Πλευρικά Όρια – Ιδιότητες Μη Πεπερασμένων Ορίων

Όπως και στα πεπερασμένα όρια, έτσι και στα μη πεπερασμένα μπορούμε να μιλήσουμε για πλευρικά όρια και για ιδιότητες που διέπουν την αλγεβρική τους συμπεριφορά. 🔗

Πλευρικά άπειρα όρια 📈📉

Ορίζουμε πλευρικά όρια $+\infty$ και $-\infty$ με προφανή τρόπο:

Πλευρικά άπειρα όρια

$\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=+\infty \iff \forall M>0, \exists \delta>0 : \forall x \in D_f \text{ με } 0<x-x_0<\delta \Rightarrow f(x)>M$ .
$\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=+\infty \iff \forall M>0, \exists \delta>0 : \forall x \in D_f \text{ με } 0<x_0-x<\delta \Rightarrow f(x)>M$ .
Αντίστοιχα για $-\infty$ : αλλάζουμε $f(x)>M$ σε $f(x)<-M$ .

Θεώρημα σύνδεσης 🔗

Πρόταση: Άπειρο όριο μέσω πλευρικών

\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty

\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty

Προσοχή: Αν τα πλευρικά είναι το ένα $+\infty$ και το άλλο $-\infty$ (ή πεπερασμένο), τότε το $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ δεν υπάρχει (ούτε καν ως άπειρο).

Κλασικό παράδειγμα 🎓

Παράδειγμα: Η $f(x)=\dfrac{1}{x}$ στο $x_0=0$ :

Για $x\to 0^+$ : $x>0$ , άρα $\dfrac{1}{x}>0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$ .
Για $x\to 0^-$ : $x<0$ , άρα $\dfrac{1}{x}<0$ , $\lim\limits_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=-\infty$ .

Άρα το $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{x}$ δεν υπάρχει.

Ιδιότητες μη πεπερασμένων ορίων 🧮

Παρακάτω όλες οι ιδιότητες αποδεικνύονται με τη βοήθεια του ορισμού.

Ιδιότητες μη πεπερασμένων ορίων

Αν $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ , τότε:

$\lim\limits_{x \to x_0} (-f(x)) = -\infty$
$\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{1}{f(x)} = 0$
$\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = +\infty$
$\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[\kappa]{f(x)} = +\infty$ , $\kappa \in \mathbb{N}$

Αν $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = -\infty$ , τότε:

$\lim\limits_{x \to x_0} (-f(x)) = +\infty$
$\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{1}{f(x)} = 0$
$\lim\limits_{x \to x_0} |f(x)| = +\infty$

Αν $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = 0$ και:

$f(x) > 0$ κοντά στο $x_0$ (συμβολικά $f\to 0^+$ ): $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{1}{f(x)} = +\infty$ ➕
$f(x) < 0$ κοντά στο $x_0$ (συμβολικά $f\to 0^-$ ): $\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{1}{f(x)} = -\infty$ ➖

Σκιαγραφία αποδείξεων 🎓

Απόδειξη: $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=+\infty \Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{1}{f(x)}=0$ .

Έστω $\varepsilon>0$ . Θέτουμε $M=\dfrac{1}{\varepsilon}>0$ . Από την υπόθεση, υπάρχει $\delta>0$ ώστε $f(x)>M$ για $0<|x-x_0|<\delta$ . Τότε $f(x)>0$ , άρα $0<\dfrac{1}{f(x)}<\dfrac{1}{M}=\varepsilon$ . Άρα $\left|\dfrac{1}{f(x)}-0\right|<\varepsilon$ . ✅

Απόδειξη: $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=0$ με $f(x)>0$ $\Rightarrow \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty$ .

Έστω $M>0$ . Θέτουμε $\varepsilon=\dfrac{1}{M}>0$ . Υπάρχει $\delta>0$ ώστε $0<f(x)<\varepsilon$ για $0<|x-x_0|<\delta$ . Τότε $\dfrac{1}{f(x)}>\dfrac{1}{\varepsilon}=M$ . ✅

Απροσδιόριστες και καλώς ορισμένες μορφές ⚠

Πρακτικοί κανόνες

Καλώς ορισμένες (από αυτές προκύπτει άμεσα το όριο):

$+\infty + (+\infty) = +\infty$
$-\infty + (-\infty) = -\infty$
$\lambda \cdot (+\infty) = +\infty$ αν $\lambda>0$
$\dfrac{\lambda}{\pm\infty} = 0$

Απροσδιόριστες μορφές:

$+\infty + (-\infty)$ , $0\cdot(\pm\infty)$ , $\dfrac{\pm\infty}{\pm\infty}$ , $\dfrac{0}{0}$ , $0^0, 1^{\pm\infty}, (\pm\infty)^0$ .

Βασικός πρακτικός κανόνας για κλάσματα 💡

Χρυσός κανόνας άρσης απροσδιοριστίας στο $ x_0 $

Όταν σε κλάσμα $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ ο αριθμητής τείνει σε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό $\ell \neq 0$ και ο παρονομαστής τείνει στο $0$ , τότε το όριο του κλάσματος είναι $\pm\infty$ . Για το πρόσημο πρέπει να κάνουμε μελέτη προσήμων του $f(x)$ και του $g(x)$ κοντά στο $x_0$ :

Αριθμητής $> 0$ , παρονομαστής $\to 0^+$ : $+\infty$ .
Αριθμητής $> 0$ , παρονομαστής $\to 0^-$ : $-\infty$ .
Αριθμητής $< 0$ , παρονομαστής $\to 0^+$ : $-\infty$ .
Αριθμητής $< 0$ , παρονομαστής $\to 0^-$ : $+\infty$ .

Παράδειγμα εφαρμογής 📚

Παράδειγμα: Βρες $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{x+1}{x-2}$ .

Ο αριθμητής $x+1 \to 3 > 0$ . Ο παρονομαστής $x-2 \to 0$ , και για $x>2$ , $x-2>0$ , άρα $x-2\to 0^+$ .

Επομένως: $\lim\limits_{x\to 2^+}\dfrac{x+1}{x-2}=+\infty$ .

Αντίστοιχα: $\lim\limits_{x\to 2^-}\dfrac{x+1}{x-2}=-\infty$ , και επομένως το $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x+1}{x-2}$ δεν υπάρχει.