Όρια Βασικών Συναρτήσεων στο Άπειρο

Για τον πρακτικό υπολογισμό ορίων στο $\pm\infty$ , χρειαζόμαστε ένα οπλοστάσιο γνωστών βασικών ορίων, σε συνδυασμό με τους κανόνες πράξεων του $\overline{\mathbb{R}}$ . 🧮

Γενικές παρατηρήσεις 📝

Για τα όρια στο $\pm\infty$ , ισχύουν οι ιδιότητες ορίων (αθροίσματος, γινομένου, πηλίκου, δυνάμεων, ριζών) που γνωρίσαμε για τα πεπερασμένα σημεία, με τις εξής προϋποθέσεις:

Οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα διαστήματα της μορφής $(a,+\infty)$ ή $(-\infty,a)$ .
Δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή.

Όρια βασικών συναρτήσεων 🧮

Βασικά Όρια

(α) $\lim\limits_{x \to +\infty} x = +\infty$ , $\quad \lim\limits_{x \to -\infty} x = -\infty$

(β) $\lim\limits_{x \to +\infty} c = c$ , $\quad \lim\limits_{x \to -\infty} c = c$ , για σταθερά $c$

(γ) $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ , $\quad \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$

(δ) Για $\nu \in \mathbb{N}^*$ : $\lim\limits_{x\to +\infty} x^\nu = +\infty$ . Για το $-\infty$ : $\lim\limits_{x\to -\infty} x^\nu = +\infty$ αν $\nu$ άρτιος, $-\infty$ αν $\nu$ περιττός.

(ε) Για $\nu \in \mathbb{N}^*$ : $\lim\limits_{x\to \pm\infty} \dfrac{1}{x^\nu}=0$ .

Απόδειξη του (γ): Αποδείχθηκε στις προηγούμενες ενότητες από τον ορισμό.

Απόδειξη του (δ) για $\nu=2$ : $\lim\limits_{x\to-\infty} x^2 = \lim\limits_{x\to-\infty}(x\cdot x)=(-\infty)\cdot(-\infty)=+\infty$ (στο $\overline{\mathbb{R}}$ ). ✅

Όριο πολυωνύμου στο άπειρο 📐

Πρόταση: Όριο πολυωνύμου

Δίνεται το πολυώνυμο $P(x) = a_\nu x^\nu + a_{\nu-1}x^{\nu-1} + \cdots + a_0$ , με $a_\nu \neq 0$ . Τότε:

\lim_{x \to +\infty} P(x) = \lim_{x \to +\infty} a_\nu x^\nu \quad \text{και} \quad \lim_{x \to -\infty} P(x) = \lim_{x \to -\infty} a_\nu x^\nu

Απόδειξη: Παραγοντοποιούμε τον κυρίαρχο όρο:

P(x) = a_\nu x^\nu \left(1 + \frac{a_{\nu-1}}{a_\nu x} + \frac{a_{\nu-2}}{a_\nu x^2} + \cdots + \frac{a_0}{a_\nu x^\nu}\right)

Καθώς $x \to \pm\infty$ , κάθε όρος μέσα στην παρένθεση (εκτός του $1$ ) τείνει στο $0$ . Άρα η παρένθεση τείνει στο $1$ , και το όριο καθορίζεται από τον $a_\nu x^\nu$ . ✅

Πρακτικός κανόνας

Το όριο ενός πολυωνύμου στο $\pm\infty$ καθορίζεται μόνο από τον όρο μεγαλύτερου βαθμού (τον κυρίαρχο όρο). Οι υπόλοιποι όροι είναι αμελητέοι στο άπειρο.

Παράδειγμα: $\lim\limits_{x\to+\infty}(3x^4-5x^3+x-7)=\lim\limits_{x\to+\infty} 3x^4 = +\infty$ .

Όριο ρητής συνάρτησης στο άπειρο 📐

Πρόταση: Όριο ρητής συνάρτησης

Δίνεται η ρητή συνάρτηση:

f(x) = \dfrac{a_\nu x^\nu + a_{\nu-1}x^{\nu-1} + \cdots + a_0}{\beta_\kappa x^\kappa + \beta_{\kappa-1}x^{\kappa-1} + \cdots + \beta_0}

με $a_\nu \neq 0$ και $\beta_\kappa \neq 0$ . Τότε:

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{a_\nu x^\nu}{\beta_\kappa x^\kappa}

Απόδειξη: Εφαρμόζουμε την πρόταση για πολυώνυμα στον αριθμητή και τον παρονομαστή, και κατόπιν την ιδιότητα του πηλίκου (εφόσον ο παρονομαστής δεν τείνει στο $0$ ). ✅

Οι τρεις περιπτώσεις 🎯

Πρακτικός κανόνας για ρητές συναρτήσεις

Για τον υπολογισμό του ορίου ρητής συνάρτησης στο $\pm\infty$ , κρατάμε μόνο τους κυρίαρχους όρους αριθμητή και παρονομαστή:

Αν $\nu = \kappa$ (ίδιος βαθμός): το όριο είναι $\dfrac{a_\nu}{\beta_\kappa}$ (πηλίκο κυρίαρχων συντελεστών).
Αν $\nu < \kappa$ (μικρότερος βαθμός αριθμητή): το όριο είναι $0$ .
Αν $\nu > \kappa$ (μεγαλύτερος βαθμός αριθμητή): το όριο είναι $\pm\infty$ , με πρόσημο που εξαρτάται από τα $a_\nu, \beta_\kappa$ και από το $\pm\infty$ .

Παραδείγματα εφαρμογής 📚

Παράδειγμα 1 (ίδιος βαθμός):

\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+7x^2-4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3}{5x^3}=\frac{2}{5}

Παράδειγμα 2 (μικρότερος αριθμητής):

\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^4-2x+5}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^4}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3}{x^2}=0

Παράδειγμα 3 (μεγαλύτερος αριθμητής):

\lim_{x\to+\infty}\frac{x^4-3x^2}{2x^2+1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^4}{2x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{2}=+\infty

Παράδειγμα 4 (πρόσημο στο $-\infty$ ):

\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3+1}{x^2+x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{x^2}=\lim_{x\to-\infty}x=-\infty

Όρια με ρίζες στο άπειρο 📝

Για ρητές εκφράσεις με ρίζες, συχνά χρειάζεται:

Τεχνικές με ρίζες στο άπειρο

Παραγοντοποίηση μέσα στη ρίζα: π.χ. $\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}$ . Προσοχή: για $x\to-\infty$ , $|x|=-x$ !
Συζυγής για άρση απροσδιοριστίας $\infty-\infty$ με ρίζες.

Παράδειγμα με συζυγή:

\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}=\frac{1}{2}

Βαθύτερο συμπέρασμα

Στο άπειρο, οι συναρτήσεις μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σε «τάξεις μεγέθους»: λογάριθμος $\ll$ πολυώνυμο $\ll$ εκθετική. Στο επίπεδο της Β' Λυκείου μας αρκούν τα πολυώνυμα και οι ρητές, όπου η «τάξη μεγέθους» δίνεται από τον βαθμό.