Μονότονες Ακολουθίες

Όταν παρατηρούμε μια ακολουθία, ένα από τα πρώτα ερωτήματα είναι: «Αυξάνουν» ή «μειώνονται» οι όροι της καθώς προχωράμε; 📈📉 Αυτό το ερώτημα απαντάται μέσω της έννοιας της μονοτονίας.

📌 Οι Πέντε Τύποι Μονοτονίας

Ορισμοί Μονοτονίας

Μια ακολουθία $(a_\nu), \nu \in \mathbb{N}$ λέγεται:

Είδος	Συνθήκη	Ερμηνεία
Γνησίως αύξουσα 📈	$a_{\nu+1} > a_\nu$ , $\forall \nu$	Πάντα αυστηρά μεγαλύτερος
Αύξουσα	$a_{\nu+1} \geq a_\nu$ , $\forall \nu$	Μεγαλύτερος ή ίσος
Γνησίως φθίνουσα 📉	$a_{\nu+1} < a_\nu$ , $\forall \nu$	Πάντα αυστηρά μικρότερος
Φθίνουσα	$a_{\nu+1} \leq a_\nu$ , $\forall \nu$	Μικρότερος ή ίσος
Σταθερή ➡️	$a_{\nu+1} = a_\nu$ , $\forall \nu$	Ίδια τιμή πάντα

Όλες αυτές ονομάζονται συλλογικά μονότονες ακολουθίες.

Αυστηρά vs μη αυστηρά

Η διάκριση ανάμεσα σε «γνησίως αύξουσα» και απλώς «αύξουσα» είναι σημαντική:

Η $1, 2, 3, 4, 5, \ldots$ είναι γνησίως αύξουσα (και άρα αύξουσα).
Η $1, 1, 2, 3, 3, 4, \ldots$ είναι αύξουσα, αλλά ΟΧΙ γνησίως αύξουσα (αφού $a_1 = a_2$ ).

Κάθε γνησίως αύξουσα είναι αύξουσα. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα! 🎯

🧠 Λογικές Σχέσεις Μονοτονίας

Λογικές συνεπαγωγές

✅ Γνησίως αύξουσα $\Rightarrow$ Αύξουσα
✅ Γνησίως φθίνουσα $\Rightarrow$ Φθίνουσα
⚠️ Αύξουσα ΔΕΝ συνεπάγεται Γνησίως αύξουσα
💎 Αύξουσα ΚΑΙ Φθίνουσα $\iff$ Σταθερή

Απόδειξη της τελευταίας:

Αν η ακολουθία είναι και αύξουσα και φθίνουσα, τότε:

a_{\nu+1} \geq a_\nu \quad \text{ΚΑΙ} \quad a_{\nu+1} \leq a_\nu

Η μοναδική τιμή που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες ταυτόχρονα είναι η ισότητα:

a_{\nu+1} = a_\nu, \quad \forall \nu \in \mathbb{N}

Άρα η ακολουθία είναι σταθερή ✅. Π.χ., η $3, 3, 3, 3, \ldots$ είναι ταυτόχρονα αύξουσα και φθίνουσα.

🔧 Η Μέθοδος της Διαφοράς

Για να εξετάσουμε μονοτονία, η πιο κοινή μέθοδος είναι να μελετήσουμε το πρόσημο της διαφοράς $a_{\nu+1} - a_\nu$ :

Κριτήριο μονοτονίας με διαφορά

Για κάθε $\nu \in \mathbb{N}$ :

Αν $a_{\nu+1} - a_\nu > 0$ → γνησίως αύξουσα 📈
Αν $a_{\nu+1} - a_\nu \geq 0$ → αύξουσα
Αν $a_{\nu+1} - a_\nu < 0$ → γνησίως φθίνουσα 📉
Αν $a_{\nu+1} - a_\nu \leq 0$ → φθίνουσα
Αν $a_{\nu+1} - a_\nu = 0$ → σταθερή ➡️

🎯 Παράδειγμα 1: Δείξτε ότι $a_\nu = \nu^2$ είναι γνησίως αύξουσα.

Λύση: Υπολογίζουμε τη διαφορά:

a_{\nu+1} - a_\nu = (\nu+1)^2 - \nu^2 = \nu^2 + 2\nu + 1 - \nu^2 = 2\nu + 1

Για $\nu \geq 1$ , έχουμε $2\nu + 1 \geq 3 > 0$ .

Άρα $a_{\nu+1} - a_\nu > 0$ , δηλαδή $a_{\nu+1} > a_\nu$ , $\forall \nu \in \mathbb{N}$ . ✅

Η ακολουθία $a_\nu = \nu^2$ είναι γνησίως αύξουσα.

🎯 Παράδειγμα 2: Δείξτε ότι $a_\nu = \dfrac{1}{\nu+3}$ είναι γνησίως φθίνουσα.

Λύση:

a_{\nu+1} - a_\nu = \dfrac{1}{\nu+4} - \dfrac{1}{\nu+3} = \dfrac{(\nu+3) - (\nu+4)}{(\nu+3)(\nu+4)} = \dfrac{-1}{(\nu+3)(\nu+4)}

Για $\nu \geq 1$ , ο παρονομαστής είναι θετικός, άρα η διαφορά είναι αρνητική.

Άρα $a_{\nu+1} < a_\nu$ , $\forall \nu \in \mathbb{N}$ . ✅ Γνησίως φθίνουσα. 📉

🎯 Παράδειγμα 3: Με τριώνυμο

Εξετάστε τη μονοτονία της αναδρομικής $a_{\nu+1} = a_\nu^2 + 3$ , $a_1 = 1$ .

Λύση:

a_{\nu+1} - a_\nu = a_\nu^2 + 3 - a_\nu = a_\nu^2 - a_\nu + 3

Θεωρούμε αυτό ως τριώνυμο ως προς $a_\nu$ . Η διακρίνουσα είναι:

\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 1 - 12 = -11 < 0

Επειδή $\Delta < 0$ και ο συντελεστής του $a_\nu^2$ είναι $1 > 0$ , το τριώνυμο είναι θετικό $\forall a_\nu \in \mathbb{R}$ .

Άρα $a_{\nu+1} - a_\nu > 0$ , δηλαδή η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα 📈.

🚫 Μη Μονότονες Ακολουθίες

Μη μονότονες

Αν η διαφορά $a_{\nu+1} - a_\nu$ αλλάζει πρόσημο για διαφορετικά $\nu$ , τότε η ακολουθία ΔΕΝ είναι μονότονη. 🔄

🎯 Παράδειγμα: $a_\nu = (-2)^\nu$

Υπολογίζουμε τους πρώτους όρους:

a_1 = -2, \quad a_2 = 4, \quad a_3 = -8, \quad a_4 = 16

Παρατηρούμε ότι:

$a_1 = -2 < 4 = a_2$ (αυξάνει)
$a_2 = 4 > -8 = a_3$ (μειώνεται)

Το πρόσημο της διαφοράς αλλάζει. Η ακολουθία δεν είναι μονότονη ❌.

Γενική παρατήρηση

Κάθε ακολουθία της μορφής $a_\nu = \lambda^\nu$ με $\lambda < 0$ είναι μη μονότονη (εναλλάσσει πρόσημο). Αντίθετα:

$\lambda > 1$ : γνησίως αύξουσα
$0 < \lambda < 1$ : γνησίως φθίνουσα
$\lambda = 1$ : σταθερή 🔄

🔍 Εναλλακτικές Μέθοδοι

Μέθοδος του λόγου (για θετικές ακολουθίες)

Αν $a_\nu > 0$ για κάθε $\nu$ , μπορούμε να συγκρίνουμε τον λόγο $\dfrac{a_{\nu+1}}{a_\nu}$ με τη μονάδα:

Αν $\dfrac{a_{\nu+1}}{a_\nu} > 1$ → γνησίως αύξουσα
Αν $\dfrac{a_{\nu+1}}{a_\nu} < 1$ → γνησίως φθίνουσα
Αν $\dfrac{a_{\nu+1}}{a_\nu} = 1$ → σταθερή

Πότε είναι χρήσιμη η μέθοδος λόγου;

Κυρίως για ακολουθίες με δυνάμεις ή παραγοντικά, όπου η διαφορά είναι δύσκολη.
Π.χ. για $a_\nu = \dfrac{3^\nu}{\nu!}$ , προτιμούμε λόγο. 🔢

📊 Δες σχήμα GeoGebra στη σελίδα 87 του Β' Τεύχους για οπτικοποίηση διαφόρων ακολουθιών.

🏁 Συνοπτικός Πίνακας Στρατηγικής

Πώς εξετάζουμε μονοτονία

🔢 Υπολόγισε τους πρώτους όρους (3-4).
👀 Παρατήρησε το μοτίβο (αύξηση/μείωση/εναλλαγή).
📝 Υπολόγισε $a_{\nu+1} - a_\nu$ (ή $\dfrac{a_{\nu+1}}{a_\nu}$ αν είναι θετική).
🔍 Βρες το πρόσημο (ή σύγκριση με 1).
✅ Κατάληξε στο συμπέρασμα.