Ορισμός Ορίου Συνάρτησης στο $-\infty$

Συμμετρικά προς το $+\infty$ , εξετάζουμε τη συμπεριφορά της $f$ καθώς το $x$ μειώνεται απεριόριστα, δηλαδή καθώς το $x$ γίνεται «πολύ αρνητικό». 🔢

Προϋπόθεση κοινή: η $f$ ορίζεται σε σύνολο που περιέχει διάστημα της μορφής $(-\infty, a)$ .

Περίπτωση 1: Πεπερασμένο όριο στο $-\infty$ 📏

Όταν οι τιμές $f(x)$ προσεγγίζουν τον πραγματικό αριθμό $L$ , καθώς το $x$ μειώνεται απεριόριστα:

\lim_{x \to -\infty} f(x) = L

Ορισμός (ε-x₀)

\lim_{x \to -\infty} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \ \exists x_0 > 0 : \ \forall x \in D_f \text{ με } x < -x_0 \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon

Σχόλιο: Εδώ χρησιμοποιούμε $x_0 > 0$ και τη συνθήκη $x < -x_0$ (δηλ. το $x$ είναι πολύ αρνητικό).

Γραφικά: Η ευθεία $y=L$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο $-\infty$ .

Περίπτωση 2: Όριο $+\infty$ στο $-\infty$ 📈

Όταν οι τιμές $f(x)$ αυξάνονται απεριόριστα, καθώς το $x$ μειώνεται απεριόριστα:

\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty

Ορισμός

\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0, \ \exists x_0 > 0 : \ \forall x \in D_f \text{ με } x < -x_0 \Rightarrow f(x) > M

Παραδείγματα: $f(x)=x^2, f(x)=x^4$ τείνουν στο $+\infty$ όταν $x \to -\infty$ .

Περίπτωση 3: Όριο $-\infty$ στο $-\infty$ 📉

Όταν οι τιμές $f(x)$ μειώνονται απεριόριστα, καθώς το $x$ μειώνεται απεριόριστα:

\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty

Ορισμός

\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \iff \forall M > 0, \ \exists x_0 > 0 : \ \forall x \in D_f \text{ με } x < -x_0 \Rightarrow f(x) < -M

Παραδείγματα: $f(x)=x, f(x)=x^3$ τείνουν στο $-\infty$ όταν $x \to -\infty$ .

Χρήσιμη σύνδεση $+\infty \leftrightarrow -\infty$ 🔗

Μεταφορά ορίου με αλλαγή μεταβλητής

Θέτοντας $t=-x$ (αλλαγή μεταβλητής):

\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{t\to +\infty} f(-t)

Έτσι ανάγουμε τον υπολογισμό ορίου στο $-\infty$ σε όριο στο $+\infty$ ! Πολύ χρήσιμο στην πράξη.

Παράδειγμα: Για $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2$ , θέτουμε $t=-x$ , οπότε $x^2=(-t)^2=t^2$ , άρα $\lim\limits_{x\to-\infty} x^2 = \lim\limits_{t\to+\infty} t^2 = +\infty$ .

Συμμετρία των ορισμών 📊

Οι ορισμοί στο $-\infty$ είναι συμμετρικοί προς εκείνους του $+\infty$ αν αντικαταστήσουμε $x > x_0$ με $x < -x_0$ :

Όριο στο $+\infty$	Όριο στο $-\infty$
$x > x_0$	$x < -x_0$
Το $x$ «μεγάλο θετικό»	Το $x$ «μεγάλο αρνητικό»

Απόδειξη ενός βασικού ορίου 🎓

Πρόταση: $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0$ .

Απόδειξη: Έστω $\varepsilon>0$ . Για $x<0$ , $\left|\dfrac{1}{x}\right|=-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{-x}$ . Θέλουμε $\dfrac{1}{-x}<\varepsilon \iff -x>\dfrac{1}{\varepsilon} \iff x<-\dfrac{1}{\varepsilon}$ . Διαλέγουμε $x_0=\dfrac{1}{\varepsilon}>0$ . Για $x<-x_0$ :

\left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon \checkmark

Παρατηρήσεις για την έννοια 📝

Προσοχή στους ορισμούς

Όταν γράφουμε $x \to -\infty$ , δεν υπάρχουν «πλευρικά όρια» (όπως στα πεπερασμένα σημεία). Η προσέγγιση γίνεται πάντα «από τα δεξιά» (από μεγαλύτερα προς μικρότερα).
Παρομοίως, στο $+\infty$ η προσέγγιση γίνεται «από τα αριστερά» (από μικρότερα προς μεγαλύτερα).
Άρα δεν έχει νόημα γραφή όπως $\lim\limits_{x\to+\infty^-}$ ή $\lim\limits_{x\to-\infty^+}$ .

Γιατί είναι σημαντικό

Τα όρια στο άπειρο αποκαλύπτουν τη μακροσκοπική συμπεριφορά της συνάρτησης: οριζόντιες ασύμπτωτες, εκθετική ανάπτυξη, λογαριθμική επιβράδυνση. Είναι θεμέλιο της μελέτης της γραφικής παράστασης, της μοντελοποίησης πληθυσμών (οριακή τιμή), και πολλών εφαρμογών της Φυσικής (μόνιμες καταστάσεις).

Ορισμός Ορίου Συνάρτησης στο −∞-\infty−∞

Περίπτωση 1: Πεπερασμένο όριο στο −∞-\infty−∞ 📏

Περίπτωση 2: Όριο +∞+\infty+∞ στο −∞-\infty−∞ 📈

Περίπτωση 3: Όριο −∞-\infty−∞ στο −∞-\infty−∞ 📉

Χρήσιμη σύνδεση +∞↔−∞+\infty \leftrightarrow -\infty+∞↔−∞ 🔗