Πλευρικά Όρια της Συνάρτησης f

Όταν μια συνάρτηση «συμπεριφέρεται διαφορετικά» από τα αριστερά και από τα δεξιά ενός σημείου $x_0$ , χρειαζόμαστε την έννοια των πλευρικών ορίων για να περιγράψουμε ξεχωριστά κάθε πλευρά. 🔄

Γιατί χρειαζόμαστε πλευρικά όρια; 🤔

Σκέψου τη συνάρτηση:

f(x)=\begin{cases} x+1, & x \geq 0 \\ x-1, & x < 0 \end{cases}

Καθώς το $x$ τείνει στο $0$ :

Από δεξιά ( $x>0$ ): $f(x) \to 1$ .
Από αριστερά ( $x<0$ ): $f(x) \to -1$ .

Δεν υπάρχει ένας αριθμός που να περιγράφει ταυτόχρονα και τις δύο τάσεις. Γι' αυτό ορίζουμε δύο διαφορετικά όρια, ένα για κάθε πλευρά.

Ορισμοί πλευρικών ορίων 🔄

Όριο από δεξιά

Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης $f$ προσεγγίζουν τον πραγματικό αριθμό $\lambda$ , καθώς το $x$ προσεγγίζει το $a$ από τιμές μεγαλύτερες ( $x > a$ ), γράφουμε:

\lim_{x \to a^+} f(x) = \lambda

Αυστηρός ορισμός: $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D_f \text{ με } 0 < x - a < \delta \Rightarrow |f(x)-\lambda|<\varepsilon$ .

Όριο από αριστερά

Όταν οι τιμές προσεγγίζουν τον πραγματικό αριθμό $\mu$ , καθώς το $x$ προσεγγίζει το $a$ από τιμές μικρότερες ( $x < a$ ), γράφουμε:

\lim_{x \to a^-} f(x) = \mu

Αυστηρός ορισμός: $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x \in D_f \text{ με } 0 < a - x < \delta \Rightarrow |f(x)-\mu|<\varepsilon$ .

Το όριο από δεξιά και το όριο από αριστερά της συνάρτησης $f$ λέγονται πλευρικά όρια της συνάρτησης $f$ στο $a$ .

Κεντρικό θεώρημα σύνδεσης 🔗

Θεώρημα: Ύπαρξη ορίου μέσω πλευρικών

Το όριο μιας συνάρτησης $f$ στο $x_0$ υπάρχει και είναι ίσο με $\lambda$ αν και μόνον αν υπάρχουν και τα δύο πλευρικά όρια στο $x_0$ και είναι ίσα με $\lambda$ :

\lim_{x \to x_0} f(x) = \lambda \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lambda

Ιδέα απόδειξης:

(⇒) Αν $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\lambda$ , τότε η συνθήκη $0<|x-x_0|<\delta$ ισχύει τόσο για $x\in(x_0-\delta,x_0)$ όσο και για $x\in(x_0,x_0+\delta)$ , άρα και τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν και είναι $\lambda$ .
(⇐) Αν τα δύο πλευρικά είναι $\lambda$ , διαλέγουμε $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ όπου $\delta_1,\delta_2$ τα αντίστοιχα από κάθε πλευρά. ✅

Όταν δεν υπάρχει το όριο 🚫

Κριτήριο μη ύπαρξης

Αν $\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x) \neq \lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)$ (ή αν κάποιο πλευρικό δεν υπάρχει), τότε το $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ δεν υπάρχει. Δες σχήμα στις σελίδες 17–18 του Β' Τεύχους. 📊

Παραδείγματα κλασικά 📚

Παράδειγμα 1: Συνάρτηση προσήμου

Για την $f(x) = \dfrac{|x|}{x}, \ x \neq 0$ :

Για $x>0$ : $f(x)=\dfrac{x}{x}=1$ , άρα $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=1$ .
Για $x<0$ : $f(x)=\dfrac{-x}{x}=-1$ , άρα $\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=-1$ .

Αφού $1 \neq -1$ , το $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$ δεν υπάρχει.

Παράδειγμα 2: Απόλυτη τιμή

Για την $f(x)=|x|$ στο $x_0=0$ :

$\lim\limits_{x\to 0^+} |x| = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} |x| = 0$ .
Επομένως $\lim\limits_{x\to 0} |x| = 0$ . ✅

Ειδικές περιπτώσεις πεδίου ορισμού 📝

Σχόλια για μονόπλευρα πεδία

Όταν η συνάρτηση δεν ορίζεται εκατέρωθεν του $x_0$ , μιλάμε μόνο για εκείνο το πλευρικό όριο που έχει νόημα:

Αν η $f$ ορίζεται σε διάστημα $(a, x_0)$ ή $(a, x_0]$ και δεν ορίζεται σε $(x_0, \beta)$ :

\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)

Αν η $f$ ορίζεται σε $(x_0, \beta)$ ή $[x_0, \beta)$ και δεν ορίζεται σε $(a, x_0)$ :

\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)

Παράδειγμα: Για $f(x)=\sqrt{x}$ , πεδίο ορισμού $[0,+\infty)$ . Στο $x_0=0$ έχει νόημα μόνο το $\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0$ , το οποίο αποτελεί και το όριο $\lim\limits_{x\to 0}\sqrt{x}=0$ .

Πρακτικό μήνυμα

Όταν έχεις συνάρτηση πολλαπλού τύπου (π.χ. κατά κλάδους) και εξετάζεις το όριο σε σημείο «αλλαγής τύπου», πάντα υπολογίζεις ξεχωριστά τα δύο πλευρικά όρια και συγκρίνεις.