Βασικά Όρια Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις απαιτούν ιδιαίτερη προσοχή στα όρια γιατί δεν είναι «πολυωνυμικές» και δεν μπορούμε να τις αντιμετωπίσουμε με απλή αντικατάσταση όπως τα πολυώνυμα. Στην ενότητα αυτή αποδεικνύουμε τρία θεμελιώδη όρια που αποτελούν τη βάση για όλους τους υπολογισμούς. 📐

Γεωμετρικό Λήμμα 📝

Λήμμα

\lim_{x \to 0} \eta\mu x = 0 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to 0} \sigma\upsilon\nu x = 1

Απόδειξη: Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και γωνία $\angle AO\Gamma$ σε κανονική θέση, που αντιστοιχεί σε τόξο μήκους $t$ (με $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ ).

Συντεταγμένες: $A=(1,0)$ , $\Gamma=(\sigma\upsilon\nu t, \eta\mu t)$ , $B=(\sigma\upsilon\nu t, 0)$ .
Γεωμετρικές σχέσεις: $AB<A\Gamma<t$ (η χορδή μικρότερη του τόξου).
$A\Gamma = \sqrt{(1-\sigma\upsilon\nu t)^2+\eta\mu^2 t} = \sqrt{2-2\sigma\upsilon\nu t}$ .
Άρα: $0<\eta\mu t<A\Gamma<t$ , δηλαδή $0<\eta\mu t<t$ για $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ . 📐

Επίσης, $0<1-\sigma\upsilon\nu t<\dfrac{t^2}{2}$ (προκύπτει από την ταυτότητα $1-\sigma\upsilon\nu t=2\eta\mu^2(t/2)$ και $\eta\mu(t/2)<t/2$ ).

Εφαρμόζουμε το κριτήριο παρεμβολής:

Από $0<\eta\mu t<t$ και $\lim\limits_{t\to 0^+} t=0$ : $\lim\limits_{t\to 0^+}\eta\mu t=0$ .
Από $0<1-\sigma\upsilon\nu t<\dfrac{t^2}{2}$ και $\lim\limits_{t\to 0^+}\dfrac{t^2}{2}=0$ : $\lim\limits_{t\to 0^+}(1-\sigma\upsilon\nu t)=0 \Rightarrow \lim\limits_{t\to 0^+}\sigma\upsilon\nu t=1$ .

Για $t\to 0^-$ , θέτουμε $t=-s$ και χρησιμοποιούμε $\eta\mu(-s)=-\eta\mu s$ , $\sigma\upsilon\nu(-s)=\sigma\upsilon\nu s$ . Επομένως:

\lim_{t \to 0} \eta\mu t = 0, \quad \lim_{t \to 0} \sigma\upsilon\nu t = 1 \checkmark

Όριο σε οποιοδήποτε $x_0$ 🎯

Πρόταση

$\lim\limits_{x \to x_0} \eta\mu x = \eta\mu x_0$ , $x_0 \in \mathbb{R}$
$\lim\limits_{x \to x_0} \sigma\upsilon\nu x = \sigma\upsilon\nu x_0$ , $x_0 \in \mathbb{R}$

Απόδειξη του $\lim\limits_{x \to x_0} \eta\mu x = \eta\mu x_0$ :

Θέτουμε $t = x - x_0$ , οπότε $x = x_0 + t$ και $x \to x_0 \Leftrightarrow t \to 0$ . Από το άθροισμα τόξων:

\eta\mu x = \eta\mu(x_0 + t) = \eta\mu x_0 \cdot \sigma\upsilon\nu t + \sigma\upsilon\nu x_0 \cdot \eta\mu t

Άρα:

\lim_{x \to x_0} \eta\mu x = \lim_{t \to 0}(\eta\mu x_0 \cdot \sigma\upsilon\nu t + \sigma\upsilon\nu x_0 \cdot \eta\mu t) = \eta\mu x_0 \cdot 1 + \sigma\upsilon\nu x_0 \cdot 0 = \eta\mu x_0 \checkmark

Ομοίως για τη $\sigma\upsilon\nu x$ με τον τύπο $\sigma\upsilon\nu(x_0+t)=\sigma\upsilon\nu x_0\sigma\upsilon\nu t-\eta\mu x_0\eta\mu t$ . ✅

Συνέπεια συνέχειας

Οι σχέσεις $\lim\limits_{x\to x_0}\eta\mu x=\eta\mu x_0$ και $\lim\limits_{x\to x_0}\sigma\upsilon\nu x=\sigma\upsilon\nu x_0$ σημαίνουν ότι οι $\eta\mu, \sigma\upsilon\nu$ είναι συνεχείς σε κάθε πραγματικό αριθμό. Θα το διατυπώσουμε αυστηρά στο κεφάλαιο για τη συνέχεια.

Το θεμελιώδες όριο $\dfrac{\eta\mu x}{x}$ ⭐

Πρόταση (Θεμελιώδες Όριο)

\lim_{x \to 0} \dfrac{\eta\mu x}{x} = 1

Απόδειξη: Για $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ , παίρνουμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και συγκρίνουμε τα εμβαδά (δες σχήμα στη σελίδα 49 του Β' Τεύχους):

Εμβαδόν τριγώνου $OA\Gamma$ : $\dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \eta\mu t = \dfrac{\eta\mu t}{2}$ .
Εμβαδόν κυκλικού τομέα $OA\Gamma$ : $\dfrac{1}{2}\cdot 1^2 \cdot t = \dfrac{t}{2}$ .
Εμβαδόν τριγώνου $OAN$ (όπου $N$ στην εφαπτομένη στο $A$ ): $\dfrac{1}{2}\cdot 1 \cdot \varepsilon\varphi t = \dfrac{\varepsilon\varphi t}{2}$ .

Αφού το τρίγωνο $OA\Gamma$ ⊂ κυκλικός τομέας ⊂ τρίγωνο $OAN$ :

\frac{\eta\mu t}{2}<\frac{t}{2}<\frac{\varepsilon\varphi t}{2} \Rightarrow \eta\mu t<t<\frac{\eta\mu t}{\sigma\upsilon\nu t}

Διαιρώντας με $\eta\mu t > 0$ :

1<\frac{t}{\eta\mu t}<\frac{1}{\sigma\upsilon\nu t} \Rightarrow \sigma\upsilon\nu t<\frac{\eta\mu t}{t}<1

Εφαρμόζοντας το κριτήριο παρεμβολής, αφού $\lim\limits_{t \to 0^+} \sigma\upsilon\nu t = 1$ και $\lim\limits_{t \to 0^+} 1 = 1$ :

\lim_{t \to 0^+} \dfrac{\eta\mu t}{t} = 1

Για $t \to 0^-$ , θέτουμε $t=-s$ και η $\dfrac{\eta\mu t}{t}=\dfrac{-\eta\mu s}{-s}=\dfrac{\eta\mu s}{s}$ διατηρεί την ίδια συμπεριφορά.

\lim_{t \to 0} \dfrac{\eta\mu t}{t} = 1 \checkmark

Χρήσιμη γενίκευση 💡

Γενίκευση βασικού ορίου

Για κάθε $a \neq 0$ :

\lim_{x \to 0} \dfrac{\eta\mu(ax)}{ax} = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} \dfrac{\eta\mu(ax)}{x} = a

Γενικότερα, αν $\lim\limits_{x\to x_0} u(x)=0$ με $u(x)\neq 0$ κοντά στο $x_0$ :

\lim_{x \to x_0} \dfrac{\eta\mu u(x)}{u(x)}=1

Πρακτικές εφαρμογές 📚

Παράδειγμα 1: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\eta\mu(3x)}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\eta\mu(3x)}{3x}\cdot 3=1\cdot 3=3$ .

Παράδειγμα 2: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\eta\mu(5x)}{\eta\mu(2x)}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\eta\mu(5x)}{5x}\cdot\dfrac{2x}{\eta\mu(2x)}\cdot\dfrac{5}{2}=1\cdot 1\cdot\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{2}$ .

Παράδειγμα 3: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\sigma\upsilon\nu x}{x^2}$ . Χρησιμοποιώντας $1-\sigma\upsilon\nu x=2\eta\mu^2(x/2)$ :

\lim_{x\to 0}\frac{2\eta\mu^2(x/2)}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\left(\frac{\eta\mu(x/2)}{x/2}\right)^2=\frac{1}{2}

Θυμήσου τα τρία βασικά

Όλα τα τριγωνομετρικά όρια ανάγονται σε αυτά τα τρία:

$\lim\limits_{x\to x_0}\eta\mu x=\eta\mu x_0$
$\lim\limits_{x\to x_0}\sigma\upsilon\nu x=\sigma\upsilon\nu x_0$
$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\eta\mu x}{x}=1$ ⭐

Με κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής ή αλγεβρική επεξεργασία, μπορούμε να υπολογίσουμε πρακτικά κάθε τριγωνομετρικό όριο σε αυτό το επίπεδο.