Διαστήματα – Περιοχή Πραγματικού Αριθμού

Πριν ορίσουμε αυστηρά το όριο, χρειάζεται να καθορίσουμε με ακρίβεια την έννοια της «γειτονιάς» ενός αριθμού. Για αυτόν τον σκοπό εισάγουμε τα διαστήματα και τις περιοχές. 🧭

Διαστήματα 📏

Για $a, \beta \in \mathbb{R}$ με $a < \beta$ , ορίζονται τα ακόλουθα υποσύνολα του $\mathbb{R}$ :

Τύποι διαστημάτων

Ανοικτό: $(a, \beta) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < \beta\}$ — δεν περιλαμβάνει τα άκρα.
Κλειστό: $[a, \beta] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq \beta\}$ — περιλαμβάνει και τα δύο άκρα.
Ημιανοικτό αριστερά (ή ανοικτό αριστερά): $(a, \beta] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq \beta\}$ .
Ημιανοικτό δεξιά (ή ανοικτό δεξιά): $[a, \beta) = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < \beta\}$ .
Μη φραγμένα: $(a, +\infty), [a, +\infty), (-\infty, \beta), (-\infty, \beta], (-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$ .

Σύμβαση συμβολισμού

Τα $+\infty, -\infty$ γράφονται πάντα με παρένθεση, ποτέ με αγκύλη, γιατί δεν είναι πραγματικοί αριθμοί και επομένως δεν «περιλαμβάνονται» στο σύνολο.

Το μήκος και το κέντρο διαστήματος 📐

Κάθε φραγμένο διάστημα με άκρα $a, \beta$ έχει:

Μήκος: $\beta - a$ .
Κέντρο: $\dfrac{a+\beta}{2}$ .

Περιοχή πραγματικού αριθμού 🎯

Η κεντρική ιδέα εδώ είναι ότι όταν λέμε «το $x$ είναι κοντά στο $a$ », εννοούμε ότι το $x$ βρίσκεται σε ένα ανοικτό διάστημα που έχει κέντρο το $a$ .

Ορισμός: δ-περιοχή

Κάθε ανοικτό διάστημα της μορφής $(a-\delta, a+\delta)$ με $\delta > 0$ , ονομάζεται δ-περιοχή του πραγματικού αριθμού $a$ και συμβολίζεται με $\pi(a)$ :

\pi(a) = (a-\delta, a+\delta), \quad \delta > 0

Ισοδύναμη διατύπωση: Το $x \in \pi(a)$ αν και μόνον αν $|x-a| < \delta$ .

Απόδειξη ισοδυναμίας:

|x-a|<\delta \Leftrightarrow -\delta < x-a < \delta \Leftrightarrow a-\delta < x < a+\delta \Leftrightarrow x \in (a-\delta, a+\delta). \checkmark

Ο ρόλος του δ

Όσο μικρότερο είναι το $\delta$ , τόσο πιο «στενή» είναι η γειτονιά γύρω από το $a$ . Αυτό είναι θεμελιώδες για τον ορισμό του ορίου: για να πούμε ότι το όριο υπάρχει, πρέπει να μπορούμε να κάνουμε την περιοχή του $a$ όσο μικρή θέλουμε.

Εσωτερικό σημείο συνόλου 🔎

Ορισμός: Εσωτερικό σημείο

Ένα στοιχείο $a \in A$ λέγεται εσωτερικό σημείο του συνόλου $A \subseteq \mathbb{R}$ αν υπάρχει $\delta > 0$ τέτοιο ώστε:

\pi(a) = (a-\delta, a+\delta) \subset A

Παράδειγμα 1: Στο $A = (0,5)$ , το $2$ είναι εσωτερικό σημείο (π.χ. με $\delta = 1$ , $(1,3) \subset (0,5)$ ).

Παράδειγμα 2: Στο $A = [0,5]$ , το $0$ δεν είναι εσωτερικό σημείο, γιατί κάθε δ-περιοχή $(-\delta, \delta)$ περιέχει αρνητικούς αριθμούς που δεν ανήκουν στο $A$ .

Σημείο συσσώρευσης και μεμονωμένο σημείο 🔍

Ορισμοί

Έστω $A \subseteq \mathbb{R}$ και $a \in \mathbb{R}$ .

Το $a$ λέγεται σημείο συσσώρευσης του $A$ , αν κάθε δ-περιοχή του $a$ περιέχει άπειρα στοιχεία του $A$ .
Το $a$ λέγεται μεμονωμένο σημείο του $A$ , αν $a \in A$ και υπάρχει δ-περιοχή του $a$ που δεν περιέχει άλλα στοιχεία του $A$ εκτός του $a$ .

Σημαντική παρατήρηση

Ένα σημείο συσσώρευσης του $A$ δεν είναι υποχρεωτικό να ανήκει στο $A$ ! Π.χ. για το $A = (0,1)$ , τα $0$ και $1$ είναι σημεία συσσώρευσης αλλά δεν ανήκουν στο $A$ . Αυτή η ιδιότητα είναι κρίσιμη: επιτρέπει να μελετάμε το όριο σε σημεία όπου η συνάρτηση δεν ορίζεται.

Παράδειγμα εφαρμογής 💡

Παράδειγμα ολοκληρωμένο

Για το σύνολο $A = [0, 1) \cup (1, 2) \cup \{3\}$ :

Εσωτερικά σημεία: όλα τα $x \in (0,1) \cup (1,2)$ .
Σημεία συσσώρευσης: όλα τα $x \in [0,2]$ (και το $1$ , αν και δεν ανήκει στο $A$ ).
Μεμονωμένο σημείο: το $3$ , γιατί η περιοχή $(2.5, 3.5)$ δεν περιέχει άλλα στοιχεία του $A$ .

Παρατηρήστε ότι το $3$ δεν είναι σημείο συσσώρευσης (δεν υπάρχουν άπειρα στοιχεία του $A$ κοντά του).

Γιατί μας ενδιαφέρουν;

Όταν θα ορίσουμε το $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$ , θα απαιτήσουμε το $x_0$ να είναι σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της $f$ . Αυτό εξασφαλίζει ότι έχει νόημα να μιλάμε για «τιμές κοντά στο $x_0$ » — υπάρχουν άπειρα τέτοια $x$ στο πεδίο ορισμού.