Εισαγωγή στο Όριο Συνάρτησης

Η έννοια του ορίου αποτελεί τον πυρήνα της Μαθηματικής Ανάλυσης. Χωρίς αυτή δεν θα μπορούσαμε να ορίσουμε ούτε την παράγωγο, ούτε το ολοκλήρωμα, ούτε τη συνέχεια μιας συνάρτησης. 🔑

Γιατί χρειάζονται τα όρια; 🤔

Στην Άλγεβρα μαθαίνουμε να υπολογίζουμε τιμές συναρτήσεων σε συγκεκριμένα σημεία, π.χ. $f(3)$. Όμως πολλά φυσικά και γεωμετρικά προβλήματα απαιτούν να γνωρίζουμε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης κοντά σε ένα σημείο, όχι απαραίτητα σε αυτό. Τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι:

• Στιγμιαία ταχύτητα 🚗: Από τη μέση ταχύτητα $\bar{u} = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}$ σε ένα χρονικό διάστημα $\Delta t$, η στιγμιαία ταχύτητα προκύπτει όταν το $\Delta t$ γίνεται απειροστά μικρό. Αυτή η διαδικασία εκφράζεται με το όριο $u(t_0) = \lim\limits_{\Delta t \to 0} \dfrac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$.
• Κλίση εφαπτομένης 📐: Η εφαπτομένη σε ένα σημείο μιας καμπύλης ορίζεται ως το όριο των τεμνουσών ευθειών, καθώς το δεύτερο σημείο τείνει στο αρχικό.
• Εμβαδό κάτω από καμπύλη 🟦: Υπολογίζεται ως όριο αθροίσματος εμβαδών λεπτών ορθογωνίων (μέθοδος εξάντλησης).
• Μήκος καμπύλης 〰️: Προσεγγίζεται από τεθλασμένες γραμμές των οποίων το μήκος των τμημάτων τείνει στο μηδέν.

Ιστορική εξέλιξη της έννοιας 📜

Τι θα μάθουμε σε αυτό το κεφάλαιο 📚

1. Διαστήματα και περιοχές ενός πραγματικού αριθμού — το «τοπίο» μέσα στο οποίο μελετάμε τα όρια.
2. Διαισθητική και αυστηρή έννοια του ορίου σε σημείο $x_0$.
3. Πλευρικά όρια (από αριστερά και από δεξιά).
4. Ιδιότητες ορίων που επιτρέπουν τον υπολογισμό τους.
5. Μη πεπερασμένα όρια (όριο ίσο με $\pm\infty$) και όρια στο άπειρο.
6. Όρια τριγωνομετρικών συναρτήσεων και το κριτήριο παρεμβολής.
7. Συνέχεια συνάρτησης σε σημείο και σε διάστημα.
8. Τα τρία μεγάλα θεωρήματα: Bolzano, Ενδιάμεσων Τιμών, Μέγιστης – Ελάχιστης Τιμής.