Ορισμός Συνέχειας σε Σημείο $x_0$

Η συνέχεια είναι μια από τις πιο ωραίες ιδιότητες μιας συνάρτησης. Διαισθητικά, μια συνεχής συνάρτηση έχει γραφική παράσταση που μπορείς να τη σχεδιάσεις χωρίς να σηκώσεις το μολύβι από το χαρτί. Μαθηματικά, είναι άμεση εφαρμογή της έννοιας του ορίου. 🎯

Ορισμός 🎯

Ορισμός συνέχειας σε σημείο

Έστω $f$ συνάρτηση και $x_0 \in D_f$ (σημείο του πεδίου ορισμού της). Η $f$ λέγεται συνεχής στο $x_0$ όταν:

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

Τρεις προϋποθέσεις συνέχειας ✅

Για να ισχύει η σχέση $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ πρέπει ταυτόχρονα:

✅ Η $f$ να ορίζεται στο $x_0$ , δηλαδή $x_0 \in D_f$ και $f(x_0)$ να είναι πραγματικός αριθμός.
✅ Να υπάρχει το $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ και να είναι πραγματικός αριθμός (όχι $\pm\infty$ ).
✅ Να είναι ίσο με $f(x_0)$ .

Ορισμός με ε-δ

Ισοδύναμα, η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ αν:

\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 : \forall x \in D_f \text{ με } |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

Προσοχή: εδώ δεν απαιτούμε $x \neq x_0$ (σε αντίθεση με τον ορισμό ορίου). Για $x=x_0$ η ανισότητα $|f(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon$ ισχύει τετριμμένα.

Πότε η $f$ δεν είναι συνεχής στο $x_0$ ❌

Η αποτυχία μιας από τις τρεις προϋποθέσεις κάνει την $f$ ασυνεχή στο $x_0$ . Διακρίνουμε τρεις βασικούς τύπους ασυνέχειας:

Παρατήρηση: Τύποι ασυνέχειας

Αφαιρούμενη ασυνέχεια 🔧: Η $f$ ορίζεται στο $x_0$ , υπάρχει το $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\ell$ , αλλά $\ell \neq f(x_0)$ . Μπορούμε να την «διορθώσουμε» αλλάζοντας μόνο την τιμή $f(x_0)$ .
Άλμα (jump) 🦘: Τα πλευρικά όρια υπάρχουν αλλά είναι διαφορετικά. Δεν υπάρχει το όριο.
Απειρισμός ♾️: Κάποιο πλευρικό όριο είναι $\pm\infty$ ή δεν υπάρχει (ταλάντωση).

Δες σχήματα στις σελίδες 53–55 του Β' Τεύχους.

Κλασικά παραδείγματα 📚

Παράδειγμα 1: Συνεχής συνάρτηση

Η $f(x)=x^2+1$ είναι συνεχής στο $x_0=2$ :

$f(2)=5$ (υπάρχει).
$\lim\limits_{x\to 2}(x^2+1)=4+1=5$ (υπάρχει).
$\lim\limits_{x\to 2}f(x)=f(2)=5$ ✅

Παράδειγμα 2: Αφαιρούμενη ασυνέχεια

Η $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1}, & x\neq 1 \\ 3, & x=1\end{cases}$ :

$f(1)=3$ .
$\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=2$ .
$2\neq 3$ , άρα η $f$ δεν είναι συνεχής στο $1$ . Θα γινόταν συνεχής αν ορίζαμε $f(1)=2$ .

Παράδειγμα 3: Ασυνέχεια άλματος

Η $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ για $x\neq 0$ , και $f(0)=0$ :

Τα πλευρικά: $\lim\limits_{x\to 0^+}=1$ , $\lim\limits_{x\to 0^-}=-1$ . Άρα το όριο δεν υπάρχει, η $f$ δεν είναι συνεχής στο $0$ .

Παράδειγμα 4: Ασυνέχεια απειρισμού

Η $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ για $x\neq 0$ , και $f(0)=0$ :

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=+\infty$ , που δεν είναι πραγματικός αριθμός, άρα το όριο «δεν υπάρχει στο $\mathbb{R}$ » και η $f$ είναι ασυνεχής στο $0$ .

Πλευρική συνέχεια 🔄

Ορισμός πλευρικής συνέχειας

Η $f$ λέγεται συνεχής από τα δεξιά στο $x_0$ αν:

\lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0)

Αντίστοιχα, συνεχής από τα αριστερά:

\lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0)

Η $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ αν και μόνον αν είναι συνεχής και από τα δεξιά και από τα αριστερά.

Σύνδεση συνέχειας με όριο 🔗

Βαθιά σύνδεση

Η συνέχεια είναι η φυσική γενίκευση της ιδέας ότι «η τιμή μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι η ίδια με αυτό που θα «μάντευες» κοιτώντας τις γειτονικές τιμές». Μια συνεχής συνάρτηση δεν έχει ξαφνικές ανατροπές ή άλματα.

Από φυσικής άποψης, οι συνεχείς συναρτήσεις μοντελοποιούν φαινόμενα που εξελίσσονται ομαλά: θερμοκρασία, θέση κινούμενου σώματος, συγκέντρωση χημικής ουσίας — όλα αυτά μεταβάλλονται συνεχώς στον χρόνο.

Πρακτικός έλεγχος συνέχειας 🎯

Διαδικασία ελέγχου

Για να ελέγξουμε αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο $x_0$ :

Υπολογίζουμε την $f(x_0)$ — αν δεν ορίζεται, η συνάρτηση δεν είναι συνεχής εκεί (δεν έχει καν νόημα να εξεταστεί).
Υπολογίζουμε το $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ (ή τα πλευρικά αν χρειάζεται).
Συγκρίνουμε: αν $\lim = f(x_0)$ , η $f$ είναι συνεχής. Αλλιώς, δεν είναι.

Ορισμός Συνέχειας σε Σημείο x0x_0x0​