Επέκταση του $\mathbb{R}$

Για να γίνουν οι υπολογισμοί με άπειρα όρια πιο εύκολοι, επεκτείνουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών προσθέτοντας δύο «ιδανικά σύμβολα», τα $+\infty$ και $-\infty$ . 🌐

Το επεκτεταμένο σύνολο $\overline{\mathbb{R}}$ 🌐

Ορισμός του $ \overline{\mathbb{R}} $

Ορίζουμε:

\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}

με την διάταξη: $-\infty < x < +\infty$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Σημαντικό

Τα $+\infty$ και $-\infty$ δεν είναι πραγματικοί αριθμοί! Είναι σύμβολα που εκφράζουν συμπεριφορά «απεριόριστης αύξησης/μείωσης». Δεν ισχύουν γι' αυτά όλες οι ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.

Πράξεις στο $\overline{\mathbb{R}}$ 🧮

Επεκτείνουμε τις πράξεις με φυσικό τρόπο, σύμφωνα με τις ιδιότητες ορίων:

Πίνακας πράξεων

Πρόσθεση:

$(+\infty) + (+\infty) = +\infty$
$(-\infty) + (-\infty) = -\infty$
$(+\infty) + a = +\infty$ , $\forall a \in \mathbb{R}$
$(-\infty) + a = -\infty$ , $\forall a \in \mathbb{R}$

Πολλαπλασιασμός:

$a \cdot (+\infty) = +\infty$ , αν $a > 0$
$a \cdot (+\infty) = -\infty$ , αν $a < 0$
$a \cdot (-\infty) = -\infty$ , αν $a > 0$
$a \cdot (-\infty) = +\infty$ , αν $a < 0$
$(+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$
$(-\infty) \cdot (-\infty) = +\infty$
$(+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty$

Διαίρεση:

$\dfrac{a}{\pm\infty} = 0$ , $\forall a \in \mathbb{R}$

Δυνάμεις:

$a^{+\infty} = +\infty$ , αν $a > 1$
$a^{+\infty} = 0$ , αν $0 \leq a < 1$
$(+\infty)^a = +\infty$ , $\forall a > 0$

Πότε είναι λογικοί αυτοί οι κανόνες; 🤔

Ας πάρουμε για παράδειγμα $a\cdot(+\infty)=+\infty$ για $a>0$ . Αυτό σημαίνει: αν $f(x)\to a$ και $g(x)\to +\infty$ με $a>0$ , τότε $f(x)g(x)\to +\infty$ . Πράγματι, το γινόμενο ενός θετικού αριθμού με ένα «απεριόριστα μεγάλο» είναι «απεριόριστα μεγάλο».

Απροσδιόριστες μορφές ❓

Ορισμένες πράξεις δεν μπορούν να επεκταθούν στο $\overline{\mathbb{R}}$ γιατί το αποτέλεσμα δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο — εξαρτάται από τη συγκεκριμένη συνάρτηση:

Απροσδιόριστες Μορφές

(+\infty) - (+\infty), \quad (-\infty) - (-\infty), \quad (+\infty) + (-\infty), \quad (-\infty) + (+\infty)

0 \cdot (\pm\infty), \quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty}, \quad \frac{0}{0}, \quad 0^0, \quad 1^{\pm\infty}, \quad (\pm\infty)^0

Γιατί είναι απροσδιόριστες; 🔍

Παράδειγμα του $\infty - \infty$ :

$f(x)=x, g(x)=x-5$ . Τότε $f(x)-g(x)=5$ για κάθε $x$ , άρα το όριο είναι $5$ .
$f(x)=x^2, g(x)=x$ . Τότε $f(x)-g(x)=x^2-x \to +\infty$ .
$f(x)=x, g(x)=x^2$ . Τότε $f(x)-g(x)=x-x^2 \to -\infty$ .

Ίδια μορφή $\infty-\infty$ , αλλά τρία διαφορετικά αποτελέσματα! Άρα δεν μπορούμε να ορίσουμε μονοσήμαντα.

Παράδειγμα του $\dfrac{0}{0}$ :

$\dfrac{x}{x} \to 1$
$\dfrac{x^2}{x} \to 0$
$\dfrac{x}{x^2} \to \pm\infty$

Άρα και πάλι, η μορφή $\dfrac{0}{0}$ δεν καθορίζει το όριο — απαιτείται αλγεβρική επεξεργασία.

Τεχνικές άρσης απροσδιοριστίας 🔧

Εργαλεία άρσης απροσδιοριστίας

Όταν συναντάμε απροσδιόριστη μορφή, χρειάζεται αλγεβρική επεξεργασία για να μετασχηματίσουμε την παράσταση σε μορφή που δεν είναι πλέον απροσδιόριστη. Οι κυριότερες τεχνικές:

Παραγοντοποίηση (για $\dfrac{0}{0}$ σε πολυώνυμα): Διαίρεση με $(x-x_0)$ ή παραγοντοποίηση Horner.
Συζυγής παράσταση (για ρίζες): Πολλαπλασιασμός και διαίρεση με το συζυγές $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ .
Κοινή ανάγωγη (για $\infty-\infty$ με κλάσματα): Φέρουμε σε κοινό παρονομαστή.
Διαίρεση με τον όρο μέγιστου βαθμού (για $\dfrac{\infty}{\infty}$ ): Στο όριο στο άπειρο.
Κριτήριο παρεμβολής (για τριγωνομετρικές εκφράσεις).
Βασικό όριο $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\eta\mu x}{x}=1$ .

Σύνοψη των κανόνων με παραδείγματα 📊

Μορφή	Παράδειγμα	Τεχνική
$\dfrac{0}{0}$	$\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$	Παραγοντοποίηση
$\dfrac{\infty}{\infty}$	$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2+1}{x^2-x}$	Κυρίαρχος όρος
$\infty-\infty$	$\lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)$	Συζυγής
$0\cdot\infty$	$\lim\limits_{x\to 0^+}(x\ln x)$	Μετασχηματισμός

Το βασικό μήνυμα

Το $\overline{\mathbb{R}}$ είναι ένα εργαλείο που μας επιτρέπει να εκτελούμε αλγεβρικές πράξεις σε όρια, χωρίς να χρειάζεται κάθε φορά να επιστρέφουμε στον ορισμό ε-δ. Πρέπει όμως να γνωρίζουμε καλά πού ισχύουν οι κανόνες και πού χρειάζεται αλγεβρική επεξεργασία (απροσδιόριστες μορφές).

Επέκταση του R\mathbb{R}R

Το επεκτεταμένο σύνολο R‾\overline{\mathbb{R}}R 🌐

Πράξεις στο R‾\overline{\mathbb{R}}R 🧮