Η Έννοια του Μη Πεπερασμένου Ορίου

Μέχρι τώρα εξετάσαμε όρια όπου η $f(x)$ προσέγγιζε έναν πραγματικό αριθμό. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου οι τιμές $f(x)$ αυξάνονται ή μειώνονται απεριόριστα, χωρίς να πλησιάζουν κάποιον συγκεκριμένο αριθμό. Σε αυτές τις περιπτώσεις λέμε ότι η συνάρτηση έχει μη πεπερασμένο όριο (ή άπειρο όριο). ♾️

Γιατί μας ενδιαφέρει; 🤔

Τέτοιες συμπεριφορές εμφανίζονται πολύ συχνά, π.χ.:

$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ στο $x_0=0$ : οι τιμές «εκρήγνυνται» στο $+\infty$ .
$f(x)=\ln x$ στο $x_0=0$ (από δεξιά): οι τιμές τείνουν στο $-\infty$ .
Κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης εκδηλώνονται ακριβώς με άπειρα όρια.

Ορισμός μη πεπερασμένου ορίου $+\infty$ 📈

Ορισμός: $ \lim_{x\to x_0} f(x) = +\infty $

Έστω $f$ συνάρτηση ορισμένη σε σύνολο $D_f$ που περιέχει διάστημα της μορφής $(a, x_0) \cup (x_0, \beta)$ . Λέμε ότι:

\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty

αν και μόνον αν:

\forall M > 0, \ \exists \delta > 0 : \ \forall x \in D_f \text{ με } 0 < |x - x_0| < \delta \ \Rightarrow \ f(x) > M

Ορισμός μη πεπερασμένου ορίου $-\infty$ 📉

Ορισμός: $ \lim_{x\to x_0} f(x) = -\infty $

Με τις ίδιες προϋποθέσεις:

\lim_{x \to x_0} f(x) = -\infty

αν και μόνον αν:

\forall M > 0, \ \exists \delta > 0 : \ \forall x \in D_f \text{ με } 0 < |x - x_0| < \delta \ \Rightarrow \ f(x) < -M

Αποκωδικοποίηση του ορισμού 🔓

Σύγκρινε με τον ορισμό πεπερασμένου ορίου:

Πεπερασμένο $\lambda$	Μη πεπερασμένο $+\infty$
$\forall \varepsilon>0$	$\forall M>0$
$\\|f(x)-\lambda\\|<\varepsilon$	$f(x)>M$
«κοντά στο $\lambda$ »	«πάνω από κάθε όριο $M$ »

Η κεντρική ιδέα

Το «πάρα πολύ μεγάλο» δεν είναι ένας συγκεκριμένος αριθμός — είναι μια τάση. Όσο μεγάλο $M$ κι αν διαλέξουμε, οι τιμές $f(x)$ υπερβαίνουν το $M$ κοντά στο $x_0$ . Το $+\infty$ λειτουργεί εδώ ως σύμβολο συμπεριφοράς, όχι ως αριθμός.

Σημαντικά βασικά όρια 📐

Πρόταση: Βασικά άπειρα όρια

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{x^{2\nu}} = +\infty$ , $\forall \nu \in \mathbb{N}$ .
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{|x|^\nu} = +\infty$ , $\forall \nu \in \mathbb{N}$ .

Ιδέα απόδειξης για $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{1}{x^2}=+\infty$ :

Έστω $M>0$ . Θέλουμε $\dfrac{1}{x^2} > M \iff x^2 < \dfrac{1}{M} \iff |x|<\dfrac{1}{\sqrt{M}}$ . Διαλέγουμε $\delta = \dfrac{1}{\sqrt{M}}$ . Τότε για $0<|x|<\delta$ :

x^2 < \delta^2 = \frac{1}{M} \Rightarrow \frac{1}{x^2}>M \checkmark

Ο κανόνας άρτιας/περιττής δύναμης

Αν η δύναμη στον παρονομαστή είναι άρτια ( $x^{2\nu}$ ), ο παρονομαστής είναι πάντα θετικός κοντά στο $0$ , άρα το κλάσμα $\dfrac{1}{x^{2\nu}}$ τείνει στο $+\infty$ .
Αν η δύναμη είναι περιττή ( $x^{2\nu+1}$ ), ο παρονομαστής αλλάζει πρόσημο γύρω από το $0$ , οπότε πρέπει να εξετάσουμε ξεχωριστά τα πλευρικά όρια.

Γραφική εικόνα 📊

Όταν $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = +\infty$ ή $-\infty$ , η ευθεία $x = x_0$ λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ . Η καμπύλη «εκτοξεύεται» προς τα πάνω ή προς τα κάτω καθώς πλησιάζει την $x = x_0$ .

Σημαντικές παρατηρήσεις 📝

Προσοχή

Όταν γράφουμε $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = +\infty$ , δεν εννοούμε ότι το όριο είναι ο αριθμός $+\infty$ (τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει)! Εννοούμε ότι η $f$ έχει συγκεκριμένη άπειρη συμπεριφορά.
Τεχνικά, λέμε ότι το όριο δεν υπάρχει στο $\mathbb{R}$ αλλά υπάρχει στο $\overline{\mathbb{R}}$ (το επεκτεταμένο σύνολο).
Οι ιδιότητες (α)-(ζ) των προηγούμενων ορίων δεν εφαρμόζονται αυτούσιες σε άπειρα όρια — υπάρχει ξεχωριστή λίστα ιδιοτήτων.

Διαισθητικό παράδειγμα 💡

Παράδειγμα: Η $f(x) = \dfrac{1}{(x-3)^4}$ στο $x_0=3$ :

$x$	$2.9$	$2.99$	$3.01$	$3.1$
$f(x)$	$10^4$	$10^8$	$10^8$	$10^4$

Οι τιμές αυξάνονται ακατάσχετα και από τις δύο πλευρές, άρα $\lim\limits_{x\to 3} \dfrac{1}{(x-3)^4}=+\infty$ .