Έννοια Ορίου Συνάρτησης

Το όριο μιας συνάρτησης είναι η απάντηση στο ερώτημα: «Προς τα πού τείνουν οι τιμές $f(x)$ όταν το $x$ πλησιάζει ένα δοθέν σημείο $x_0$ ;» Πριν δούμε τον αυστηρό ορισμό, ας το κατανοήσουμε διαισθητικά. 🧭

Διαισθητική προσέγγιση 🧭

Φανταστείσου μια συνάρτηση $f$ με γραφική παράσταση. Διαλέγουμε ένα σημείο $x_0$ στον άξονα $x$ και παρακολουθούμε:

Από πού: Πώς κινείται το $x$ προς το $x_0$ (αριστερά ή δεξιά, αλλά πάντα $x \neq x_0$ ).
Τι κάνουν οι τιμές: Πού τείνουν οι $f(x)$ στον άξονα $y$ .

Αν υπάρχει ένας και μόνο ένας αριθμός $\lambda$ προς τον οποίο τείνουν οι $f(x)$ ανεξάρτητα από τον τρόπο προσέγγισης, λέμε ότι η $f$ έχει όριο $\lambda$ στο $x_0$ .

Ορισμός: Όριο συνάρτησης (περιγραφικός)

Αν το όριο της $f$ , όταν το $x$ τείνει στο $x_0$ , ισούται με $\lambda$ , γράφουμε:

\lim_{x \to x_0} f(x) = \lambda

Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές $f(x)$ πλησιάζουν τον αριθμό $\lambda$ όσο το $x$ πλησιάζει το $x_0$ , ανεξάρτητα από το αν η $f$ ορίζεται στο $x_0$ ή όχι.

Κατασκευή πίνακα τιμών 📊

Μια χρήσιμη πρακτική για να μαντέψεις το όριο είναι να φτιάξεις πίνακα τιμών πλησιάζοντας το $x_0$ :

Για $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$ , $x \neq 2$ , και $x_0 = 2$ :

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$2$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	—	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Οι τιμές και από τις δύο πλευρές τείνουν στο $4$ , επομένως εικάζουμε ότι $\lim\limits_{x\to 2} f(x) = 4$ .

Αλγεβρική εξέταση 🔢

Στο παραπάνω παράδειγμα, παραγοντοποιώντας:

f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2, \quad x \neq 2

Άρα για κάθε $x \neq 2$ , η $f$ συμπίπτει με την $g(x) = x+2$ . Καθώς $x \to 2$ , οι τιμές $f(x) \to 2+2 = 4$ :

\lim_{x \to 2} f(x) = 4

Σημαντική παρατήρηση

Για την ύπαρξη του ορίου $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ δεν είναι αναγκαίο η $f$ να ορίζεται στο $x_0$ . Η μελέτη του ορίου εξετάζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης κοντά στο $x_0$ , όχι στο $x_0$ . Είναι απολύτως φυσιολογικό να λέμε $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}=4$ , παρόλο που $f(2)$ δεν υπάρχει.

Πότε δεν υπάρχει όριο 🚫

Το όριο μπορεί να μην υπάρχει σε διάφορες περιπτώσεις:

Άλμα: Οι τιμές $f(x)$ τείνουν σε διαφορετικούς αριθμούς από αριστερά και από δεξιά. Π.χ. η $f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ για $x_0 = 0$ δίνει $1$ από δεξιά, $-1$ από αριστερά.
Άπειρη τάση: Οι τιμές αυξάνονται/μειώνονται απεριόριστα. Π.χ. η $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ για $x_0 = 0$ δίνει $+\infty$ .
Ταλάντωση: Οι τιμές συνεχώς «ταλαντώνονται» χωρίς να πλησιάζουν σε μία τιμή. Π.χ. η $f(x) = \eta\mu\left(\dfrac{1}{x}\right)$ στο $0$ .

Τρεις διαφορετικές εικόνες

Δες σχήματα σελ. 12–13 του Β' Τεύχους. Στα σχήματα που δίνονται:

Η $f$ ορίζεται στο $x_0$ και $f(x_0) = \lambda$ — το όριο υπάρχει και ισούται με $f(x_0)$ .
Η $f$ ορίζεται στο $x_0$ αλλά $f(x_0) \neq \lambda$ — το όριο υπάρχει αλλά διαφέρει από την τιμή.
Η $f$ δεν ορίζεται στο $x_0$ — το όριο μπορεί να υπάρχει.
Και στις τρεις περιπτώσεις το όριο είναι το ίδιο $\lambda$ !

Η βασική ιδέα σε μία φράση 💬

Κεντρικό μήνυμα

Το $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=\lambda$ σημαίνει: «Οι τιμές $f(x)$ μπορούν να γίνουν όσο κοντά θέλουμε στο $\lambda$ , αρκεί να πάρουμε το $x$ αρκετά κοντά στο $x_0$ (αλλά διαφορετικό από το $x_0$ )». Αυτή η φράση θα μεταφραστεί αυστηρά στον επόμενο ορισμό ε-δ.