Ορισμός Ορίου Συνάρτησης στο $+\infty$

Όταν η μεταβλητή $x$ αυξάνεται απεριόριστα, η συνάρτηση $f$ μπορεί να συμπεριφέρεται με τρεις τρόπους: να τείνει σε έναν πραγματικό αριθμό, να τείνει στο $+\infty$ , ή να τείνει στο $-\infty$ . Εξετάζουμε και τις τρεις περιπτώσεις. 🔢

Προϋπόθεση κοινή: η $f$ ορίζεται σε σύνολο που περιέχει διάστημα της μορφής $(a, +\infty)$ .

Περίπτωση 1: Πεπερασμένο όριο στο $+\infty$ 📏

Όταν οι τιμές της $f$ προσεγγίζουν όσο θέλουμε τον αριθμό $L \in \mathbb{R}$ , καθώς το $x$ αυξάνεται απεριόριστα, γράφουμε:

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L

Ορισμός (ε-x₀)

\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0, \ \exists x_0 > 0 : \ \forall x \in D_f \text{ με } x > x_0 \Rightarrow |f(x) - L| < \varepsilon

Ερμηνεία: Όσο μικρό $\varepsilon$ κι αν επιλέξουμε, μπορούμε να βρούμε ένα σημείο $x_0$ στον άξονα $x$ , μετά το οποίο όλες οι τιμές $f(x)$ είναι σε απόσταση μικρότερη του $\varepsilon$ από το $L$ .

Γραφικά: Η ευθεία $y=L$ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης στο $+\infty$ .

Περίπτωση 2: Όριο $+\infty$ στο $+\infty$ 📈

Όταν οι τιμές της $f$ αυξάνονται απεριόριστα, καθώς το $x$ αυξάνεται απεριόριστα:

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty

Ορισμός

\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \iff \forall M > 0, \ \exists x_0 > 0 : \ \forall x \in D_f \text{ με } x > x_0 \Rightarrow f(x) > M

Ερμηνεία: Δοθέντος οποιουδήποτε «μεγάλου ύψους» $M$ , μπορούμε να βρούμε ένα σημείο $x_0$ στον άξονα $x$ , μετά το οποίο όλες οι τιμές $f(x)$ υπερβαίνουν το $M$ .

Παραδείγματα: $f(x)=x, f(x)=x^2, f(x)=e^x$ , όλες τείνουν στο $+\infty$ όταν $x\to +\infty$ .

Περίπτωση 3: Όριο $-\infty$ στο $+\infty$ 📉

Όταν οι τιμές της $f$ μειώνονται απεριόριστα, καθώς το $x$ αυξάνεται απεριόριστα:

\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty

Ορισμός

\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \iff \forall M > 0, \ \exists x_0 > 0 : \ \forall x \in D_f \text{ με } x > x_0 \Rightarrow f(x) < -M

Παραδείγματα: $f(x)=-x, f(x)=-x^3$ , τείνουν στο $-\infty$ όταν $x\to+\infty$ .

Σύγκριση των τριών ορισμών 📊

Οι τρεις ορισμοί έχουν κοινή δομή: η συνθήκη για το $x$ είναι πάντα « $x > x_0$ » (το $x$ είναι «αρκετά μεγάλο»). Αλλάζει μόνο η συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί το $f(x)$ :

Όριο	Συνθήκη για $f(x)$
Πραγματικός $L$	$\\|f(x)-L\\|<\varepsilon$
$+\infty$	$f(x)>M$
$-\infty$	$f(x)<-M$

Απόδειξη ενός βασικού ορίου 🎓

Πρόταση: $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0$ .

Απόδειξη: Έστω $\varepsilon>0$ . Θέλουμε $\left|\dfrac{1}{x}-0\right|<\varepsilon \iff \dfrac{1}{x}<\varepsilon$ (για $x>0$ ) $\iff x>\dfrac{1}{\varepsilon}$ . Διαλέγουμε $x_0=\dfrac{1}{\varepsilon}$ . Τότε για κάθε $x>x_0$ :

\left|\frac{1}{x}\right|<\frac{1}{x_0}=\varepsilon \checkmark

Πρόταση: $\lim\limits_{x\to+\infty} x = +\infty$ .

Απόδειξη: Έστω $M>0$ . Διαλέγουμε $x_0=M$ . Για κάθε $x>x_0=M$ ισχύει άμεσα $x>M$ . ✅

Πρακτικό συμπέρασμα 💡

Πρακτικός κανόνας

Για να αποδείξεις από τον ορισμό ότι το $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=L$ (ή $\pm\infty$ ):

Εκφράζεις τη συνθήκη για $f(x)$ ως ανισότητα σε $x$ .
Λύνεις την ανισότητα ως προς $x$ , ώστε να βρεις πότε ισχύει.
Επιλέγεις $x_0$ ίσο με αυτή τη λύση (ή κάτι μεγαλύτερο).

Σημαντική παρατήρηση

Ανεξάρτητα από το αν το όριο είναι πραγματικός αριθμός ή $\pm\infty$ , η ουσία μένει: καθώς το $x$ «απομακρύνεται» απεριόριστα προς τα θετικά, παρακολουθούμε τι κάνουν οι $f(x)$ . Η συμπεριφορά της συνάρτησης στο άπειρο αποκαλύπτει τις οριζόντιες ασύμπτωτες, την τάξη μεγέθους και πολλές άλλες βαθιές ιδιότητες.

Ορισμός Ορίου Συνάρτησης στο +∞+\infty+∞

Περίπτωση 1: Πεπερασμένο όριο στο +∞+\infty+∞ 📏

Περίπτωση 2: Όριο +∞+\infty+∞ στο +∞+\infty+∞ 📈

Περίπτωση 3: Όριο −∞-\infty−∞ στο +∞+\infty+∞ 📉