Συνεχείς Συναρτήσεις

Αφού ορίσαμε τη συνέχεια σε ένα σημείο, επεκτεινόμαστε στη συνέχεια σε διαστήματα, και καθιερώνουμε ότι οι βασικές συναρτήσεις (πολυωνυμικές, ρητές, τριγωνομετρικές) είναι συνεχείς. Αυτό θα μας επιτρέψει να υπολογίζουμε όρια συνεχών συναρτήσεων με απλή αντικατάσταση. 🧮

Ορισμός συνέχειας σε διάστημα 📏

Ορισμός συνέχειας σε διάστημα

Μια συνάρτηση $f$ ονομάζεται συνεχής στο ανοικτό διάστημα $(a, \beta)$ όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο $x \in (a, \beta)$ .
Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[a, \beta]$ όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο $x \in (a, \beta)$ και επιπλέον:

\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a), \quad \lim_{x \to \beta^-} f(x) = f(\beta)

Σχόλιο: Στα άκρα κλειστού διαστήματος απαιτούμε πλευρική συνέχεια, επειδή δεν έχει νόημα να μιλάμε για τη συνέχεια «εκτός» του πεδίου ορισμού.

Βασικές συνεχείς συναρτήσεις 🧮

Οι ιδιότητες ορίων που είδαμε δίνουν αμέσως τη συνέχεια των βασικών συναρτήσεων:

Θεμελιώδεις συνεχείς συναρτήσεις

Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση $y = P(x)$ , $x \in \mathbb{R}$ , είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

Απόδειξη: Για κάθε $x_0\in\mathbb{R}$ , έχουμε $\lim\limits_{x\to x_0} P(x)=P(x_0)$ (από την πρόταση για όριο πολυωνύμου). ✅
Κάθε ρητή συνάρτηση $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ , είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, δηλ. όπου $Q(x) \neq 0$ . ✅
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις $\eta\mu x$ , $\sigma\upsilon\nu x$ είναι συνεχείς στο $\mathbb{R}$ , αφού:

\lim_{x \to x_0} \eta\mu x = \eta\mu x_0, \quad \lim_{x \to x_0} \sigma\upsilon\nu x = \sigma\upsilon\nu x_0

Η $\varepsilon\varphi x=\dfrac{\eta\mu x}{\sigma\upsilon\nu x}$ είναι συνεχής εκτός από τα σημεία $x=\dfrac{\pi}{2}+\kappa\pi$ (όπου $\sigma\upsilon\nu x=0$ ).
Η $\sqrt{x}$ είναι συνεχής στο $[0,+\infty)$ .

Πράξεις συνεχών συναρτήσεων 🔗

Πρόταση: Πράξεις συνεχών

Αν οι $f, g$ είναι συνεχείς στο $x_0$ , τότε είναι επίσης συνεχείς στο $x_0$ οι συναρτήσεις:

$f \pm g$ ➕➖
$c f$ , όπου $c$ σταθερά ✖️
$f \cdot g$ ✖️
$\dfrac{f}{g}$ , με $g(x_0) \neq 0$ ➗
$|f|$
$\sqrt[\nu]{f}$ , με $f(x) \geq 0$ και $\nu \in \mathbb{N}^*$ .

(Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε διάστημα που περιέχει το $x_0$ .)

Ιδέα απόδειξης: Προκύπτει άμεσα από τις αντίστοιχες ιδιότητες ορίων. Π.χ. για το άθροισμα:

\lim_{x\to x_0}(f+g)(x)=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x)=f(x_0)+g(x_0)=(f+g)(x_0) \checkmark

Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων 🔗

Πρόταση: Σύνθεση συνεχών

Αν η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ και η $g$ είναι συνεχής στο $f(x_0)$ , τότε η σύνθεση $g \circ f$ (δηλ. $g(f(x))$ ) είναι συνεχής στο $x_0$ .

Παράδειγμα: Η $h(x)=\eta\mu(x^2+1)$ είναι συνεχής σε κάθε $x_0\in\mathbb{R}$ ως σύνθεση της συνεχούς $f(x)=x^2+1$ και της συνεχούς $g(y)=\eta\mu y$ .

Σημαντικές παρατηρήσεις 📝

Παρατηρήσεις για συνέχεια

Όταν λέμε «η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ », εννοούμε ρητά ότι το $x_0$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της $f$ .
Δεν έχει νόημα να εξετάσουμε αν η $f$ είναι συνεχής σε σημείο εκτός του πεδίου ορισμού της. Π.χ. δεν λέμε ότι η $f(x)=\dfrac{1}{x}$ είναι ασυνεχής στο $0$ , αφού δεν ορίζεται εκεί.
Συχνά αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση ως συνεχή, εννοώντας ότι είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού της.

Χρησιμότητα στη πράξη 💡

Γιατί αξίζει η συνέχεια

Η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι η χρυσή είσοδος για τα μεγάλα θεωρήματα: Bolzano, Ενδιάμεσων Τιμών, Μέγιστης-Ελάχιστης Τιμής. Είναι επίσης απαραίτητη για την παραγώγιση και την ολοκλήρωση (στη συνέχεια των μαθημάτων).

Πρακτικά, όταν λύνεις μια άσκηση και η συνάρτηση είναι συνεχής σε μια περιοχή, μπορείς να υπολογίζεις όρια με απλή αντικατάσταση:

\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)

Συνοπτικός πίνακας συνεχών συναρτήσεων 📊

Συνάρτηση	Πεδίο συνέχειας
$P(x)$ (πολυώνυμο)	$\mathbb{R}$
$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ (ρητή)	$\{x : Q(x)\neq 0\}$
$\eta\mu x, \sigma\upsilon\nu x$	$\mathbb{R}$
$\varepsilon\varphi x$	$\mathbb{R}\setminus\{\pi/2+\kappa\pi\}$
$\sqrt{x}$	$[0,+\infty)$
$	x

Όλες οι παραπάνω, καθώς και κάθε συνάρτηση που κατασκευάζεται με πράξεις και συνθέσεις αυτών, είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους.