Ιδιότητες Ορίων

Στην πράξη σπάνια χρησιμοποιούμε τον ορισμό ε-δ για να υπολογίσουμε όρια. Αντί αυτού, εφαρμόζουμε τις ιδιότητες ορίων — κανόνες που μας επιτρέπουν να μεταχειριζόμαστε το όριο σαν μια «αλγεβρική πράξη» πάνω στις συναρτήσεις. 🧮

Προϋποθέσεις εφαρμογής ✅

Για όλες τις παρακάτω ιδιότητες υποθέτουμε:

Οι $f, g$ ορίζονται στα σύνολα $A, B$ αντίστοιχα.
Υπάρχουν τα όρια $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ και $\lim\limits_{x\to a} g(x)$ .
Το $a$ είναι σημείο συσσώρευσης του $A\cap B$ .

Χωρίς αυτές τις υποθέσεις, οι ιδιότητες μπορεί να οδηγήσουν σε σφάλμα.

Βασικές ιδιότητες πράξεων 🧮

Θεώρημα: Ιδιότητες ορίων

(α) $\lim\limits_{x \to a}(f(x) \pm g(x)) = \lim\limits_{x \to a} f(x) \pm \lim\limits_{x \to a} g(x)$ ➕➖

(β) $\lim\limits_{x \to a}(\kappa f(x)) = \kappa \cdot \lim\limits_{x \to a} f(x)$ , $\kappa$ σταθερά

(γ) $\lim\limits_{x \to a}(f(x) \cdot g(x)) = \lim\limits_{x \to a} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to a} g(x)$ ✖️

(δ) Αν $\lim\limits_{x \to a} g(x) \neq 0$ , τότε $\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\lim\limits_{x \to a} f(x)}{\lim\limits_{x \to a} g(x)}$ ➗

(ε) $\lim\limits_{x \to a}(f(x))^\nu = \left(\lim\limits_{x \to a} f(x)\right)^\nu$ , $\nu \in \mathbb{N}$

(στ) $\lim\limits_{x \to a}|f(x)| = \left|\lim\limits_{x \to a} f(x)\right|$

(ζ) $\lim\limits_{x \to a}\sqrt[\nu]{f(x)} = \sqrt[\nu]{\lim\limits_{x \to a} f(x)}$ , με $f(x) \geq 0$ , $\nu \in \mathbb{N}$

Παρατηρήσεις

Η ιδιότητα (γ) ισχύει και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις (επαγωγικά).
Η ιδιότητα (ε) είναι ειδική περίπτωση της (γ) όταν $f=g=...=f$ .
Το αντίστροφο της (α) δεν ισχύει: μπορεί να υπάρχει το όριο του αθροίσματος χωρίς να υπάρχουν τα επιμέρους όρια.
Η ιδιότητα (στ) είναι συνέπεια του ότι η απόλυτη τιμή είναι συνεχής συνάρτηση.

Σκιαγραφία απόδειξης ιδιότητας αθροίσματος 🎓

Πρόταση: Αν $\lim\limits_{x\to a} f(x)=\ell_1$ και $\lim\limits_{x\to a} g(x)=\ell_2$ , τότε $\lim\limits_{x\to a}(f+g)(x)=\ell_1+\ell_2$ .

Απόδειξη: Έστω $\varepsilon>0$ . Υπάρχει $\delta_1>0$ ώστε $|f(x)-\ell_1|<\dfrac{\varepsilon}{2}$ για $0<|x-a|<\delta_1$ , και $\delta_2>0$ ώστε $|g(x)-\ell_2|<\dfrac{\varepsilon}{2}$ για $0<|x-a|<\delta_2$ . Παίρνουμε $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ . Τότε για $0<|x-a|<\delta$ και χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα:

|(f+g)(x)-(\ell_1+\ell_2)| \leq |f(x)-\ell_1|+|g(x)-\ell_2| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \checkmark

Όρια πολυωνυμικών και ρητών συναρτήσεων 📐

Οι ιδιότητες οδηγούν σε ένα από τα πιο χρήσιμα συμπεράσματα:

Πρόταση: Όριο πολυωνύμου

Αν $P(x) = a_\nu x^\nu + a_{\nu-1}x^{\nu-1} + \cdots + a_0$ είναι πολυωνυμική συνάρτηση, τότε:

\lim_{x \to a} P(x) = P(a)

Απόδειξη: Από τη γραμμικότητα του ορίου και την ιδιότητα (ε):

\lim_{x\to a}P(x)=\sum_{k=0}^{\nu} a_k \lim_{x\to a} x^k = \sum_{k=0}^{\nu} a_k \cdot a^k = P(a) \checkmark

Πρόταση: Όριο ρητής συνάρτησης

Αν $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ είναι ρητή συνάρτηση με $Q(a) \neq 0$ , τότε:

\lim_{x \to a} f(x) = f(a) = \frac{P(a)}{Q(a)}

Συνέπεια: Για πολυώνυμα και ρητές συναρτήσεις (όπου ορίζονται), το όριο βρίσκεται με απλή αντικατάσταση.

Απροσδιόριστες μορφές ❓

Όταν εφαρμόζοντας τις ιδιότητες φτάνουμε σε μορφές όπως $\dfrac{0}{0}, \dfrac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty, \infty-\infty$ , αυτές είναι απροσδιόριστες μορφές και χρειάζεται αλγεβρική επεξεργασία:

Τεχνικές άρσης απροσδιοριστίας

Παραγοντοποίηση: Π.χ. $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2}(x+2)=4$ .
Πολλαπλασιασμός με συζυγή: Π.χ. $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\dfrac{1}{2}$ .
Απλοποίηση κοινών παραγόντων.
Χρήση βασικών τριγωνομετρικών ορίων (θα δούμε αργότερα).

Παραδείγματα εφαρμογής 📚

Παράδειγμα 1: $\lim\limits_{x\to 1}(3x^2-2x+5) = 3\cdot 1 - 2\cdot 1+5 = 6$ .

Παράδειγμα 2: $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2+1}{x+1} = \dfrac{4+1}{2+1} = \dfrac{5}{3}$ .

Παράδειγμα 3: $\lim\limits_{x\to 3}\sqrt{x^2+7} = \sqrt{\lim\limits_{x\to 3}(x^2+7)} = \sqrt{16} = 4$ .

Παράδειγμα 4 (απροσδιοριστία):

\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x^2+x+1)=3

Χρυσός κανόνας

Πριν εφαρμόσεις τις ιδιότητες ορίων, έλεγξε ότι τα επιμέρους όρια υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί. Ειδικά για το πηλίκο, ποτέ μην διαιρείς με όριο που ισούται με $0$ χωρίς πρώτα να άρεις την απροσδιοριστία.