Ορισμός του Ορίου Συνάρτησης

Ο αυστηρός ορισμός του ορίου με $\varepsilon$ και $\delta$ είναι ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα του 19ου αιώνα στα Μαθηματικά. Δόθηκε από τον Karl Weierstrass και μεταφράζει αυστηρά τη διαισθητική φράση «το $f(x)$ πλησιάζει το $\lambda$ καθώς το $x$ πλησιάζει το $x_0$». 🎯

Ο ορισμός ε-δ 🎯

Αποκωδικοποίηση του ορισμού 🔓

Ας διαβάσουμε τον ορισμό φράση-φράση:

• «$\forall \varepsilon > 0$» — Δίνεται οποιαδήποτε ανοχή $\varepsilon$, όσο μικρή θέλουμε. Το $\varepsilon$ είναι η «ακτίνα» γύρω από το $\lambda$ στον άξονα $y$.
• «$\exists \delta > 0$» — Εμείς οφείλουμε να βρούμε ένα κατάλληλο $\delta$. Το $\delta$ είναι η «ακτίνα» γύρω από το $x_0$ στον άξονα $x$.
• «$0 < |x - x_0| < \delta$» — Το $x$ είναι στην περιοχή του $x_0$ αλλά διαφορετικό από αυτό ($x \neq x_0$).
• «$|f(x) - \lambda| < \varepsilon$» — Το $f(x)$ είναι στην περιοχή του $\lambda$.

Σχόλια και ερμηνεία 📝

• Μοναδικότητα: Αν υπάρχει το $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$, είναι μοναδικό.
• Το $x \neq x_0$: Η συνθήκη $0 < |x-x_0|$ αποκλείει ρητά το $x = x_0$. Αυτό εκφράζει ότι στο όριο μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά κοντά, όχι στο ίδιο το σημείο.
• Κατάλληλα κοντά: Το $\delta$ εξαρτάται από το $\varepsilon$. Γενικά, όσο μικρότερο είναι το $\varepsilon$, τόσο μικρότερο πρέπει να διαλέξουμε το $\delta$.
• Πεδίο ορισμού: Η σχέση $x \in D_f$ είναι απαραίτητη — ελέγχουμε μόνο εκείνα τα $x$ για τα οποία έχει νόημα το $f(x)$.

Απόδειξη μοναδικότητας ορίου 🎓

Πρόταση: Αν $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = \lambda_1$ και $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = \lambda_2$, τότε $\lambda_1 = \lambda_2$.

Απόδειξη: Υποθέτουμε $\lambda_1 \neq \lambda_2$. Έστω $\varepsilon = \dfrac{|\lambda_1-\lambda_2|}{2} > 0$. Τότε υπάρχει $\delta_1 > 0$ ώστε $|f(x)-\lambda_1|<\varepsilon$ για $0<|x-x_0|<\delta_1$, και $\delta_2>0$ ώστε $|f(x)-\lambda_2|<\varepsilon$ για $0<|x-x_0|<\delta_2$. Παίρνοντας $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\}$ και $x$ με $0<|x-x_0|<\delta$:

Άτοπο. Άρα $\lambda_1=\lambda_2$. ✅

Γραφική ερμηνεία 📊

Η έννοια του ορίου μπορεί να παρουσιαστεί γραφικά ως εξής: για κάθε περιοχή $\pi(\lambda) = (\lambda - \varepsilon, \lambda + \varepsilon)$ του $\lambda$, υπάρχει μια περιοχή $\pi(x_0) = (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ του $x_0$, έτσι ώστε το ορθογώνιο που σχηματίζεται να περιέχει πάντοτε το τμήμα της γραφικής παράστασης $y = f(x)$ για $x \in \pi(x_0)\setminus\{x_0\}$. Δες σχήμα στη σελίδα 14 του Β' Τεύχους.

Βασικά παραδείγματα με τον ορισμό 🎓

Όριο σταθερής συνάρτησης

Απόδειξη: Έστω $\varepsilon > 0$. Διαλέγουμε οποιοδήποτε $\delta > 0$. Για $0<|x-x_0|<\delta$:

Η συνθήκη ικανοποιείται τετριμμένα. ✅

Όριο ταυτοτικής συνάρτησης

Απόδειξη: Έστω $\varepsilon > 0$. Διαλέγουμε $\delta = \varepsilon$ (ή οποιοδήποτε $\delta \leq \varepsilon$). Για $0<|x-x_0|<\delta$:

Άρα $\lim\limits_{x\to x_0} x = x_0$. ✅

Όριο της $f(x)=x^2$ στο $x_0$ 🎓

Πρόταση: $\lim\limits_{x\to x_0} x^2 = x_0^2$.

Απόδειξη (σκίτσο): Έστω $\varepsilon>0$. Θέλουμε $|x^2-x_0^2|<\varepsilon$. Γράφουμε $|x^2-x_0^2|=|x-x_0|\cdot|x+x_0|$. Αν $|x-x_0|<1$, τότε $|x|<|x_0|+1$, άρα $|x+x_0|\leq|x|+|x_0|<2|x_0|+1$. Επιλέγουμε $\delta = \min\left\{1, \dfrac{\varepsilon}{2|x_0|+1}\right\}$. Τότε: