac{\ln 4}{\ln 3}=\log_{3}4

Λογαριθμικές ανισώσεις

Οι δύο ισοδυναμίες-κλειδιά

\log_{a}f(x_{1})<\log_{a}f(x_{2})\iff f(x_{1})<f(x_{2}),\quad \text{όταν}\ a>1

\log_{a}f(x_{1})<\log_{a}f(x_{2})\iff f(x_{1})>f(x_{2}),\quad \text{όταν}\ 0<a<1

(με πάντα $f(x_{1}),f(x_{2})>0$ )

Γιατί αντιστρέφεται η φορά όταν $0<a<1$ ; Επειδή η λογαριθμική με τέτοια βάση είναι γνησίως φθίνουσα: μικρότερο $x$ δίνει μεγαλύτερο $\log$ .

Παράδειγμα. $\log_{0{,}8}(x^{2}-4)\geq \log_{0{,}8}21$ .

Περιορισμοί: $x^{2}-4>0\Leftrightarrow x\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$ .

Επειδή $0<0{,}8<1$ , αντιστρέφουμε τη φορά:

x^{2}-4\leq 21\Leftrightarrow x^{2}\leq 25\Leftrightarrow -5\leq x\leq 5

Συναλήθευση: $x\in[-5,-2)\cup(2,5]$ . ✅

Εφαρμογές της λογαριθμικής συνάρτησης

Οι λογάριθμοι είναι ιδανικοί όταν θέλουμε να «συμπιέσουμε» τεράστιες κλίμακες μεγεθών σε βολικούς αριθμούς.

Κλίμακα Richter — μέγεθος σεισμού

M=\log\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right)

όπου $I$ η ένταση του σεισμού και $I_{0}$ μια σταθερή ελάχιστη ένταση. Επειδή η κλίμακα είναι λογαριθμική, η διαφορά κατά 1 μονάδα αντιστοιχεί σε 10 φορές μεγαλύτερη ένταση, ενώ η διαφορά κατά 3 μονάδες σε $10^{3}=1000$ φορές! 📉→📈

Ένταση ήχου σε decibel

D=10\log\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right)\quad \text{με}\ I_{0}=10^{-12}\ \text{W/m}^{2}

Κάθε $+10$ dB αντιστοιχεί σε $\times 10$ μεγαλύτερη ένταση. Γι' αυτό τα $100$ dB είναι τρομερά πιο δυνατά από τα $60$ dB.

Άλλες κλίμακες

pH: $\text{pH}=-\log[\text{H}^{+}]$ . Χαμηλό pH = πολύ όξινο διάλυμα.
Αστρονομία: απόλυτο μέγεθος αστέρων.
Πληθυσμοί/βακτήρια: ο χρόνος διπλασιασμού $T_{2}=\dfrac{\ln 2}{r}$ προέρχεται ακριβώς από λογαρίθμηση της εκθετικής σχέσης $N(t)=N_{0}e^{rt}$ .

Σύνοψη

$\log_{a}\theta=x\iff a^{x}=\theta$ : ο λογάριθμος είναι απλώς εκθέτης.
Ειδικές βάσεις: $\log$ (βάση 10) και $\ln$ (βάση $e$ ).
Η λογαριθμική $g(x)=\log_{a}x$ είναι η αντίστροφη της εκθετικής, με πεδίο ορισμού $(0,+\infty)$ , σύνολο τιμών $\mathbb{R}$ , 1-1 και γνησίως μονότονη.
Τρεις ιδιότητες-κλειδιά: $\log(AB),\ \log\!\frac{A}{B},\ \log A^{\nu}$ .
Τύπος αλλαγής βάσης: $\log_{\beta}\theta=\dfrac{\log_{a}\theta}{\log_{a}\beta}$ .
Σε κάθε λογαριθμική εξίσωση/ανίσωση: περιορισμοί πρώτα, έλεγχος στο τέλος.
Για $0<a<1$ , οι ανισώσεις αντιστρέφουν φορά. 🔄